РГР математика

Условия задач

1, 2. Вычислить f (x, y)dxdy где D - область, ограниченная

D

заданными линиями.

3. Вычислить f (x, y)dxdy , перейдя к полярным координатам, где

D

D - область, ограниченная заданными линиями.

4.Поменять порядок интегрирования.

5.Вычислить f (x, y, z)dxdydz , где D - область, ограниченная

D

заданными поверхностями.

6.С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями.

7.Найти момент инерции относительно заданной оси координат однородного тела плотности , ограниченного заданными

поверхностями.

8.Вычислить работу силового поля F при перемещении материальной точки вдоль заданной линии L.

9.Проверить потенциальность векторного поля F . Найти потенциал. Проверить, правильно ли вычислен потенциал.

Вариант 1.

1) (x y)dxdy; D : y 1; x 4; y x.

D

2) ex y dxdy; D : y 2; y 1; x 1; x 3.

	D
3)			x2			y2 9dxdy;		D :9 x2 y2 25.
	D
	1	3 y				2		2 y
4) dy						f (x, y)dx dy f (x, y)dx.
	0	0				1		0
5)	(x y z)dxdydz; D :1 x 2; 0 y 2; 1 z 1.

D

6)z x2 y2 ; x y 1; x 0; y 0; z 0.

7)OX ; 2; z2 y2 1; x 1; x 1.

8)F xi y j; L : y x2 от точки A(1;1) до точки B(2;4)

9)F (10 y x)i (10x y) j.

				Вариант 2.
1)	xdxdy; D : y 3x2 ;			y 6 3x.
	D
2)	sin(x y)dxdy;		D : y 0; y		3	; x	2	; x			4	.
							3
	D			2				3
	(x2 y2 )dxdy;		D :x2 y2 8; y x; y
3)								3x; y 0.
	D
	1	1	e	1
4) dx		f (x, y)dy dx f (x, y)dy.
	0 1 x2		1	ln x
5)	(2x 3y z)dxdydz; D : 2 x 4; 1 y 3; 0 z 2.

D

6)x 4; y 4; z x2 y2 1; x 0; y 0; z 0.

7)OY; 3; x2 z2 1; y 0; y 1.

8)F (x y)i (x y) j; L : отрезок MN от точки M(1;0) до т. N(0;3).

9)F (x 8y)i ( 8x 6 y) j.

									Вариант 3.
1) xydxdy; D : y x;					y 2x; x 2.
D
2) cos(2x y)dxdy;					D : y 2 ; y 3 ; x 0; x					.
D										4
3)
	x2 y2 dxdy; D :x2						y2 4; y 0.
D
	2 y						y
1					0
4) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx.
2	0				1		0
5) xdxdydz; D : y					x	; y 3x; z 0; z 3; x 3.
					3
D
6) x2 y2 3z; z 3.
7) OZ; 4; x2 y2 1;							z 1; z 2.

8)F (2xy y)i (x2 x) j; L : y x от точки A(1;1) до точки

B(4;2).

9)F (5x 7 y)i ( 7x y) j.

									Вариант 4.
1)	(2x 3y)dxdy;						D : y 3 x2 ; y 2x.
	D
2)	e2 x 5 y dxdy; D : x 1; x 5; y 1; y 2.
	D
3)	(x2			y2 )2 dxdy;			D :x2 y2 16; x 0.
	D
	1			0			0	0
4)			dx			f (x, y)dy dx f (x, y)dy.
		2		2 x2			1	x
5)	ydxdydz; D : y 2x; y								x	; x 2; z 0; z 4.
	D							2

6)z 0; z 4 x2 ; y 0; y x 2.

7)OX ; 2; z2 y2 4; x 0; x 3.

8)F x2 yi y j; L : отрезок MN от точки M(-1;0) до точки N(0;1).

9)F (3x 6y)i ( 6x y) j.

Вариант 5.

1)

(3xy 2 y)dxdy;

D : y

x

;

y

x

; y 1.

D

2

3

2)

sin(3x y)dxdy;

D : y ; y 0; x ; x 0.

D

3)

(x2 y2 4)dxdy; D :x2 y2 25; x 0;

y 0.

D

y

2 y2

1

2

4) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx.

0

0

1

0

5)

zdxdydz; D : y x; y 3x; x 1; z 1; z 1.

D

6)z 0; z 4 y; x 0; x y 4.

7)OY; 3; x2 z2 4; y 1; y 1.

8)F (x y)i 2x j; L : x2 y2 4; y 0; от точки M(2;0) до т. N(-

2;0).

9) F (6x 3y)i ( y 3x) j.

Вариант 6.

1)

(x 4 y)dxdy; D : y x2 1;

y 3.

D

2)

cos(3x 2 y)dxdy;

D : y

; y

; x

; x

.

