5. Рекомендации по математической постановке задачи

В содержательном смысле математическая постановка задачи проектирования объекта должна включать следующие компоненты и правила:

1. А — цель функционирования объекта;

2. Е = {e_i } - множество элементов, составляющих систему;

3. Т = {t _τ } - множество элементов времени;

4. P = {}- множество признаков, характеризующих систему в целом на всех этапах жизненного цикла;

5. Ρξ = {} - множество признаков, характеризующих элементы на всех этапах жизненного цикла;

6. S^τ = {} - множество состояний элементов в рассматриваемый промежуток времени;

7. H = S^τ ×T - правило упорядочения смены состояний;

8. Q = { e_i, e_k } - множество связей между элементами системы;

9) F : {= f_m ( )} - математические схемы, описывающие отношения между признаками элементов и признаками систем;

10) P_c = { p_c } - множество признаков, определяющих взаимодействие системы со средой.

Постановка задачи математически определена и однозначна, если определены все перечисленные множества и правила 7 и 9.

Множества целей, признаков и элементов лучше всего представлять в виде графов. Множество состояний включает определенный набор значений признаков системы, подсистемы или элементов в момент времени t_τ.

Элемент e_i или вся система за рассматриваемое время t₀, t_k определенное число раз переходит из одного состояния в другое. Единственный переход составляет элементарную операцию

где - состояние, Q_m - элементарная операция, - знак отношения порядка.

Считается, что операция определена, если для нее указаны начальное состояние s^н, конечное состояние s^k, порядок смены состояний системы, который может быть описан дифференциальным уравнением, конечными автоматами, вероятностными автоматами, цепями Маркова, булевыми функциями, функциями предикат.

Взаимодействие элементов определяется связями, которые соединяют элементы и признаки в целое. Обычно предполагают, что связи существуют между всеми элементами. В первую очередь рассматриваются те связи, которые по заданным правилам определяют процесс взаимодействия между элементами для достижения общей цели. Множество связей между элементами (подсистемами), существующих при выполнении конкретных операций, составляет структуру системы в данной операции.

Взаимодействие между элементами или подсистемами происходит по отдельным признакам. Конкретная связь может быть осуществлена только по одноименным признакам.

Между средствами (системами, подсистемами, элементами) исуществует связь, если они характеризуются хотя бы одним одинаковым признаком или если признаки имеют одинаковое значение.

Аналитически связь между средствами и по признаку может быть определена в виде:

Процесс проектирования как переход от одного описания объекта к другому может быть выражен как

,

где O_o - означает процесс проектирования; ОП₁, ОП₂ …ОП_i -описание объекта проектирования на разных этапах его разработки.

Описание объекта проектирования, определяющее достигаемые с его созданием и использованием цели, назовем целевым:

ОП₁=А₀={а₁,а₂…,а_m}.

Описание объекта проектирования, дающее представление об идее его технического решения, называется концептуальным. Математические модели объекта при таком описании включают множество целей и признаков, характеризующих объект в целом на всех этапах его жизненного цикла:

ОП₂={А₀,Р_i}.

Описание, дающее представление о функционировании объекта, называется функциональным. Математические модели, относящиеся к этому описанию, содержат множество признаков, определяющих взаимодействие системы со средой Р_с, и правило упорядочения смены состояний Н:

ОП₃={Р_с,Н}.

Математические модели, относящиеся к структурному описанию системы, включают следующие множества: элементов, составляющих систему Е; признаков, характеризующих элементы на всех этапах жизненного цикла P_ξ ; связей между всеми элементами системы Q, т.е.

ОП₄={Е,Р_ξ,Q}.

Динамическое описание включает математические модели, построенные на множестве признаков, определяющих взаимодействие системы со средой Р_с, множестве элементов времени Т и математических схемах, описывающих отношения между признаками элементов и признаками системы:

ОП₅={Р_с,Т,F=f_m())}.

Описание, определяющее параметры объекта, называется параметрическим. В его состав входит множество параметров

ОП₆={p₁,p₂,…,p_n}.

В автоматизированном проектировании специфика выполняемых процедур проявляется в математических моделях объекта проектирования (МОП), зависящих от предметной области. Однако в технике построения МОП имеется много общего.

Различают три уровня МОП: микро-, макро- и метауровни.

На микроуровне фазовые переменные распределены в пространстве (распределенные модели). Модель чаще всего представляется дифференциальными уравнениями в частных производных.

На макроуровне МОП — дискретные модели, элементами которых выступают объекты, рассматриваемые на микроуровне как системы. Фазовые переменные на макроуровне -это скорости, силы, потоки, давления, а сами модели выражаются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

На метауровне объект проектирования рассматривается как сложная система, взаимодействующая с факторами окружения. Для построения МОП в данном случае используются теории автоматического управления и массового обслуживания, методы планирования эксперимента, математическая логика, теория множеств.

Математическая постановка задачи всегда должна соответствовать стратегическому подходу к методу моделирования, т.е. классическому или системному.

Простой подход к взаимосвязям между отдельными частями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Процесс синтеза модели на основе классического (индуктивного) подхода представлен на рис.2. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель М.

Таким образом, разработка модели на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Отличительными сторонами классического подхода являются: движение от частного к общему, создаваемая модель образуется путем суммирования отдельных компонент и не учитывается возникновение нового системного эффекта.

С усложнением объектов моделирования возникла необходимость перейти на новый, системный подход, который позволяет создавать систему, являющуюся составной частью метасистемы.

В основе системного подхода лежит рассмотрение системы как единого целого, причем это рассмотрение при разработке начинается с главного - формулировки цели функционирования. Процесс синтеза модели М на базе системного подхода условно представлен на рис.3. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Тк модели системы. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза -выбор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.

Рис.2. Процесс синтеза модели на основе классического подхода

Рис.3. Процесс синтеза модели на основе системного подхода