2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Ранее рассматривался метод подбора частного решения дифференциального уравнения вида (6.1) в случае, когда правая часть f(x) могла быть представлена как e^x (Ф(x)cosbx+ +Q(x)sinbx).

В других случаях применяют метод вариации произвольных постоянных. Ограничимся рассмотрением этого метода для уравнений второго порядка: y"+а₁y'+а₂y=f(x).

Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть найдено по корням характеристического уравнения как , гдеу₁ и у₂ – два независимых частных решения. Рассматривая теперь произвольные постоянные с₁ и с₂ как функции, зависящие от х, подберем их таким образом, чтобы решение являлось бы решением заданного уравнения с правой частью. Для определения этих неизвестных пока функций необходимо решить следующую систему:

относительно c'₁(x) и c'₂(x). Проинтегрировав полученные выражения, найдем искомые функции c₁(x) и c₂(x).

___________________

1. Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:

а) y"+y=;

б) y"+4y'+4y=е^-2хlnx;

в) y"-2y'+y=;

г) y"-y'=.

_____________________

Ответы:

1. а) ;

б) ;

в) ;

г)

Глава 7. Элементы операционного исчисления

7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Функция f(t) определена и непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка при t0. Это означает, что в каждом конкретном промежутке функция f(t) имеет лишь конечное число точек разрыва I рода. Это условие обеспечивает интегрируемость функции f(t)e^-pt в любом конечном промежутке [0;а];

2. f(t)0 для всех t<0;

3. Существуют действительные числа M>0; t₀0 и S такие, что |f(t)|<Me^st при всех t>t₀0.

Пусть f(t) – оригинал, а p=+i - комплексное число. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p), определяемая равенством:

.

Функция F(p) называется также преобразованием Лапласа от функции f(t). Тот факт, что функция F(p) является изображением оригинала f(t), обозначают так: f(t)F(p) или F(p)=L{f(t)}.

Изображение оригинала обозначается той же буквой, только заглавной, например: f(t)F(p), g₁(t) G₁(p) и т.д.

Важнейшие свойства преобразования Лапласа отражены в следующих теоремах.

Теорема 1 (единственности изображения).

Если оригиналы f(t) и g(t) непрерывны и имеют одинаковое изображение F(p), то эти функции совпадают.

Теорема 2 (свойство линейности).

Для произвольных комплексных постоянных  и  справедливо соотношение: f(t)+g(t) F(p)+G(p).

Теорема 3 (подобия).

Для любого действительного r>0 справедливо соотношение: .

Теорема 4 (смещения).

Для любого комплексного числа р₀ имеется соотношение: .

Теорема 5 (запаздывания).

Для любого действительного положительного числа  имеется соотношение: f(t-) e^-pF(p).

Теорема 6. (дифференцирование оригинала).

Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и f(t)F(p), то f'(t) pF(p)-f(0),

f"(t) p²F(p)-pf(0)-f'(0),

… … …

f⁽ⁿ⁾(t) pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f'(0)-...-pf ^(n-1)(0)-f ^(n-1)(0).

Теорема 7 (о дифференцировании изображения).

Если f(t)F(p),то - tf(t) F'(p). В общем случае (-1)ⁿtⁿ f(t)F⁽ⁿ⁾(p).

Теорема 8 (об интегрировании оригинала).

Если f(t)F(p), то .

Теорема 9 (об интегрировании изображения).

Если f(t)F(p) и интеграл сходится, то.

Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала демонстрируют тот факт, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся соответственно к операциям умножения и деления на р их изображения.

Таблица изображений некоторых основных функций

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12.
13.	14. f'(t) pF(p)-f(0);
15. f"(t) p^2F(p)-pf(0)-f'(0);	16. f^(n)(t) p^nF(p)-(p^n-^1f(0)+ +p ^n-^2f'(0)+...+f ^(n-^1)(0)).

______________________

1. Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:

а) f(t)=2+t³+tcos2t; б) f(t)=te^2t-sin3t ; в) f(t)=e^t+5.

2. Найти оригиналы для следующих изображений:

а) ; б);

в) ; г); д).

3. Найти оригиналы следующих изображений:

а) ; б).

4. Найти изображения следующих оригиналов:

а) f(t)=3e^-t+e^tcos3t; б) f(t)=te^t-1+t²e^t-2.

5. Найти оригиналы следующих изображений:

а) ; б);

в) .

_____________________

Ответы:

1. а) ; б);

в) .

2. а) ; б);

в) ; г)f(t)=e^-t(cost-sint);

д) .

3. а) f(t)=2-2e^-t; б) .

4. а) ; б) ;

5. а) f(t)=t+t²; б) f(t)=e^t+2e^2t; в) .