2. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.

Уравнение волны позволяет найти смещение sлюбой частицы среды от ее положения равновесия. Смещение зависит от координат частицы и времениs(x,y,z,t) и является периодической функцией.

Будем считать, что частицы среды совершают гармонические колебания и образуют плоскую волну движущихся в направлении осих.

Выделим в среде две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность О), другая – через произвольную точку с координатойх(поверхность Х) (рис. 5.2). Пусть смещение частиц принадлежащих волновой поверхностиО, изменяется какКолебания частиц, принадлежащих поверхностиХ, начнутся позже, так как требуется время за которое волна проходит расстояниех, отделяющее поверхностиОиХ.

Смещения частиц поверхности Хбудут отставать по времени от аналогичных смещений частиц поверхностиОнаи для них

(5.2)

Уравнение (5.2) – есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси х.sопределяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатойхв момент времениt, А – максимальное смещение.

Запишем уравнение волны

(5.3)

где волновое плечо.

Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси, имеет вид

График и функции s(t) иs(x) при некотором фиксированном значениих иtприведены на рис. 5.3

Уравнение плоской волны записывается в результате решения волнового дифференциального уравнения в котором вторые частные производные от смешения по координатам связаны со вторыми производными от смещения по времениПродифференцируем уравнение волны (5.3) дважды по времениt и координатой хи полученные равенства поделим

Так как то, и волновое уравнение плоской гармонической волны запишется в виде

_(5.4)

Для волны распространяющейся в произвольном направлении, волновое уравнение имеет вид:

_(5.5)

Приведем формулы для расчета скорости распространения волны в разных средах, которые могут быть полезны при решении инженерных задач.

1. В растянутой струне скорость распространения поперечной волнызависит от силы натяжения струныи от ее массы, приходящейся на единицу длины, (, где– плотность материала,S– площадь поперечного сечения,- длина струны)

. (5.7)

2. Скорость распространения колебаний в твердом тонком стержне для продольной волны

, (5.8)

, (5.9)

где Е – модуль Юнга, G– модуль сдвига,- плотность материала стержня.

3. Скорость распространения звуковой волны в идеальном газе

, (5.10)

где – показатель адиабаты, Т – температура,R– универсальная газовая постоянная,– молярная масса газа.