9. Символьные вычисления в пакете

Символьными называют такие вычисления, результаты которых представляются в аналитическом виде, т.е. в виде формул. Пакет располагает символьным процессором, основой которого является ядро системы символьной математики MapleV.

Команды символических вычислений содержатся в меню Simbolic. Чтобы выполнить символьную операцию, процессору необходимо указать, над каким выражением она должна проводиться, т.е. надо выделить выражение. Это можно сделать, захватив выражение в пунктирную рамку с помощью мыши.

Для ряда операций следует указать не только выражение, к которому применяется операция, но и наметить переменную, относительно которой будет выполняться операция.

Результат символьного вычисления выводится ниже исходного выражения, справа от него или вместо него. Способ вывода задается командой Evaluate StyleменюSimbolic.

Символьные операции с выделенными выражениями:

• Evaluate– преобразовать выражение;

• Simplify– упростить выражение;

• Expand– разложить по степеням;

• Factor– разложить на многочлен.

Символьные операции с выделенными переменными:

• Solve– решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной;

• Substitute– выполнить подстановку (заменить указанную переменную содержимым буфера;

• Differentiate– дифференцировать выражение по выделенной переменной;

• Integrate– интегрировать выражение по выделенной переменной;

• Expand to series– разложить в ряд Тейлора;

• Convert to partial factor– разложить на элементарные дроби.

Задание

1. Разложить на множители

2. Упростить

3. Разложить в ряд

4. Вычислить интеграл в символьной форме

5. Продифференцировать

10. Обработка данных и статистика

Одномерная линейная аппроксимация

Для вычисления дополнительных точек функции y=y(x), т.е. между узловыми точками, в которых значения функции известны, при кусочно-линейной интерполяции используется функцияlinterp(VX,VY,y). Данная функция возвращает значение функцииy=y(x) для заданных векторовVXиVYузловых точек и заданного аргументаx.

Одномерная сплайн-интерполяция и аппроксимация

При небольшом числе узловых точек линейная аппроксимация оказывается довольно грубой. Гораздо лучшие результаты дает сплайн-аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три узловых точки.

Для осуществления сплайн-аппроксимации в пакете MathCadимеются четыре встроенные функции:

• cspline(VX,VY) – возвращает векторVSвторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

• pspline(VX,VY) - возвращает векторVSвторых производных при приближении в опорных точках к параболе;

• lspline(VX,VY) - возвращает векторVSвторых производных при приближении в опорных точках к прямой;

• interp(VS,VX,VY) – возвращает значениеy(x) для заданных значенийVS,VX,VYиx.

Таким образом, сплайн-аппроксимация осуществляется в два этапа. На первом этапе отыскивается вектор вторых производных VSфункцииy(x), заданной векторами значенийVXиVY. На втором этапе для заданной точкиxвычисляется значение функцииy(x).

Пример

Задание

Наберите данный пример, постройте графики таблично заданной функции Y=Y(X) и функции, ее интерполирующей.

Статистическая обработка данных

Рассмотрим только вопросы выполнения регрессии, т.е. получение параметров функции, которая описывает исходную совокупность экспериментальных данных с наименьшей среднеквадратичной погрешностью.

Для проведения линейной регрессии y(x)=ax+bиспользуются следующие функции:

• corr(VX,VY) – возвращает коэффициент корреляции Пирсона;

• intercept(VX,VY) – возвращает значение параметраb;

• slope(VX,VY) – возвращает значение параметраa.

Пример

Задание

Постройте графики функции VY=VY(VX) и линейной рергессииy=ax+b.

Для проведения полиномиальной регрессии используется функция regress(VX,VY,n), которая возвращает векторVS, запрашиваемый функциейinterp(VS,VX,VY,x) и содержащий коэффициенты многочленаn-й степени, который наилучшим образом приближает совокупность точек с координатами, хранящимися в векторахVXиVY. Не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4-6.

Иногда бывает полезна функция полиномиальной регрессии, дающая приближение отрезками полиномов 2-й степени

loess(VX, VY, span).

Данная функция возвращает вектор VS, используемый функцией

interp(VS, VX, VY, x). Аргументspan>0 указывает размер локальной области приближаемых данных. Чем большеspan, тем сильнее сказывается сглаживание данных. Рекомендуемое значениеspan=0.75.

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие, поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных. Ряд функций пакета предназначен для выполнения операций сглаживания данных.

medsmooth(VY,n) – для вектора сmдействительными числами возвращаетm-мерный вектор сглаженных данных. Параметрnзадает ширину окна сглаживания, т.е. количество точек, по которым происходит усреднение. Параметрnдолжен быть нечетным и меньшеm.

ksmooth(VX,VY,b) – возвращаетn-мерный вектор сглаженных значенийVY, вычисленных на основе распределения Гаусса.VX,VY–n-мерные вектора действительных чисел. Параметрb(полоса пропускания) задает ширину окна сглаживания.

supsmooth(VX,VY) – возвращаетn-мерный вектор сглаженных данныхVY.VXиVY–n-мерные вектора действительных чисел. Элементы вектораVXдолжны идти в порядке возрастания.

Пример

В этом примере первый блок задает р-переменную, затем с помощью функции rnd( ) генерируется набор случайных чисел и задаются вектораXиY, которые описывают искомую функцию. Векторsmuхранит набор сглаженных значений исходной функцииY. На графике построены две функции: исходная функцияYи сглаженнаяsmu.

Задание

Для приведенного выше примера выполните последовательно двойное сглаживание исходного набора точек.