shpory_po_matem1

21.Метод трапеций. Приложение определённого интеграла.Пусть задана функция f(x)-непрепывная на отрезке [a,b] необходимо вычислить Разлбъём отрезок [a,b] на n- равных частичных отрезков точками A=x₀<x₁<…<x_n=b,∆X_k =X_k -X_k-1=(b-a)/n, k=1;n Проведя прямые x= X_k , k=[0;n] всю криволинейную трапецию разобьём на n-частичных криволинейных трапеций соединим 2-е соседние точки( x(k-1); f( x _k-1)), (x(k); f( x _k))Хордой и рассмотрим n прямоугольных трапеций Исходя из геом. Смысла опр. ИнтегралаПусть y=f(xk), тогда y=f(xk)Для наглядности на рисунке рассмотрена неотрицательная ф-ция, однако по формуле что выше имеет место для любой интегрируемой на отрезке [a,b] функции f(x) эта формула наз формулой трапеций она тем точнее чем больше число n, в частности если функция f(x) имеет 2-ую непрерывную производную то абсолютная погрешность не превосходитПриложение опр. ИнтегралаИз геом смысла опр интеграла следует, что интервал от a,b ,численно равен S криволин. трапеции ограниченной графиком y=f(x), прямыми x=a, x=b, и осью абсцисс (в случае если ф-ция f(x) неотрицательная)

22. Несобственные интегралыОпределённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится. Признак Дирихле. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b]; 2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём. Признак Абеля. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл сходится; 2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:.

№23.Понятие числового ряда.Необход.условие сходимости. Пусть {а_n}-числовая послед-ть, где а_nR, nN. Выражение вида а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=_n (1) наз.числовым рядом.Числа а₁,а₂,…а_n наз.членами ряда,а а_n-n-м или общим членом ряда (1). Сумма первых n-членов ряда (1) наз. n-ой частичной суммой данного ряда и обознач. S_n: S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n=_к. Имеем S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁ +a₂+a₃, S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n. Рассм.послед-ть частичных сумм ряда (1) S₁ ,S₂ ...,S_n. Если послед-ть частичных сумм { S_n } имеет конечный предел S,то числовой ряд (1) наз.сходящимся,а число S наз. Суммой ряда (1): S=_n или _n. Если же предел послед-ти { S_n } не существует или бесконечен,то ряд (1) наз.расходящимся.

24.Критерии сходимости числового ряда.Основные методы исчисления знакоположительного ряда. Теорема 4: для того что бы ряд сходился,необходимо и достаточно что бы последовательность его частичных сумм была ограниченной. Теорема 5: для сходимости ряда необходимо и достаточно, что бы для любого ε>0существовалл N(ε) такой что при всяком натуральном р и всех n> N(ε) имело место неравенство │S_n+p-Sn│=││<εСходимость или расходимость знакоположительного ряда часто можно установить путём сравнения его с другими рядами, о которых известно сходятся они или нет. Теорема 6:пусть даны два ряда с неотриц. членами (обозначимА)и ( обозначим В) и пусть a_n≤b_n тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А расходимость ряда В. Теорема 7: пусть даны два знакоположительных ряда А и В если сущ. Конечный отличный от нуля предел =A (0<А<∞), то ряды А и В одновременно сходятся или расходятся. Теорема 8: пусть дан ряд с положительными членами и сущ предел=q тогда при q<1 ряд сходится а при q>1 расходится. Теорема 9:если для ряда с неотриц членами сущ предел =q то при q<1 ряд сходится ,а при q>1 расходится. Теорема 10: если члены знакоположительного ряда монотонно убывают и сущ положительная невозрастающая функция f(x) такая что f(n)=an при n≥1. То ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

25.Знакочередющиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося рядавыполняются следующие условия: тогда ряд сходится. Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность а-n существенна. Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым

