Математика

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра высшей математики

И.Н.Пирогова Э.Е.Поповский Н.О.Борисова

Математика

Методическое руководство по дисциплине « Математика»

Для студентов заочной формы обучения технических

специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть I

Екатеринбург

2006

УДК 51

П33

Методическое руководство предназначено для проведения занятий, а также для самостоятельной работы по высшей математике студентов 1 курса заочной формы обучения технических специальностей. При создании руководства использованы материалы кафедры высшей математики УрГУПС по заочному обучению.

Руководство содержит краткие теоретические сведения по изучаемым разделам, примеры решения задач по данной теме, а также задания для работы на занятиях или самостоятельной работы студентов. В руководстве даны задания для контрольных работ, причем последняя цифра указывает номер варианта студента, и вопросы к экзамену.

Первая часть содержит 3 контрольные работы по темам: матрицы, определители, системы линейных уравнений, аналитическая геометрия, введение в математический анализ функции одной переменной, произ-

водная и ее приложения.

Авторы: И.Н.Пирогова ст. преп. каф. «Высшая математика», Э.Е.Поповский доцент каф. «Высшая математика», Н.О.Борисова ассистент каф. «Высшая математика».

Рецензенты:

Г.А.Тимофеева зав.каф. «Высшая математика», д-р физ-мат. наук, проф.,

В.В.Башуров доцент каф. «Прикладная математика», канд. физ.-мат. наук.

© Уральский государственный университет путей сообщения

(УрГУПС), 2006

Введение

Работа студента-заочника над курсом высшей математики в УрГУПС предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение практических заданий. Для этой цели служат контрольные работы, выполняемые в течение семестра.

В данном пособии содержатся теоретические сведения, методические указания и сами контрольные работы. Здесь же указана дополнительная литература по каждому разделу. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром (номеру варианта соответствует последняя цифра шифра в зачетной книжке).

Правила выполнения контрольной работы:

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена

вотдельной тетради и сдана в деканат (не забудьте указать фамилию преподавателя!).

2.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на левой странице, оставляя чистой правую). Если при проверке работы в ней обнаружены ошибки, то студент должен их исправить и отослать работу вновь на проверку. Причем, работа должна быть отправлена не позднее 2-х недель до начала сессии.

3.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

3

Краткие теоретические сведения и рекомендации по выполнению контрольных

работ

I.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Матрицы и действия с ними

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

	а	а ...а
	11	12	1m
a21a22			...a2m		, состоящая из n строк и m столбцов. Это
А=
	...................
an1an2			...anm

матрица размера (n ×m). Квадратной матрицей порядка n

называется матрица размера (n ×n). Числа a11 , a12 ,...,anm бу-

дем называть элементами матрицы А.

Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) называются равны-

ми, если их элементы, стоящие на соответствующих местах, равны, то есть aij = bij .

Произведением матрицы А на число λ называется матрица B = λA , элементы которой равны bij = λaij .

Суммой двух матриц А и В размера (n×m) называется матрица С размера (n ×m) такая, что сij = aij +bij .

Если А – матрица размера (n ×m), а В – матрица размера (m ×k) (то есть число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то произведением этих матриц называет-

ся	матрица С=АВ размера (n ×k),	для которой
сij	= ai1b1 j + ai2b2 j +... + aimbmj , где i =1,2,...n;	j =1,2,...k .
4

Матрица, содержащая один столбец, называется век- тором-столбцом, а матрица, содержащая одну строку, –

вектором-строкой.

	1		0	0	...	0
		0	1	0	...	0
Квадратная матрица вида								назы-
	Е =
	.........................
		0	0	0	...
						1

вается единичной матрицей.

	Пример										4	3
1. Найти А+В, 2А-В,						АВ,								и
							ВА для матриц А =
											7	5
	7		3
В =				.
		2	1
Решение
4 + 7 3 +3 11 6
А+В=				=			.
						9 6
	7 + 2 5 +1
8 6			7 3			8 − 7 6 − 3 1 3
2А-В=				−		=			=		.
										12 9
14 10			2 1			14	− 2 10 −1
4 7 +3 2 4 3 +3 1 34 15
АВ=						=		,
	7	+5	2 7 3 +
7						5 1 59 26
7	4	+3	7 7 3 +3 5 49 36
ВА=						=		.
	4
2		+1 7 2 3 +1 5 15 11

2. Определители

Каждой квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, называемое определителем и

обозначаемое А . Определитель первого порядка матрицы (а11) – это само число а11. Определителем второго порядка,

5

соответствующим матрице	a	a		, называется число,
	11	12
		a22
	a21

получаемое так:	a11	a12	= a	a	22	− a	21	a .
	a21	a22	11					12
В определителе		различают				первую строку a11 , a12 ,

вторую строку a21 , a22 , первый столбец a11 , a21 , второй столбец a12 , a22 . Элементы a11 , a22 образуют главную диагональ, а элементы a21 , a12 – побочную диагональ матрицы.

Эти термины будут использоваться и для определителей третьего порядка.

