6. Колебания математического и физического маятников

Математический маятник

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, например, небольшойшарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис. 3.8). Отклонение маятника от положения равновесия определяется углом. При отклонении маятника от положения равновесия действует момент силы, модуль которого равен, где- масса шарика;

- длина нити. Направление момента силы таково, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. по своему действию моментаналогичен упругой силе. Поэтому по аналогии с колебанием груза на пружине противоположный знак следует приписать угловому смещению.

Тогда вращательный момент .

Вращательный момент, действующий на маятник, сообщит маятнику угловое ускорение . Уравнение движения маятника

(2.64)

где J=ml²,

Для малых колебаний =

(2.65)

Обозначим и запишем уравнение колебания математического маятника

(2.66)

Результат решения уравнения (3.38) аналогичен уравнению (3.14) для колебания груза на пружине:

(2.67)

Период и частота колебаний математического маятника

, (2.68)

(2.70)

Физический маятник

Физический маятник состоит из твёрдого тела, совершающего малые колебания.

При отклонении тела от положения равновесия возникает момент силы тяжести М=mglsinα, гдеl– расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С (рис.3.9).

Уравнения колебаний физического маятника:

(2.71)

где ,J- момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

Период колебаний физического маятника:

(2.72)

Из сравнения формул (3.43) и (3.40) следует, что математический маятник с приведённой длиной и с подвесом в точке О будет иметь такой же период колебаний, как и физический.

2.7. Задания для самоконтроля знаний

1. Определить скорость центра инерции автомобиля массой 3т и количеством движения 6·10 кг м/с.

2. Определить ускорение автомобиля массой 3т, если его импульс 6·10кг м/с в течение одной минуты уменьшился в два раза.

3. Чему равен момент инерции вала, если под действием момента сил 5·10 Н·м он стал вращаться с угловым ускорением 5 рад/с².

4. Определить момент сил действующих на неподвижный блок, если в течение 30с его момент импульса стал равным 3·10³ .

5. Найти силу действующую на тело массой m=1г, если оно двигалось со скоростью 10 м/с, а его импульс за время ∆t=1мкс увеличился вдвое.

6. Определить силу давления пассажира массой 60 кг на стенку сидения в автомобиле движущейся со скоростью 80 км/ч при тормозном пути 30м.

7. Найти силу действия и противодействия тела лежащего на наклонной поверхности с углом наклона к горизонту α=30º.

8. Определить результирующую силу действующую на груз массой 9т в вагоне, если поезд движется с ускорением 2 м/с².

9. Определить модуль равнодействующей силы действующих на вагон массой 10т спускающегося с горки с уклоном 5^º и коэффициентом трения 5·10^-2.

10. Определить силу тяжести космического корабля массой 1т на высоте равной радиусу Земли.

11. Определить силу реакции опоры поверхности прямоугольного клина с катетами 3 и 5 см, если на ней лежит тело массой 10кг.

12. Найти коэффициент трения тела о поверхность, если оно начинает движение при ее угле наклона к горизонту равным 30º.

13. Определить силу трения качения пары колес массой 200 кг, радиусом 50 см, если коэффициент трения качения равен 5·10^-2м.

14. Определить удлинение закрепленного металлического стержня длиной 1м и сечением 1см², если на него перпендикулярно его торцам действует сила 10⁶ Н, а модуль Юнга равен 2·10¹¹ .

15. Найти модуль сдвига цилиндрического стержня, если он под действием тангенциального напряжения τ=10⁷имеет относительный сдвиг.

16. Определить коэффициент упругости пружины, если она растягивается на 2 мм под действием силы 5 кН.

17. Определить силы внутреннего трения и сопротивления цилиндрического тела сечением S=1 см² и длиной 10см движущегося со скоростью 10 м/с в воде вдоль трубы диаметром 5см.

18. Определить максимальною скорость колебаний пружинного маятника с параметрами, если максимальное смещение от положения равновесия груза равно 5 см.

19. Определить период затухающих колебаний, если частота свободных колебаний 1 Гц, а коэффициет затухания 2 с^-1

20. Определить время релаксации затухающих колебаний с коэффициентом затухания 2 с^-1

21. Определить резонанстную частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости 100 Н/м, массой груза 10 кг и коэффициентом затухания 2 с^-1

22. Определить период и частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости пружины 100 и массой груза 10 кг.

23. Определить максимальную скорость колебаний пружинного маятника с параметрами k=200,m=5 кг, если максимальное смещение от положения равновесия груза равно 5 см.

24. Определить период затухающих колебаний, если частота свободных колебаний 1 Гц, а коэффициент затухания 2 с^-1.

25. Определить время релаксации затухающих колебаний с коэффициентом затухания 2 с^-1.

Определить резонансную частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости 100 , массой груза 10 кг и коэффициентом затухания 2 с^-1.