26.Знакопеременные ряды. Сходимость.Числовой ряд п,содер бесконеч множество положит и бесконеч множество отриц членов наз знакопеременным. Теорема 1Пусть дан знакопеременный ряд ∑ап(1).Если сходится ряд ∑│ап│(2) составленный из модулей членов данного ряда (1)сходится и знакопеременный ряд(1).Ряд (1)наз абсолютно сходящимся,если ряд (2)сходится.Если же ряд(1)сходится,а ряд(2)расходится,то ряд(1)наз условно сходящимся.Св-ва обсолютно сходящихся рядов:1).Если ряд(1)абсолютно сходится и имеет сумму S,то ряд,полученный из него перестановкой членов также сходится и имеет ту же сумму S,что и исходный ряд(1).2)Абсолютно сходящиесь ряды п и п с суммами S1 и S2 можно почленно складывать(вычислять).В итоге получится абсолютно сход ряд,сумма которого равна S1+S2 (S1-S2).Произведение 2 рядов п и п наз ряд вида(а1б1)+(а1б2+а2б1)+(а1б3+а2б2+а3б1)+…+( а1бп+а2бп-1+…+апб1)+…Произведение 2 абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть бесконечно сход ряд,сумма которого= S1*S2.Теорема Римоно:Если ряд(1)сходится неабсолютна ,то какое бы ни взять число S,можно так переставить члены в этом ряду,чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно S.

27. Степенные ряды. Сходимость степенного ряда. Опр. Функциональный ряд вида ,(1), где , , наз-ся степенным рядом. Числа , , …, , … наз-ся коэффициентами степенного ряда (1). Если , то ряд (1) имеет вид , (2). Будем рассматривать только такие степенные ряды, т.к. полагая в (1) , получаем ряд вида (2).Степенной ряд (2) всегда сходится в точке х=0. Если х≠0, то ряд (2) может сх-ся или расх-ся.Т1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сх-ся в т. х₀≠0, то во всех точках х, |х|<|х₀|, он схся абсолютно. Если в т. х₁≠0 степ. ряд (2) расх-ся, то он расходится во всех точках х, |х|>|х₁|. Теор. Абеля дает ясное представление об области сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся следующим приемом: окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку сходимости ряда (2), а в красный цвет – каждую точку расходимости ряда (2). Очевидно, что т. х=0 будет всегда окрашена в зеленый цвет. Если степенной ряд сходится всюду на R, то вся числовая ось будет зеленой. Если степ. ряд везде расходится, то вся числовая ось, кроме т. х=0, будет красной. Если какая-нибудь точка х₀≠0 будет окрашена в зеленый, то зелеными будут все точки лежащие между х₀ и х=0, а также между -х₀ и х=0. Если какая либо точка х₁>0 будет красной, то будут красными все точки лежащие правее х₁. Если х₁<0 будет красной, то будут красными все точки лежащие левее х₁. Т.к. каждая точка числовой оси будет либо зел. либо красн., то идя от т. х=0 вправо по числовой оси сначала будем встречать только зел. точки, а затем – только красные, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может быть как красн., так и зел. цвета (в зависимости от того сходится ряд на границе или расх.) То же самое можно сказать, если идти налево от точки х=0 в частности в т. х=-R ряд может сходиться или расх-ся.

Опр. Число R наз-ся радиусом сходимости ряда (2), интервалом (-R,R) – интервалом сходимости. Если ряд (2) сх-ся только в т. х=0, то R=0; если ряд сх-ся для всех хR, то R=+∞. Подчеркнем, что в кажд. т. х(-R,R) ряд (2) будет сх-ся абсолютно, в точках х=±R может сх-ся или расх-ся. Т2 Если сущ-ет предел , то радиус сходимости R ряда (2) равен , т.е. . Т3 Если сущ-ет , то . Сформулируем основные свойства степенных рядов (2) с интервалом сходимости (-R;R): 1. Степенной ряд (2) сх-ся равномерно на любом отрезке, содержащемся в (-R;R). 2. Сумма S(x) степенного ряда (2) явл-ся непрерывной ф-цией в интервале сходимости (-R;R). 3. Ст. ряды и , имеющие радиусы сход-сти соотв-но R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать, причем радиус сходится полученных т.о. рядов равен меньшему из чисел R₁ и R₂. 4. Ст. ряд (2) внутри интервала сх-сти (-R;R) можно почленно дифференцировать. 5. Ст. ряд (2) можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сх-сти (-R;R).Отметим, что св-ва 1-5 справедливы и для ст. рядов вида (1).

28. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Для любой функции f(х), определённой в окрестности точки а и имеющей в ней производные до (n+1)-ого порядка включительно, справедлива формула Тейлора: (1), где R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора. , , . Соотношение (1) запишем в виде (2), где P_n(x) – многочлен Тейлора: (3). Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки а и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при n→∞, то из формулы Тейлора получим разложение функции f(x) по степеням (х-а), называемое рядом Тейлора: (4). Ряд Тейлора (4) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки а. такой ряд может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции f(x).теорема1 Ряд Тейлора (4) функции f(x) сходится к f(x) в точке х из некоторой окрестности точки а тогда и только тогда, когда в этой точке х остаточный член формулы Тейлора (1) сходится к 0 при х→∞. отметим, что проверка условия теоремы 1 во многих случаях вызывает трудности, поэтому на практике часто используют достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора, которое выражается следующей теоремой. Теорема2. Если функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале (а-δ;а+δ) и все её производные ограничены одной и той же константой М на (а-δ;а+δ), то ряд Тейлора (4) сходится к функции f(x) на (а-δ;а+δ).

30.Понятие диф ур-нияю Решение диф ур-ний с разделяющимися переменными.Пусть x − независимая переменная, y= y(x) − искомая неизвестная функция. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащие производную или производные неизвестной функции. Уравнения вида y' = f( x, y )называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка, разрешенными относительно производной.Уравнения вида f(x,y,y’)=0 называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Дифференциальные уравнения вида y ‘=g( y )*f (x) называют уравнениями с разделяющимися переменными. Решение уравнений с разделяющимися переменными осуществляется по следующей схеме: dy/dx=f (x)* g (y) ⇒dy/ g (y) =f(x)dx⇒ ∫dy /g(y)= ∫ f(x) dx .

34.Диф ур-ния высших порядков.Метод Эйлера.

Диф.урав n-ого порядка наз.урав.вида f(х, y, y…’,)=0.Решением такого урав.служит всякая,

n раз непрерывно диф.ф-ция y=(х),опред.на некатором интервале(а,b) и обращ.данное урав.втождество.Урав.Ф(х,y,С1,С2…С)=0 определяющ. Общее решение как неявную ф-цию,наз.общим интегралом диф.урав.Линейным однород.урав.n-ого порядка с постоян.коэфиц. наз. урав+а1+а2+…+y’+y=0

y=,+а1+…+ԓ+=0 это урав.наз. характеристическим . Решен.однородного диф.урав.

свелось к решен.алгебраич. урав.,этот м-д наз.м-дом Эйера.

31.Понятие диф ур-ния. Решение однородных диф ур-ний.При реш. различных задач матем., физ,. химии и др наук часто исп-ся ур-ния,связывающие независимую переменную,искомую ф-цию и не производные. Такие ур-ния наз-с дифференциальными. Если искомая ф-ла зависит от 1 переменной,то дифф.ур. наз.обыкновенным. если искомая ф-ция зависит от неск.переменных,то диф.ур. наз.ур-нием в частных производных. Наивысший порядок производной,входящий в диф.ур.,наз. порядком этого ур-ния.Диф.ур. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз.однородным,если ф. P(x,y)и Q(x,y) (1)-однородные ф-ции одной степени. Разделив ур.(1) относит. произодн. dy\dx, запишем dy\dx=f(x,y) (2),где f(x,y)-однородная ф-ция нулевой степени. Покажем,что с пом.замены y=ux,где u=u(x),однор. ур-ние сводится к ур-нию с разделяющимися переменными. Пусть t=1\х. подст. t в 1,получ. (1\t^m)P(1;y\x)dx+ (1\t^m)Q(1;y\x)dx=0. Учит.,что dy\dx=u+x(dy\dx), имеем P(1;u)+Q(1,u)+xQ(1,u)(du\dx)=0. Получ. (Q(1,u)du)\(P(1,u)+uQ(1,u)=-dx\x –ур-ние с раздел.переменными. При делении перем. могли быть утеряны решения вида u=a, где а-корень ур-ния P(1;u)+uQ(1,u)=0.

33. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.Решением линейное неоднородного уравнение y`+p(х)у=q(x) (7) Решение будем искать в виде: у=C(x) (8) Где C(x)- неизвестная функция подставляя (8) и (7), имеем: С(х)+С(х)+С(х)р(х)= q(x) С(х)=0 Значит, С(х)= q(x)=C(x)=dx+C Подставляя найденное С(х) в (8), получим формулу Бернулли y=C +dx Описанный метод решения уравнения (7) наз. методом вариации произвольной постоянной или методом методом Лагранжа. Др. методом решения линейного уравнения явл метод Бернулли , кот. заключается в след.:Решение уравнения(7) ищем в виде y=uv, где u(x) и v(x)- непрерывно дифференцинцируемые на I функции, причём u(x)0, v(x)0. После подстановки y в (7) и учитывая, что = u+vПолучим u+v+p(x)uv=q(x)(9)Потребуем, чтобы v(+p(x)u)=0 , будем иметь+p(x)u=0 (10)Или = p(x)dx. Подставляя частное решение этого уравнения u= в (9), с учётом (10) получим dv= q(x)dx, а v= +C. Окончательно, y= Уравнением Бернулли наз. нелинейное диф. Уравнение первого порядка вида: y`+p(x)y=q(x)(11) Где α(α α1) – произвольное вещественное число подстановка u= приводит уравнение (11) к линейному неоднородному уравнению. Уравнение(11) можно решать также подстановкой y(x)=u(x)v(x). Тогда, записав уравнение(11) в виде u`v+(v`+p(x)v)u=q(x), решим два уравнения с разделяющимися переменными: v`+p(x)v=0(берём только 1 решение v0) и u`=q(x)(берём его общее решение) Подставляя найденные u и v в соотношение y(x)=u(x)v(x), получим общее решение уравнения Бернулли. Уравнение вида:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(12)наз уравнением в полных дивверенциалах, если его левая часть явл полным дифференциалом некоторой функции u ,т.е. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)(13)

7.точка а – точка разрыва f(x) если f(x) не является непрерывной в этой точке.если x=a – точка разрыва y=f(x) то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий 1-ого определения непрерывности функции а именно:1. Функция определена в некоторой окрестности точки а, но не определена в самой точке а. 2. Функция определена в точке а и её окрестности но не существует limx→a f(x). 3. Функция определена в точке а и её окрестности и существует limx→a f(x) но он ≠f(a). Точка а – точка разрыва 1-ого рода функции y=f(x) если в этой точке существуют конечные односторонние пределы функции т.е. limx→a-0 f(x)=А₁, limx→a+0 f(x)=А₂ при этом:а) если А₁=А₂ то точка а – точка устранимого разрыва. б)если А₁≠А₂ то точка а – точка конечного разрыва значения (А₁-А₂)- скачок функции в точке разрыва x=a. Точка а – точка разрыва 2-ого рода y=f(x) если по крайней мере 1 из односторонних пределов не существует.

29. Представление элементарных ф-ций рядом Маклорена. Ряд Тейлора Если а=0, то он наз-ся рядом Маклорена. При разложении ф. f(x) в ряд Макл. (1) поступаем так: вычисляем значения ф. f(x) и ее производных f’(x), f”(x),…, f⁽ⁿ⁾(x),… . В точке х=0: записываем ряд (1) и находим его интервалом сходимости, определяем интервалом (-R;R), в кот. остаточный член при (если такой интервал сущ-ет, то на нем справедливо разложение (1)). а) пусть f(x)=е^х, f⁽ⁿ⁾(x)= е^х, при х=0 f⁽ⁿ⁾(0)=1. Ряд Маклорена будет иметь вид . б) пусть f(x)=sin x, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x + ), , при х=0 f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’’’(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, … Ряд Маклорена будет иметь вид . Тогда имеем .в) аналогично .г) разложим ф. f(x)=ln(1+x) в ряд Макл. , .д) , . При х=1 имеем ;при х=-1 . Эти ряды сходятся условно.е) разложение в ряд степенной ф. (1+х)^α,(α≠0). .

