Глава 3. Своеобразие математического метода

ИССЛЕДОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ

3.1. Основные направления в философии математики

Теоретико-множественная концепция позволила в значительной мере разобраться в разнообразии всевозможных математических теорий и систематизировать их. Так чистая алгебра – это наука о системах объектов, в которой задано конечное число операций, применимых к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы. Этим чистая алгебра отличается от геометрии, которая существенно требует введения предельных отношений, связывающих бесконечное число объектов. В теории бесконечных множеств существует ряд парадоксов.

Наибольшую известность получили парадоксы «наивной» теории множеств и классической математической теории вероятностей. Примерами данных парадоксов может стать парадокс Кантора или парадокс Рассела - Цермело. Обнаружение парадоксов стимулировали дальнейшие исследования и привели к появлению соответствующих аксиоматических теорий.

Система представлений о предмете и методах математики, сформированная практикой математического мышления, время от времени ставится под вопрос новыми фактами математической науки. Известно, что открытие несоизмеримости в геометрии существенно поколебало пифагорейское учение о числах как о некоторой фундаментальной основе мира. Большое значение в этой связи получает философия математики, которая эволюционировала в процессе исторического развития в современную философию математики.

Философия математики – область философских исследований, нацеленных на понимание природы и методов математического мышления.

В философии математики выделяют два направления: фундаменталистское и нефундаменталистское.

Фундаменталистсткая фаталистская философия математики выясняет проблему сущности математики, не зависящей от фундаментальных математических структур.

В нефундаменталистской концепции выделяются три ветви: историческая ветвь, ветвь социальной детерминации, ветвь культурной детерминации.

Отличительные черты нефундаменталистской математики, что здесь изучается группа проблем функционирования математики (математики в ее динамике).

За последний период философия математики превратилась в самостоятельную область исследований.

Выдвигаются основные проблемы истории математики.

Каковы принципы влияния социокультурной среды на развитие математики? Каким образом развивалась математика как социальный институт? Не окажется ли историческое исследование математических явлений задержкой в развитии математики?

Выявление исторических периодов в развитии математики. Обучение математике. Каким образом будут соотноситься «прикладные» и «теоретические» исследования? И в каком смысле можно говорить об их единстве?

Одним из направлений современной философии является конвенционализм.

Конвенционализм – направление в философии науки и математики, согласно которому, все исходные принципы математики и естественно-научных теорий являются не обобщением опыта и не априорными принципами сознаниями, а соглашениями, продиктованными полезностью. Посредством этого допущения основатель данного направления А. Пуанкаре пытался объяснить факт общезначимости и стабильности арифметических и геометрических аксиом.

В определенной степени идея конвенциональности присутствует уже у Т. Гоббса и Д. Юма, которые выводили непреложность математического знания из общезначимости определений, принятых по соглашению Дж. Ст. Юма, которые выводили непреложность математического мышления об общезначимости определений, принятых по соглашению. Дж. Ст. Милль был склонен рассматривать логические законы как конвенции, согласованные с устойчивыми связями психических состояний личности.

Идею Пуанкаре о конвенциальной природе математики использовали в своих работах Б.Рассел, Р. Карнап и Л. Витгенштейн. Математические утверждения согласно Расселу, неопровержимы по той же причине, по которой нельзя опровергнуть конвенциальное положение, что в футе содержится 12 дюймов.