- •Высшая математика
- •II курса очной формы обучения
- •Оглавление
- •Глава 1. Комплексные числа
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над комплексными числами
- •Глава 2. Матрицы и операции над ними
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Операции над матрицами
- •2.3. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •2.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 3. Дифференциальные уравнения
- •3.1. Понятия о дифференциальном уравнении
- •3.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Глава 4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Глава 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Глава 6. Линейные неоднородные
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 7. Элементы операционного исчисления
- •7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение
- •7.2. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений
- •Глава 8. Интегрирование однородных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 9. Ряды
- •9.1. Числовые ряды с положительными членами
- •9.2. Знакочередующиеся ряды
- •9.3. Степенные ряды
- •9.4. Разложение функций в степенные ряды
- •9.5. Ряды Фурье
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
9.2. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, общий вид которого может быть записан как
а1 - а2 +а3 - а4+…+(-1)n+1+...=, где всеаn – положительные числа.
Для знакочередующихся рядов можно сформулировать признак Лейбница: пусть для ряда абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, т.е.а1 > а2 >…>аn>…, и пусть , тогда данный ряд сходится, при этом различают абсолютную и условную сходимость ряда.
Если сходится знакочередующийся ряд и сходится соответствующий ему знакоположительный ряд, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Если знакочередующийся ряд сходится, а соответствующий знакоположительный ряд расходится, то знакочередующийся ряд сходится условно.
_____________________
1. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды. Для сходящихся рядов указать характер сходимости:
а) ; б); в);
г) ; д); е); ж);
з) ; и); к).
__________________
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:
а) ; б); в); г);
д) ; е).
Ответы:
1. а) сходится абсолютно; б) сходится абсолютно; в) сходится
абсолютно; г) расходится; д) сходится условно; е) сходится
условно; ж) сходится абсолютно; з) сходится абсолютно;
и) расходится; к) сходится условно.
2. а) сходится условно; б) сходится абсолютно; в) сходится
абсолютно; г) сходится условно; д) сходится абсолютно;
е) сходится абсолютно.
9.3. Степенные ряды
Ряд, членами которого являются функции, зависящие от х, называется функциональным:
=u1(x)+ u2(x)+…+ un(x)+….
Придавая х определенное значение х0, получим числовой ряд u1(x0)+ u2(x0)+…+ un(x0)+…, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка х0 называется точкой сходимости, если ряд расходится – точкой расходимости.
Совокупность всех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, так называемый степенной ряд:
(1)
или ...(2)
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при х=х00, то он абсолютно сходится при всех значениях х, таких, что |x|<|x0|.
Интервал (-|x0|, |x0|) называется интервалом сходимости степенного ряда (1). Положив |x0|=R, интервал сходимости можно записать как (-R,R), при этом число R называют радиусом сходимости
.
Для ряда (2) интервал сходимости есть (х0-R, х0+R). Концы интервала сходимости необходимо исследовать отдельно.
________________________
1. Найти области сходимости следующих степенных рядов:
а) ; б); в); г); д);
е) ; ж); з); и);
к) ; л); м).
_________________________
Ответы:
1. а) [-1;1]; б) [-1;1]; в) (-5;5); г) (-;); д) (-;); е) [-1;1); ж) [-4;0);
з) (-;); и) (0;6); к) [-3;1); л) (-1;1); м) (-;).
9.4. Разложение функций в степенные ряды
Для различных приложений необходимо уметь разлагать произвольную функцию f(x) в степенной ряд.
Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки х0, то ее можно разложить в степенной ряд по степеням (х-х0):
Такой ряд называется рядом Тейлора. Если х0=0, то получим ряд Маклорена:
Для некоторых элементарных функций известны их разложения в ряд Маклорена:
1. .
2. .
3. .
5. .
6. .
7. .
_________________________
1. Разложить в степенной ряд следующие функции:
а) ; б); в);
г) ; д)f(x)=xln(1+x2); е) f(x)=3x.
2. Вычислить число е с точностью q0 =0,001.
3. Вычислить интеграл с точностью до=0,001.
______________________
Ответы:
1. а)
б) ;
в) ; г); д);
е) .
2. l2,718.
3. I=0,245.