4

D

12

3

2

3)

x2

y2 1dxdy;

D : 4 x2 y2 9; x 0;

y 0.

D

1

0

e

ln y

4) dy

f (x, y)dx dy f (x, y)dx.

0

1

1

y

5) (6x 2 y z)dxdydz; D : 3 x 3; 0 y 1; 2 z 4.

D

6)z x2 y2 ; x2 y2 4; z 0.

7)Oz; 5; x2 y2 9; z 0; z 6.

8)F yi x j; L : x2 y2 2; y 0 от точки M (2;0) до т. N ( 2;0).

9)F (7 y x)i (7x y) j.

1) (2x

D

2) e2 x

D

3) (x2

Вариант 7.

5xy)dxdy; D : y 2x; y 2; x 3.

y dxdy; D : x 2; x 4; y 3; y 0.

y2 2)dxdy; D :x2 y2 4; y 0; y x; x 0.

D
1	0		0	0
4) dy			f (x, y)dx dy	f (x, y)dx.
2			1
	2 y			y

5) xdxdydz; D :z x2 ; z 2; y 0; y 2.

D

6)z 0; z 9 y2 x2.

7)OX ; 3; z2 y2 4; x 0; x 2.

8)F (x y)i (x y) j; L : y x3 от точки A(1;1) до точки B(2;8).

9)F 5yi (5x y) j.

				Вариант8.
	1)	(4x 3y)dxdy;		D : x y2 ; x 4.
		D
	2)	sin(x 5y)dxdy; D : y 0; y					; x 0; x .
					10
		D
	3)	(x2 y2 )3 dxdy;		D : x2 y2 8;		y		3		x; y x, y 0.
		D					3
		e	2 ln x
	4) dx		f (x, y)dy.

1ln x

5)ydxdydz; D : z 4 x2 ; z 0; y 0; y 2.

D

6)z x2 y2 2; y x; y 0; x 1; z 0.

7)OY; 5; x2 z2 4; y 1; y 2.

8)F (2x y)i (x y) j; L : y x2 от точки M(-1;1) до точки N(1;1).

9)F (3x 8y)i (8x y) j.

				Вариант 9.
1)	2xydxdy; D : y x; y x; y 2.
	D
2)	cos(x 5y)dxdy;		D : y	; y ; x		; x	.
	D		4	2	6		3
3)	(x2 y2 8)dxdy;		D :x2 y2 16; x 0;			y 0.
	D
	1	2 y2
4) dy		f (x, y)dx.

0y2

5)zdxdydz; D : z y2 ; z 2; x 0; x 4.

D

6) z x2 y2 2; z 0; x 1; x 1; y 1; y 1.

7)Oz; 5; x2 y2 4; z 0; z 5.

8)F (x2 2y)i ( y2 2x) j; L : y 2x 1от точки A(0;1) до точки

(3;7).

9) F 5xi 4 y j.

Вариант 10.

1)

D

2)

D

3)

(x2

e3x 4 y

(x2

y2 )dxdy; D : y 2; y x; x 0. dxdy; D : x 2; x 5; y 3; y 0.

y2 6)dxdy; D :4 x2 y2 16; x 0; y 0.

D
1	1 y2
4) dy	f (x, y)dx.
1	y2 1

5) xdxdydz; D :z 4 y2 ; z 0; x 1; x 3.

D

6)z 2; z 0; y x; y 3x; x 3.

7)OX ; 2; z2 y2 1; x 0; x 2.

	8)		(x y2 )i x j; L : y 2	x2	от точки M(-4;0) до точки N(0;2).
		F
		8

9) F yi (x 5y) j.

											Вариант11.
	1)	(x2				y2 )dxdy; D : x y 6; x 1; x 4.
		D
	2)	sin(3x 4y)dxdy;						D : x			; x	; y		; y	.
													12
		D						6				2			8
	3)			x2 y2 2dxdy;				D :1 x2			y2	4; y x; x 0; y 0.
		D
		7		3		9		10 x
	4) dx					f (x, y)dy dx f (x, y)dy.
		3		9		7			9
				x					x

5) ydxdydz; D : x y2 ; x 2; z 0; z 3.

D

6)z 3 x2 y2 ; x 0; x 2; y 0; y 3; z 0.

7)OY; 3; x2 z2 1; y 2; y 4.

8)F x3 i y3 j; L : y 2x 3 от точки A(2;1) до точки B(4;5).

9)F ( x y)i x j.

Вариант 12.

	1)	(x y)dxdy; D : y x2 ; y 1.
		D
	2)	cos(2x 5y)dxdy;		D : y		; y			; x					; x .
							10					6
		D		15												4
	3)		(x2 y2 1)2 dxdy;	D :x2 y2 16; y						3
													x;		y	3x; y 0.
		D								3
		1	2 x
	4) dx f (x, y)dy.
		0	x3
	5)	zdxdydz; D : y x2 ; y 4; z 1; z 3.