35. Метод Эйлера решения диф.ур.Пусть λ1, λ2, λ3,…, λn –корни ур-ния λⁿ+a₁ λ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n=0 (3),причем среди них могут быть и кратные(повторяющиеся).Возм.след.случаи:1) λ1, λ2, λ3,…, λn-вещественные и различные.Тогда фундаментальная система реш. ур-ния y⁽ⁿ⁾+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+…+a_n-1y`+a_ny=0 (1) имеет вид: е^λ1х, е^λ2х, …, е^λnх (4),а общ.решением эт.ур-ния будет: Ў=С1е^λ1х+С2 е^λ2х+…+С_n е^λnх. где С1,С2,…,Сn-произвольные постоянные. 2) Корни характеристического ур-ния вещественные, но среди них есть кратные.Пусть,например, λ1=λ2=…= λк, т.е. λ1 явл. к-кратным корнем ур-ния (3),а все ост. (n-k) корней различные.Фундаментальная сист. решений ур-ния (1)в эт.случ.: е^λ1х, хе^λ1х, …,х^к-1 е^λ1х, е^λк+1х, е^λnх, (5),а общ.реш. Ў=С1е^λ1х+С2х е^λ1х+…+ С_кх^к-1е^λ1х + С_к+1 е^λл+1х +С_n е^λnх .3) Среди хар-ого ур. (3)есть комплексные. Пусть для определенности λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, λ3=υ+iδ,λ4=υ-iδ,а ост.корни вещественные и различные.Поскольку коэффициенты a_i, i=от 1до n, ур-ния (3)вещественные,то комплексные корни этого ур-ния попарно сопряженные.Согласно у=е^λх (2) будем иметь: у1= е^λ1х=е^(α+iβ)х=e^αx(cosβx+isinβx), у2=e^αx(cosβx-isinβx), у3=e^υx(cosδx+isinδx), у4=e^υx(cosδx-isinδx), у5=e^λ5x,…, у_n=e^λnx.Фунд.сист.реш.:е^αхcosβx,е^αхsinβx,е^υхcosδx,е^υхsinδx,e^λ5x,…,e^λnx, (6). Ў=С1е^λхcosβ+С2 е^λхsinβ+C3е^υхcosδx+C4 е^υхsinδx +C5 e^λ5x +C_n е^λnх .Общ.реш.4) Пусть λ1=α+iβ явл. к-кратнымкорнем ур.(3 ) (к<=n\2), λ2=α-iβ также будет к-кратн.корнем и пусть ост.корни веществ.и различны. фунд.сист.реш.ур.(1): е^αхcosβx,е^αхsinβx,хе^λхcosβx,хе^λхsinβx,…,х^к-1е^λхcosβx, х^к-1е^λхsinβx, е^λ2к+1х,…,e^λnx (7). Общ.реш.диф.ур.1 запишется: Ў=С1е^αхcosβx+С2е^αхsinβx+С3хе^λхcosβx+С4хе^λхsinβx,…,С_2к-1х^к-1е^λхcosβx+C_2k х^к-1е^λхsinβx+С_2к+1е^λ2k+1х+…+Cne^λnx

13. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале (а;b) и в некоторой точке х₀ϵ(а;b) имеет локальный экстремум. Тогда если в точке х₀ существует производная то она равна 0, т.е. f'(x₀)=0. Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b] , дифференцируема на интервале (а;b), и на концах отрезка [a;b] принимает равные значения, то есть f(a)=f(b). Тогда существует точка cϵ (а;b), в которой f'(c)=0. Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b), то существует точка cϵ(а;b),такая, что справедлива формула:. Теорема Коши. Если функция f и g непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b), причём g'(x)≠0, то существует точка cϵ(а;b),такая, что справедливо равенство:.

1. Пусть N – множество натур чисел. Если каждому натур числу n поставлено в соответствие некоторое число x_n, то говорят, что определена числовая последовательность х₁, х₂,…, х_n. Числа х_n назыв элементарными или членами последовательности. Числовую последовательность будем записывать в виде {x_n}. Последовательности {x_n+y_n}, {x_n-y_n}, {x_ny_n}, назыв соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_n} и {y_n}. Последовательность {x_n} назыв ограниченной, если существуем М>0 такое, что для любого nϵN: . Последовательность {x_n} назыв неограниченной, если для любого М>0 существует nϵN: .