матем 1 уск 2009
.pdfВ формуле (8.1) отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования, а числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Переменная x называется переменной интегрирования.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть f (x) ≥ 0 на отрезке [a, b] (см. рис. 6.). Фигура АВСД, снизу ограниченная осью Ox , сверху графиком функции y = f (x) и прямыми x = a, x = b, называ-
b
ется криволинейной трапецией. Определённый интеграл ∫ f (x) dx равен
a
площади криволинейной трапеции ABCD .
Основные свойства определённого интеграла. Пусть функции f (x) и g(x) интегрируемы на рассматриваемых отрезках. Тогда выполняются следующие свойства для интегралов:
|
b |
|
b |
b |
1. |
∫( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx , |
|||
|
a |
|
a |
a |
|
b |
|
b |
|
2. |
∫k f (x) dx = k ∫ f (x) dx , |
(k = const) . |
||
|
a |
|
a |
|
|
b |
|
a |
|
3. |
∫ f (x) dx = − ∫ f (x) dx . |
|
||
|
a |
|
b |
|
|
b |
c |
b |
|
4. |
∫ f (x) dx = ∫ |
f (x) dx + ∫ |
f (x) dx , где c [a;b]. |
|
|
a |
a |
c |
|
Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) – какая-либо первообразная функции f (x) , то
b
∫ f (x) dx = F(x)
a
b a
= F(b) − F(a) . |
(8.2) |
Эта формула сводит задачу вычисления определённого интеграла к отысканию первообразной, т. е. к нахождению неопределённого интеграла.
e ln2 x |
e |
ln3 x |
e |
ln3 e |
|
ln3 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
Пример. ∫ |
|
dx =∫ln2 x d(ln x) = |
|
|
1 = |
|
− |
|
|
= |
|
|
− 0 = |
|
|
. |
x |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замена переменной в определённом интеграле. |
Если дан интеграл |
|||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx , то при замене x =ϕ(t) нужно заменить не только x на ϕ(t) |
и dx на |
a
33
ϕ′(t)dt , но и поменять пределы формуле
b |
x =ϕ(t), |
∫ f (x)dx = |
|
a |
a =ϕ(α), |
интегрирования a и b , согласно следующей
′ |
dt |
β |
′ |
dx =ϕ (t) |
|
||
b =ϕ(β) |
|
= ∫ f (ϕ(t)) ϕ (t)dt . |
|
|
α |
|
После вычисления интеграла не нужно возвращаться к прежней переменной x , так как пределы интегрирования меняются с учетом замены переменной.
|
|
3 |
|
x dx |
|
|
|
|
|
2 |
−1, |
dx = 2t dt |
|
2 |
2t(t |
2 |
−1) dt = |
||||||||||
|
Пример. ∫ |
|
= t = x +1, x =t |
|
|
= ∫ |
t |
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
x +1 |
|
|
при |
x = 0 t =1, при x =3 t = 2 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
t |
3 |
|
|
|
2 |
8 |
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2∫(t −1)dt = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
= 2 |
− 2 |
− 2 |
|
|
−1 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
−t |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближённое вычисление определённого интеграла. Довольно час-
то возникают ситуации, когда определённый интеграл затруднительно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этих случаях интеграл можно вычислить приближённо, например, по формуле прямоугольников или по формуле трапеций. Рассмотрим методы приближённого вычисления по этим формулам.
1.Метод средних прямоугольников. Разобьём отрезок [a;b] на n равных
частей длины h = b −n a следующим образом
a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b ,
здесь x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, K, xn = b .
Определим значение середины каждого интервала xi = xi −1 + xi .
2
Вычислим значение функции в этих точках:
y1 = f (x1), y2 = f (x2 ), K, yn = f (xn ) .
Тогда значение исходного интеграла будет приближённо равно
b |
b − a |
|
|
|
b − a |
n |
x |
i −1 |
+ x |
i |
|
|
I = ∫ f (x)dx ≈ |
|
( y1 |
+ y2 |
+K+ yn ) = |
|
∑ f |
|
|
, (8.3) |
|||
n |
n |
|
2 |
|
||||||||
a |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
34
2.Метод трапеций. В методе трапеций значения функции вычисляют в
точках |
x = a + |
b − a |
i . А формула трапеций имеет вид |
|
||||
|
|
|||||||
|
i |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
(x)dx ≈ b − a |
|
y0 + yn |
+ y1 + y2 + y3 +K+ yn−1) . |
|
|
|
I = ∫ f |
( |
(8.4) |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
n |
2 |
|
|
Поскольку значение определённого интеграла вычислено приближённо, следовательно, существует некоторая погрешность вычислений. Дадим понятия относительной и абсолютной погрешностей. Положительное число, заведомо превышающее ошибку приближённого вычисления по абсолютному значению,
называется абсолютной погрешностью, которая вычисляется по правилу
A = Iточное − Iприближ .
Отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла называет-
ся относительной погрешностью и вычисляется по формуле
Q = |
|
|
A |
|
|
100% . |
|
|
Iточное |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Под точным значением интеграла здесь понимается значение интеграла, полученное с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Под приближённым значением интеграла понимается значение, полученное с помощью одной из фор-
мул (8.3), (8.4).
4
Пример. Вычислить ∫(x +1)2 dx приближенно по формуле прямоуголь-
1
ников и по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Найти абсолютную и относительную погрешности.
Решение. Найдем точное значение интеграла:
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
(x |
+1)3 |
|
|
4 |
1 |
|
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
124 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∫(x |
+1) |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
(5 |
|
−1 ) = |
|
|
(125 −1) |
= |
|
|
≈ 41,333. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
|
f (x) = (x +1)2 , тогда разобьем отрезок интегрирования на 10 час- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
тей с шагом |
h = |
4 − 0 |
|
= 0.4 и составим таблицу, в которой найдены середины |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
отрезков |
xi |
= |
xi−1 + xi |
|
, |
i =1,2,...,10 |
и |
значение |
функции |
в |
этих |
точках |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yi = f (xi ) : |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0 |
|
|
0,4 |
|
|
0,8 |
|
|
|
1,2 |
|
|
1,6 |
|
2,0 |
|
|
2,4 |
|
2,8 |
|
|
3,2 |
|
3,6 |
|
4,0 |
||||||||||
y |
1 |
|
|
1,96 |
|
|
3,24 |
|
4,84 |
|
|
6,76 |
|
9 |
|
|
|
11,56 |
|
14,44 |
|
17,64 |
|
21,16 |
|
25 |
||||||||||||
xi |
0,2 |
|
|
0,6 |
|
|
1,0 |
|
|
|
1,4 |
|
|
1,8 |
|
2,2 |
|
|
2,6 |
|
3,0 |
|
|
3,4 |
|
3,8 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yi |
1,44 |
|
|
2,56 |
|
|
4 |
|
|
|
5,76 |
|
|
7,84 |
|
10,24 |
12,96 |
|
16 |
|
|
19,36 |
|
23,04 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь по формуле средних прямоугольников получим:
35
|
I = ∫ f (x)dx ≈ b − a ( y1 + y2 +K+ yn ) = 0,4 (1,44 + 2,56 + 4 + 5,76 + 7,84 + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+10,24 +12,96 +16 +19,36 + 23,04) = 0,4 103,2 = 41,28. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Абсолютная погрешность равна A = |
|
|
Iточное − Iприближ |
|
= 0,053. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Относительная погрешность равна Q |
= |
|
A |
|
|
|
|
100% = |
0,053 |
100% ≈13% . |
|||||||||||||||||||
|
Iточное |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41,333 |
|
|||||||||||
По формуле трапеций будем иметь |
+ y3 +K+ yn−1 ) = 0,4 (1 + 25 +1,96 + 3,24 + |
||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫ f (x)dx ≈ b − a ( y0 + yn + y1 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
+ 4,84 + 6,76 + 9 +11,56 +14,44 +17,64 + 21,16) = 0,4 103,6 = 41,44. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Абсолютная погрешность равна A = |
|
Iточное − Iприближ |
|
|
=0,107. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Относительная погрешность для формулы трапеций равна |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Q = |
|
|
A |
|
100% = |
|
0,107 |
100% ≈ 25,8% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Iточное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
41,333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая полученные результаты, можно сказать, что интеграл, вычисленный по формуле средних прямоугольников, оказался более точным, чем интеграл, вычисленный по формуле трапеций.
Задания для контрольной работы № 2
61–70. Найти предел функции.