D

6)y 2x ; y 2x; x 4; z 2; z 2.

7)Oz; 4; x2 y2 1; z 0; z 5.

8)F (x2 y2 )i (x2 y2 ) j; L : y x2 1от точки A(0;1) до т.B(2;5).

9)F (x 7 y)i (7x 3y) j.

			Вариант 13.
1)	(2xy2 xy)dxdy;		D : y x; y 0; x 1.
	D
2)	ex 3 y dxdy; D : x 3; x 0; y 1; y 4.
	D
3)	(x2 y2 )3 dxdy; D :1 x2 y2 4; x 0.
	D
	1	ey
4) dy		f (x, y)dx.

01 y

5)(x y)dxdydz; D : y x; y 0; x 1; z 0; z 2.

D

6)z 0; z 4 y2 x2.

7)OX ; 3; x z2 y2 ; x 4.

8)F xyi x2 y3 j; L : отрезок MN, где M(3;0), N(0;3).

9)F (3x 2 y)i (2x y) j.

					Вариант14.
1)	(2x2 xy)dxdy;		D : y 2x 0; y x; y 2.
	D
2)	sin(x 2 y)dxdy;		D : x		; x	; y ; y	.
	D			6	3	8	4
3)	(x2 y2 3)dxdy; D : x2			y2 36; y x; y x; y 0.
	D
	1	x2
4) dx		f (x, y)dy.

0x2 2

5)(2x z)dxdydz; D : y 2x; x 2; z 2; z 4; y 0.

D

6)z x2 ; z 8 x2 ; y 0; y 2.

7)OY; 2; y x2 z2 ; y 9.

8)F (x y)2 i (x y)2 j; L : y 4 x2 ; от точки A(0;4) до т. B(2;0).

9)F yi (x 7 y) j.

			Вариант15.
1)	xy2dxdy;	D : y x; x 2; y 1.
	D
2)	cos(3x 4 y)dxdy;		D : x 0; x ; y 0; y	.
	D		3	8

3) x2 y2 5dxdy; D :8 x2 y2 9; y x; y 3x; y 0.

D
0		y
4) dy		f (x, y)dx.
1		2 y	2
5) (z y)dxdydz; D : y					x	; x 4; z 1; z 1; y 0.
D			2

6)z y2 ; z 8 y2 ; x 0; x 2.

7)OZ; 5; z x2 y2 ; z 16.

8)F x2 yi (x y) j; L : y 2 x2 от точки A(0;2) до точки B(2;6).

9)F ( x 2y)i 2x j.

			Вариант 16.
1)	x2 ydxdy;		D : y 2 x; y 1; x 2.
	D
2)	e5 x y dxdy;		D : x 2; x 5; y 0; y 4.
	D
3)	(x2 y2 2)2 dxdy; D : x2 y2 49; y 0; y x; y x.
	D
	1	2 x2
4) dx		f (x, y)dy.

0x

5)xdxdydz; D : z x2 y2 ; z 0; x 0; x 2; y 0; y 3.

D

6)y x; y 2x; x 1; z 0; z 4.

7)OX ; 2; x z2 y2 ; x 1.

8)F (3x y)i 2y j; L : y 5x 1от точки A(1;6) до точки B(3;16).

9)F (2x y)i x j.

					Вариант 17.
1)	(2xy x2 )dxdy;		D : y x2 ; y 1.
	D
2)	sin(5x 2 y)dxdy;			D : x		; x		; y		; y	.
									8
	D			15		10					4
3)	(x2 y2 7)dxdy; D :x2 y2					36; x 0; y x; x 0.
	D
	0	e x
4) dx f (x, y)dx.
	1	x2

5) ydxdydz; D : z 0; z 1 x2 y2 ; x 1; x 1; y 0; y 2.

D

6)y x; x 4; y 0; z 0; z 4.

7)OY; 4; y z2 x2 ; y 1.

8)F (2 y x)i (3x y) j; L : y x3 1 от точки A(0;1) точки B(2;9).

9)F (2x y)i (x 3y) j.

Вариант18.

		(5y 3x)dxdy; D : y
	1)					x; x 0; y 2.
		D
	2)	cos(4x y)dxdy;			D : x			; x ; y		; y .
						12			3
		D						8		2
	3)		x2 y2 4dxdy;		D :36 x2 y2 49; y 0; y x; x 0.
		D
		0	x2
	4) dx		f (x, y)dy.
		1	x2 2
	5)	zdxdydz; D : y x; y 0; x 1; z 0; z x2 y2.

D

6)y x2 ; y 4; z 1; z 1.

7)OZ; 3; z x2 y2; z 1.

8)F (x y)2 i (x2 y2 ) j; L : y x от точки A(1;1) до т. B(9;3).

9)F yi (x y) j.