Математика ч

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра высшей математики

Т. В. Величко Т. В. Завьялова И. Н. Пирогова

МАТЕМАТИКА

Часть II

Учебно-методическое пособие для студентов технических специальностей заочного отделения, обучающихся по ускоренной программе

Издание второе, исправленное и дополненное

Екатеринбург

2009

УДК 517 В7

Величко Т. В., Завьялова Т. В., Пирогова И. Н.

В7 Математика : учеб.-метод. пособие. – Изд. 2-е, исправл. и доп.

– Екатеринбург : УрГУПС, 2009. – Ч. 2. – 52 с.

Пособие предназначено для студентов технических специальностей (ЭЛ, Л, В, ПГС, СЖД, БП) с ускоренным временем обучения на заочном отделении. Содержит теоретический материал и практические задания для изучения высшей математики во втором семестре. При подготовке пособия авторы опирались главным образом на изданное методическое руководство «Высшая математика» для студентов заочного отделения под ред. В. И. Белугина, Т. В. Величко, Э. Е. Поповского.

Для успешного изучения курса математики студенту заочного отделения необходимо систематическое посещение установочных занятий, самостоятельное изучение литературы по соответствующим разделам, а также выполнение всех контрольных заданий из данного пособия.

Одобрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры «Высшая математика», протокол № 4 от 17 декабря 2008 г.

Авторы: Т. В. Величко, ст. преподаватель кафедры «Высшая математика», УрГУПС; Т. В. Завьялова, доцент кафедры «Высшая математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС; И. Н. Пирогова, ст. преподаватель кафедры «Высшая математика»,УрГУПС

Рецензент: Г. А. Тимофеева, профессор кафедры «Высшая математика», д-р. физ.-мат. наук, УрГУПС

© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2009

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………. 4

Дифференциальные уравнения..……………………………………………….. 5

1.Основные понятия……………………………………………………………….. 5

2.Дифференциальные уравнения первого порядка…………………………….... 6

3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными………….. 7

4.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…….…………... 8

5.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами ……………...………………………………… 11 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами………………………………………………… 14

Ряды……………………………………………………………………………..… 16 1. Основные понятия…………………………………………………………….. . 16 2. Достаточные признаки сходимости рядов…..………………………………... 19 3. Функциональные ряды…………………………………………………………. 22 4. Применение рядов в приближённых вычислениях…………………………... 23

Задания для контрольной работы № 3………………………………………... 27

Функция двух переменных……………………………………………………... 30 1. Основные понятия……………………………………………………………… 30 2. Понятие предела функции двух переменных и частные производные…… .. 33 3. Экстремум функции двух переменных……………………………………... .. 36 4. Градиент функции двух переменных…………………………………………. 38

Двойной интеграл………………………………………………………………. 39 1. Основные понятия……………………………………………………………. .. 39 2. Приложения двойного интеграла……………………………………………… 42

Задания для контрольной работы № 4………………………………………... 45

Вопросы к экзамену .............................................................……………………… 47 Библиографический список………………………………………………………. 48

3

ВВЕДЕНИЕ

Работа студента над курсом математики на заочном факультете УрГУПС предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение значительного числа задач и упражнений, позволяющих глубже понять содержание курса и выработать необходимые навыки в выполнении стандартных математических операций.

Методическое руководство содержит необходимые теоретические сведения, а также некоторые примеры решения практических задач. Однако следует отметить, что этих сведений недостаточно не только для последующей сдачи экзамена или зачёта, но и для выполнения всех контрольных заданий.

Помимо теоретических сведений в руководстве содержатся варианты заданий для выполнения контрольных работ. Вариант контрольной работы студенту следует выбирать в соответствии с присвоенным шифром.

При выполнении контрольных работ и представлении их на проверку студент должен руководствоваться следующими правилами:

1.Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради и сдана или отправлена на проверку по почте в деканат заочного факультета.

2.Для получения зачёта по контрольной работе студент должен пройти собеседование с преподавателем, продемонстрировав понимание хода решения задач.

3.Если при проверке контрольной работы обнаружены ошибки, то студент должен в той же тетради выполнить работу над ошибками и прислать её в деканат для повторной проверки.

4.Решение задач в контрольной работе должно быть достаточно подробным и логически последовательным. Полезно в тексте решения приводить формулировки теорем и других теоретических сведений, на основании которых делаются вычисления.

4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Основные понятия

Большинство физических процессов, происходящих в природе и технике, описываются с помощью уравнений, связывающих между собой независимую переменную, искомую функцию и производную этой функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Далее в пособии используется сокращенная запись ДУ. Изучение ДУ началось в XVII веке и имеет большое прикладное значение и на сегодняшний день.

Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком ДУ.

Пример 1. Рассмотрим простейшее ДУ первого порядка y′ = x . Очевидно, чтобы найти функцию y , нужно проинтегрировать обе части равенства. Реше-

нием этого уравнения будет множество функций

y(x) = x2 / 2 +C , где C –

некоторая постоянная интегрирования.

Проверим,

подставив в исходное урав-

нение: (x

2

/ 2 +C)

′

= x (x

2

′

′

2x

/ 2)

2 + 0 = x .

+ (C) = x

Итак, получили тождественное равенство x ≡ x . Значит, y(x) = x2 / 2 +C –

верное решение исходного ДУ.

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой.

ДУ задает связь между неизвестной функцией, аргументом и ее производными. Необходимо отыскать эту функцию.

Пример 2. В дифференциальном уравнении y′′+ y′−2 y = cos x наивыс-

ший порядок производной – второй. Значит, это ДУ второго порядка. Здесь независимая переменная x , а искомая функция y(x).

Рассмотрим задачу, составление которой приводит к ДУ.

Материальная точка массы m замедляет своё движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости v . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 4 секунды после начала замедления, если известно, что v(0) =100 м/с, а v(1) =50 м/с.

Решение. Примем за независимую переменную время t , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Поскольку скорость зависит от времени, то v = v(t) . Для нахождения v(t) воспользуемся вторым зако-

ном Ньютона (основным законом механики): m a = F , где a = v′(t) – это уско-

рение движущегося тела, F – результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В условии задачи сказано, что сила сопротивления пропор-

5

циональна квадрату скорости, поэтому F = −kv2 , k – коэффициент пропор-

циональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция v = v(t) является решением дифференциального урав-

нения m v′= −k v2 , или v′= −mk v2 . Здесь m – масса тела. Найдя зависимость

скорости от времени, т.е., решив полученное дифференциальное уравнение, можно определить скорость точки в любой момент времени. Решение данного

уравнения имеет вид v =

1

, где C = const . Найдём параметры

k

и C .

k

t + C

m

m

Согласно условиям задачи имеем v(0) =

1

=100

и v(1) =

1

=50 . Отсюда

C

k

+ C

k

m

находим C = 0,01 и

= 0,01.

Следовательно,

скорость материальной точки

m

100

изменяется по закону v(t) =

. Поэтому

v(4) =

20 м/с.

t +1

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида F (x, y, y′) = 0 , связывающее независимую переменную х, искомую функцию y и ее производную y′, называется дифференциальным

уравнением первого порядка. Оно может иметь вид, разрешенный относитель-

но y′: y′ = f (x; y) .

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция у = φ(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Функция у = φ(х,С), зависящая от х и произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения y′ = f (x, y) в области D, если при любых

допустимых значениях постоянной С функция у = φ (х,С) является решением этого уравнения и какова бы ни была точка (x0 , y0 ) D существует единственное значение постоянной С = С0 такое, что функция у = φ(х,С) удовлетворяет начальному условию, т. е. ϕ(x0 ,C0 ) = y0 .

Всякое решение y =ϕ(x,C0 ) , получающееся из общего решения y =ϕ(x,C) при конкретном значении C =C0 , называется частным решением ДУ. Начальные условия записываются в виде

	y(x0 ) = y0
либо	y		x =x0 = y0 .

6

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y′= f (x; y) называется

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде y′= f1(x) f2 ( y) .

Уравнение вида

ϕ1(x) ψ1( y) dx =ϕ2 (x) ψ2 ( y) dy ,

в котором функции при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и y , также является уравнением с разделяющимися перемен-

ными.

Путём деления на произведение ϕ2 (x) ψ1( y) его преобразуют к уравнению с разделёнными переменными:

ϕ1 (x) dx =ψ2 ( y) dy .

ϕ2 (x) ψ1 ( y)

Общий интеграл такого уравнения имеет вид:

∫ϕ1 (x) dx = ∫ψ2 ( y) dy +C .

ϕ2 (x) ψ1 ( y)

Интегрирование дифференциального уравнения в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами C.

Следует заметить, что при делении обеих частей равенства на ϕ2 (x) ψ1( y) может произойти потеря частных решений, т. е. тех решений, ко-

торые обращают в нуль произведение ϕ2 (x) ψ1( y) . Рассмотрим пример нахождения частного решения дифференциального уравнения.

Пример. Найти частное решение уравнения

(1 + x) y y′= 2 .