61. |
а) |
lim |
|
x2 |
+5x −14 |
, |
|||
|
x2 |
+ 6x −16 |
|||||||
|
|
x→2 |
|
|
|||||
62. |
а) |
lim |
x2 − 2x |
, |
|
|
|||
5x3 |
− x2 |
|
|
||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
||||
63. |
а) |
lim |
|
x2 |
+5x + 6 |
, |
|
||
|
x2 |
+ 6x +8 |
|
||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|||||
64. |
а) |
lim |
|
x2 |
+ 6x +5 |
, |
|
||
|
|
|
+5x + 4 |
|
|||||
|
|
x→−1 x2 |
|
|
б)
б)
б)
б)
lim |
|
2x |
3 − x +1 |
. |
|||||||
|
|
|
− x2 + x |
||||||||
x→∞ 4x3 |
|
||||||||||
lim |
− 2x2 + x −1 |
. |
|
||||||||
|
|
|
x2 |
−3x |
|
|
|
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
2x − x2 −1 |
|
. |
|
||||||
4x |
2 |
−3x + |
3 |
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
x4 |
− x2 −1 |
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
− |
3x4 +1 |
|
|
|||||
x→∞ x2 |
|
|
|
36
65. |
а) |
lim |
|
x2 |
+ 6x −7 |
, |
|
|
б) |
lim |
1 − x3 +3x |
4 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+5x − |
6 |
|
|
|
|
|
x2 |
−3x4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→1 x2 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
66. |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
|
, |
|
|
б) |
lim |
|
−3x3 +3x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+3x − |
4 |
|
|
|
|
|
|
x3 −3x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→1 x2 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
67. |
а) |
lim |
|
x2 |
+ 6x − 27 |
|
, |
б) |
lim |
|
|
2x3 − x +1 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
x2 |
+5x − 24 |
|
|
|
4x2 − x3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
|
|
x→∞ x + |
|
|||||||||||||||||||||
68. |
а) |
lim |
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
, |
|
б) |
lim |
5x2 − 4x +1 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
x2 −6x + |
8 |
|
|
x2 + |
4x −3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
69. |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
x2 −9 |
|
|
, |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
x2 |
− 2x − 2 |
|
. |
||||||
|
|
x2 |
+ x −12 |
|
|
|
|
|
|
|
− x3 |
−7 |
|||||||||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3x2 |
|
||||||||||||||||
70. |
а) |
lim |
x3 +8 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
8x5 |
+ 6x2 +1 |
. |
|||||||||||
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x5 |
− x3 |
+5 |
|
|||||||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
71–75. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t = 0 , определено зависимостью Q = Q(t) (Кл). Найти силу
тока в конце T секунды.
71. |
Q = 3t3 |
− 2t +3 , |
T = 6 . |
72. |
Q = 4t2 + 6t +1, T = 7 . |
73. |
Q = t3 / 2 + 4t − 2, |
T = 9 . |
74. |
Q = t4 / 4 +3t 2 − 2t , T = 5. |
|
75. |
Q = 5t5 |
+ 4t2 + 4, |
T = 2 . |
|
|
76–80. Точка М движется так, что за время t(c) от начала движения она проходит расстояние, равное S(t)(м) . Найти скорость точки через T секунд после начала движения.
76. |
S(t) = |
t3 |
|
+ 2t 2 |
, T = 6 . |
77. |
S(t) = |
|
2t4 |
−5t + 4 , |
T = 3. |
||||
|
7 |
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
78. |
S(t) = |
t 4 |
+3t2 |
−3 , |
T = 2 . |
79. |
S(t) = 5t3 |
−t + 24 , |
T = 5. |
||||||
|
|||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
80. |
S(t) = t3 + 7t , |
T = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
81–90. Найти производные функций. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
81. |
а) y = sin3 (x2 − x) , |
б) |
y = |
ln(x − 2x2 ) |
, |
в) |
y = x tg(2 − x3 ) . |
||||||||
2x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
82. |
а) |
y = cos4 (ln x) , |
б) |
83. |
а) |
y = x5 42 x , |
б) |
84. |
а) |
y = tg4 (x − x2 ) , |
б) |
85. |
а) |
y =sin2 (x − x3 ) , |
б) |
86. |
а) |
y = 52 x+1 x , |
б) |
87. |
а) |
y = ctg2 (x2 − 2) , |
б) |
88. |
а) |
y = (x2 −5) log3 x , |
б) |
89. |
а) |
y = sin2 (1 − x) , |
б) |
90. |
а) |
y = x 4 x −1, |
б) |
y = |
x3 −8 |
|
, |
|
|
sin(5x) |
|
||||
|
|
|
|||
y = |
2x + |
1 |
, |
||
ln(6 − x2 ) |
|||||
|
|
y = |
|
x2 |
|
|
|
, |
|
|
|
x − x2 |
|||||
y = |
e2x −1 |
, |
|
|
|
||
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
sin x |
|
|
, |
||
|
|
x −3 |
|
|
|||
y = |
log2 x |
|
, |
|
|||
|
|
||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
y = |
|
e2x |
|
|
|
, |
|
|
x + 3 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
y = |
|
x |
|
, |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
x −1 |
|
, |
|||
|
|
x +1 |
|
в) y = (x4 − 2) ctg(x) .