Для матрицы А третьего порядка определитель равен:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a31 a32 a33

−a13 a22 a31 −a23 a32 a11 −a21 a12 a33

Данная формула называется формулой треугольников. В ней первые три слагаемых представляют произведения элементов, получаемые по левой схеме. Следующие три произведения получаются по правой схеме, и они берутся со знаком минус. Символически это записывается следующим образом и легко для запоминания:

=	–
(основания	(основания
треугольников	треугольников
параллельны	параллельны
главной диагонали)	побочной
	диагонали)

6

Элементы a11 , a22 , a33 образуют главную диагональ определителя, а элементы a13 , a22 , a31 – побочную диагональ.

Определители можно вычислять также путем разложения по элементам какой-либо строки (столбца), например, по элементам первой строки. Для этого введем понятие минора и алгебраического дополнения. Минором Мij , соответст-

вующим элементу aij , называется определитель, получен-

ный из данного определителя путем вычеркивания из него строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij на-

зывается число, определяемое равенством Aij = (−1)i+ j M ij .

Тогда имеет место формула, дающая разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11 A11 +a12 A12 +a13 A13 =

a31

a32

a33

1+1

a

a22

a23

+(

1+2

a

a21

a23

+

= ( −1)

a32

a33

−1)

a31

a33

11

12

1+3

a

a21

a22

.

+( −1)

a31

a32

13

Аналогично можно выполнить разложение по элементам любой другой строки или столбца.

Пример

Найти определители для матриц А и В:

	4		3				1		1	−1
1)					;	2) В=		3	−1	2		.
	А=
		7	5
								2	−1	0

7

Решение

1)74 35 = 4 5 −7 3 = 20 − 21 = −1.

2)Вычислим определитель матрицы В двумя способами. По правилу треугольников:

1 1 −1 3 −1 2 =1 (−1) 0 +1 2 2 + 3 (−1) (−1) −.

2−1 0

−(−1) (−1) 2 − 3 1 0 −1 2 (−1) = 7

Разложением по элементам первой строки:

		1	1	−1		=( −1)2 1							−1	2		+( −1)3 1		3	2
		3	−1 2																	+
		2	−1	0									−1	0				2	0
								3	−1
+( −1)4 ( −1)											= 7
								2	−1

3.Системы линейных уравнений

Система n линейных уравнений с m неизвестными

a

x

+ a

x

2

+ ... + a

x

m

= b ,

11

1

12

1m

1

имеет вид

a

21 x1 + a22 x2

+ ... + a2m xm

= b2

,

или в матричном

...........................................

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+ ... + a

nm

x

m

= b

,

1

n

	x
	1
виде AX = B , где А–матрица коэффициентов,	x2		–
	X =
	...
	xm
8

вектор-столбец неизвестных, а В – вектор-столбец правых

b1

частей B = b2 .

...

bn

Эта система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь решений.

Пусть n=m, то есть число уравнений равно числу неизвестных, тогда матрица А коэффициентов при неизвест-

ных – квадратная. Ее определитель		А		=	называется

главным определителем системы. Имеет место утверждение: если главный определитель системы ≠ 0 , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

				x =	1 , ...., x	n	= n ,
1
где i =		Ai		, а матрица	Ai получается из матрицы А заме-

ной i-го столбца на столбец В правых частей. Напомним, что решением системы третьего порядка называется тройка

чисел x10 , x2 0 , x30 , при подстановке которых вместо неизвестных величин x1 , x2 , x3 , каждое из уравнений системы

обращается в верное числовое равенство.

Пример

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

x1 − x2 + x3 = 3,2x1 + x2 + x3 =11,x1 + x2 + 2x3 = 8.

9

Решение

=		1	−1	1		=5 ≠ 0 , следовательно, система имеет
		2	1	1
		1	1	2

единственное решение, которое найдем по формулам Крамера.

1 =		3	−1 1			=20,	2 =			1 3 1				=10,		=		1	−1 3			=5.
		11	1	1						2	11	1			3			2	1	11
		8	1	2						1	8	2						1	1	8
Тогда x 0 = 20 = 4 ;							x 0	=			10 = 2 ; x 0				= 5	=1.
			1	5			2				5	3			5

Рассмотрим матричный способ решения систем уравнений.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В этом случае для

матрицы А существует обратная матрица А−1 , которая

удовлетворяет условию А−1 А= А А−1 = Е .

Систему, приведенную в начале параграфа, можно записать в матричной форме АХ=В. Чтобы из данного уравнения найти матрицу Х, умножим обе части уравне-

ния слева на матрицу А−1 .	Получим А−1 А Х = А−1 В;
Е Х = А−1 В или X = A−1 B .Можно показать, что об-
						A	A	... A
						11	21	n1
ратная матрица имеет вид:	A	−1	=	1		A12	A22	... An2		, где
						.........................
						A	A	... A
						1n	2n	nn

Aij - алгебраическое дополнение элемента aij матрицы

А. Причем эти алгебраические дополнения занимают место, симметричное положению элемента aij в матрице А

относительно главной диагонали.

10