Решение. Запишем производную y′ в виде отношения дифференциалов dydx . Тогда (1 + x) y dydx = 2. Разделяем переменные следующим образом: в

левой части полученного равенства оставляем все множители, зависящие от y ,

7

а в правой части собираем множители, зависящие от x . Получим следующее равенство:

y dy = 2 xdx+1.

Интегрируем обе части полученного равенства ∫ y dy = ∫ x 2+1 dx . Тогда полу-

	чим	1	y2	= 2 ln(1 + x) +C . Выразим y2	= 4 ln(1 + x) + 2C – общий интеграл
		2

исходного дифференциального уравнения.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной и не включающее их произведение. Оно имеет вид:

y′+ p(x) y = g(x) ,

(4.1)

где p(x) и g(x) – функции, зависящие от x и непрерывные в той области, в

которой требуется проинтегрировать уравнение (4.1).

Если g(x) = 0 , то уравнение (4.1) называется линейным однородным.

Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

y(x) = C e−∫ p( x)dx .

Если в уравнении (4.1) g(x) ≠ 0, p(x) ≠ 0 , то общее решение уравнения

(4.1) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки y = u(x) v(x) . Тогда y′ = u′ v + v′ u . Подставляя выражения y и y′

в исходное уравнение (4.1), получаем:
u′ v +u (v′+ p(x) v) = g(x) .	(4.2)

Одну из этих функций можно выбирать. Подберём функцию v = v(x) так,

чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

v′+ p(x) v = 0,

отсюда найдем v = v(x) ,

8

имеем dvv = −p(x) dx .

Интегрируя обе части, получим:

ln v = −∫ p(x) dx + ln C =ϕ(x) + ln c ,

где ϕ(x) какая-либо первообразная для − p(x) .

Еще раз воспользуемся свободой выбора и примем C =1. Тогда v = eϕ(x) или v = eϕ(x) .

Подставляя найденную функцию в уравнение (4.2), получим снова уравнение с разделяющимися переменными:

du	ϕ(x)			−ϕ(x)
dx	e	= g(x),	du = g(x) e		dx .

Интегрируем последнее равенство:

u = ∫ g(x) e−ϕ(x)dx +C .

Возвращаясь к исходной переменой y , получим решение исходного уравнения

(4.1):

y = u v = (∫ g(x) e−ϕ(x)dx +C) eϕ(x) .

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′+

y

1

=

.

x

x

Решение. Здесь p(x) =

1

, g(x) =

1

. Решение данного уравнения будем

x

x

искать в виде y = u v , тогда y′ = u′ v + v′ u . Подставляя выражения y и y′ в

′

′

u v

1

исходное уравнение, получим:

u + x

= x . Функцию u выносим за

u

v + v

скобки: u′ v +u (v′+ vx) = 1x . Полученное уравнение равносильно двум урав-

нениям:

9

1)

v′+

v

= 0

–

это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем

x

v

′

v

dv

v

dv

dx

= − x

,

или

dx = − x . Разделим переменные v

= − x .

Интегрируем обе

части равенства ∫

dv

= −∫

dx

ln

v

= −ln

x

. Отсюда v =

1

.

v

x

x

Перейдём к решению второго дифференциального уравнения.

1

1

1

1

2) u′ v =

. Подставим

v =

, тогда u′

=

. Сократим обе части

x

x

x

x

1

и получим u

′

=1. Это уравнение с разделяющимися перемен-

уравнения на x

ными du = dx , общее решение которого имеет вид u = x +C .

Итак, запишем окончательное решение исходного дифференциального

уравнения: y = (x +C) 1 .

x

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

y′+ 2xy = 2x e−x2 ,

y(0) =1.

(4.3)

Решение.

Полагаем y = u v, тогда

y′ = u′ v + v′ u . После подстановки

уравнение примет вид: u′ v +u (v′+ 2x v) = 2x e−x2 . Полученное уравнение эквивалентно системе двух уравнений с разделяющимися переменными:

v′		+ 2x v = 0,
	′		−x	2
		v = 2x e
u

	Сначала решаем уравнение v′+ 2x v = 0.		Заменим производную в этом урав-
	нении на отношение дифференциалов:	dv	= −2x v , откуда ∫	dv	= −∫2x dx ,
		dx		v

ln v = −x2 . Тогда v = e−x2 .

Подставим полученную функцию во второе уравнение системы:

u′ e−x 2 = 2x e−x 2 , отсюда получим du = 2x dx , проинтегрировав обе части, получим u = x2 +C .

Итак, решение исходного уравнения имеет вид

y = u v = (x2 +C) e−x 2 .

10