в) y = tg2 (2 − x3 ) .
в) y = 52x ln(1 −7x3 ) .
в) y =sin x tg(x3 ) .
в) y = ln3 (1 − x) .
в) y = 3x sin(2 − x) .
в) y = 3 (2 − x2 )4 .
в) y = x 6(3x−1) .
в) y =sin2 (x2 + x +1) .
91–100. Записать уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке графика с абсциссой x0 . Сделать чертёж.
91. |
y = 2 + 2 |
x , |
|||||
93. |
y =sin x , |
|
|||||
95. |
y = |
|
|
1 |
|
+1, |
|
|
x −1 |
||||||
|
|
|
|
||||
97. |
y = 2 |
x +3 −1, |
|||||
99. |
y = |
|
|
2 |
|
, |
|
1 |
− x |
||||||
|
|
|
x0 = 4 . |
92. |
y = 2 − x2 , |
x0 = 2 . |
||
x0 |
= |
π . |
94. |
y = (x − 2)3 , |
x0 =1. |
|
|
4 |
|
|
|
x0 = 2 . |
96. |
y = |
x2 |
− 4x |
, |
x0 = 3 . |
||
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x0 =1. |
98. |
y = x2 + 2x −3, |
x0 =1 |
|||||
x0 = −1. |
100. |
y = |
|
x2 |
+ 0.5, |
x0 = −2 . |
||
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
101–110. С помощью производной провести исследование функции y = f (x) и построить её график.
101. y = |
(x −1)3 |
− 4x . |
102. y = |
x3 − 2 |
. |
103. y = x3 − |
x4 |
. |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
4 |
|
|||
|
|
|
38 |
|
|
|
|
104. |
y =16x(x −1)3 . |
105. y = x2 − |
x3 |
. |
106. y = |
|
x2 |
. |
|
||||||||
|
|
x + 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
107. |
y = |
x5 |
− 2x |
4 . |
108. y = |
(x − 2)3 |
−9x . 109. |
y = |
|
|
2 |
||||||
5 |
3 |
(x |
− 2)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
110. |
y = |
x3 |
+ |
5x |
2 |
+ 6x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111–120. Найти неопределённые интегралы.
111.а)
112.а)
113.а)
114.а)
115.а)
116.а)
117.а)
118.а)
119.а)
120.а)
∫(3x −1)4 / 3 dx ,
∫x ex 2 dx ,
3
∫ 3 (1 − 2x)2 dx ,
∫ (ln x + 2)2 dx , x
ctgx
∫sin2 x dx ,
∫(3 − 4x)12 dx ,
∫sin x cos4 xdx ,
∫ 2dx−5x , ∫ x2 2x3 dx ,
∫4(1−2 x) dx ,
б) |
∫ x cos x dx , |
в) |
б) |
∫ x ln xdx , |
в) |
б) ∫(x −1) exdx , |
в) |
|
б) |
∫arcsin xdx , |
в) |
б) |
∫ x sin(x +1)dx , |
в) |
б) ∫x e2xdx , |
в) |
|
б) |
∫arccos xdx , |
в) |
б) ∫ x 3x dx , |
в) |
|
б) |
∫ x sin(2x)dx , |
в) |
б) |
∫x cos 2xdx , |
в) |
|
dx |
|
|
∫1 + |
1 − x . |
||
∫2 +dx |
x . |
|
|
|
x +1 |
|
|
∫ |
2x −1 dx . |
||
∫ |
|
1 |
x) dx . |
x(1 + |
|||
∫ |
|
dx |
x) . |
x(1 + 2 |
|||
|
|
dx |
|
∫ |
x(2 x + 4) . |
||
∫ |
|
dx |
x) . |
x(1 − |
∫ x −x1 dx .
|
dx |
∫ |
x −1(1 − x −1) . |
|
dx |
∫ |
x(2 + x) . |
121–125. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближённо по формуле прямоугольников. Указать абсолютную и относительную погрешности приближённого значения.
Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.
39
2.Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближённое значение интеграла дать с округлением до третьего десятичного знака.
3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.
|
3 |
x dx |
|
|
|
7 |
|
|
|
5 |
|
121. |
∫ |
|
|
. |
|
122. |
∫3 |
x +1dx . |
123. ∫(x2 −1)dx . |
||
x2 + |
1 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
||
124. |
4 |
1 − 2 |
|
x |
dx . |
125. |
3 |
|
2 |
dx . |
|
∫ |
3x |
|
∫(x −1) |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
126–130. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближённо по формуле трапеций. Указать абсолютную и относительную погрешности приближённого значения.
Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.
2.Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближённое значение интеграла дать с округлением до третьего десятичного знака.
3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.
10 |
− 2x)2 dx . |
126. ∫(1 |
|
0 |
|
8 (x +1)2
129.∫ 2 dx .−1
4 |
x −1 |
6 ln x |
|
||
127. ∫ |
dx . |
128. ∫ |
|
dx . |
|
x |
|||||
1 |
x |
2 |
|
||
3 |
|
|
|
|
130.∫(x −3)2 dx .
−2
131–140. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.
131. |
y = x +1, |
y = x +1. |
132. |
y = x2 −1, |
y = 3. |
133. |
y = (x +1)2 , |
y = x +3 . |
134. |
y = 4 − x, |
y = 2 −0,5x . |
135. |
y = 4 − x2 , |
y = x + 2 . |
136. |
y = −x2 + 2x, y = 2 − x . |
|
137. |
y = x2 , y = 4. |
138. |
y = (x + 2)2 , |
y = x +14. |
|
139. |
y = x2 +6, |
y = −5x . |
140. |
y = − x, |
y = −x . |
40
Вопросы для подготовки к экзамену в первом семестре
1.Матрицы и действия над ними.
2.Определитель третьего порядка и его вычисление по правилу треугольников.
3.Формула разложения определителя по элементам строки.
4.Правило Крамера для решения систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
5.Понятие функции.
6.Линейная функция. Понятие об уравнении прямой.
7. Степенная функция y = xα . Графики функций y = x2 , y = x , y = |
1 |
, |
|
x |
|||
|
|
y= ax2 +bx + c .
8.Показательная функция y = ax и её график.
9.Логарифмическая функция y = loga x и её график.
10.Функция y = sin x и её график.
11.Функция y = cos x и её график.
12.Функция y = tg x и её график.
13.Построение графиков путём преобразований графиков основных элементарных функций.
14.Графическое решение уравнений.
15.Понятие предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
16.Конечные пределы и их свойства.
0 , ∞
17. Раскрытие неопределенностей вида .
0 ∞
18.Определение производной функции.
19.Задача о вычислении скорости движения.
20.Уравнение касательной к графику функции.
21.Производные основных элементарных функций.
22.Определение возрастающей и убывающей функции. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.
23.Определение максимального и минимального значений функций.
24.Применение производной к построению графиков функций.
25.Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.
26.Свойства неопределённого интеграла.
27.Интегрирование заменой переменной. Метод интегрирования по частям.
28.Понятие определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
29.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
41
Для подготовки к экзамену необходимо изучить материал из [1] приложение §§ 1, 3, 4, 14, 16, 20. Полезно ознакомиться с материалом из [2] гл. 1, гл. 2. Рекомендуется использовать методические пособия [5], [6].
Для выполнения практических заданий на экзамене необходимо:
1.Научиться вычислять определители второго и третьего порядка.
2.Строить графики путём преобразования графиков элементарных функций.
3.Находить предел функции при x →∞ или x → x0 .
4.Находить производные от различных функций, правильно применять правила дифференцирования.
5.Составлять уравнение касательной к графику функции.
6.Находить экстремумы функции и промежутки возрастания и убывания с помощью производной.
7.Находить первообразные методом замены переменной, методом интегрирования по частям.
8.Уметь вычислять определенный интеграл по формуле НьютонаЛейбница.
9.Уметь находить площадь фигуры при помощи определенного интеграла.
42