и B = (bij ) называются равными, если равны все

8.ПОНЯТИЙНО-ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ КУРСА

8.1ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Матрицей размерности m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A =	21	22		2n
		...	...	...	.
	...
	am1	am2	...	amn

или сокращенно A = (aij ).

Элементами матрицы называются числа aij , составляющие матрицу.

Строку образуют элементы, стоящие на одной горизонтали, а столбец - на одной вертикали.

Две матрицы A = (aij )

соответствующие их элементы, равны, то есть то есть A = B , если aij = bij .

Произведением матрицы А на число λ

называется матрица

B = λA ,

элементы которой равны bij

= λaij .

Суммой двух матриц А и В называется матрица Ñ = A + B такая, что

сij

= aij + bij .

Произведением двух

матриц А и В,

таких, что число столбцов А

равно числу строк В, называется матрица С = A B,

каждый элемент которой

cij

равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на

соответствующие

элементы

j-го

столбца

матрицы

В.

Например,

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 +...

Определителем

второго

порядка,

соответствующим

квадратной

a

a

называется

число

a11 a22 − a21 a12

Определитель

матрице A =

11

12

,

a21

a22

обозначается

символом

:

A

=

a11

a12

2 .

Таким

образом,

a21

a22

A

=

a11

a12

= a11a22

− a21a12 .

a21

a22

Определителем

третьего

порядка,

соответствующим

матрице

à11

à12

a13

a11

a12

a13

А= a21

a22

a23

, называется число, обозначенное символом

A

=

a21

a22

a23

и

a32

a31

a32

a33

a31

a33

определяемое равенством:

A

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −

−a13 a22 a31 − a23 a32 a11 −a21 a12 a33.

Определитель A

A		= a		a22	a23		− a		a21
		11		a32	a33		12		a31

можно вычислить также следующим образом

a23		+ a			a21	a22		. Правую часть равенства называют
a33		13			a31	a32

разложением определителя A по элементам первой строки.

Минором некоторого элемента A называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на

пересечении которых расположен этот элемент. Например, M13

=

a21

a22

;

a31

a32

M 21

=

a12

a13

.

a32

a33

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя A называется минор этого элемента, взятый со знаком , если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, четная, и

со знаком минус, если эта сумма нечетная. Например,						A13 = +M13; A32			= −M32 .
							1		0	0
Единичной матрицей называется матрица						вида		0	1	0
							E =				.
								0	0	1
Единичная матрица обладает свойством A E = E A = A.
Невырожденной	матрицей		называется			матрица	А,		если		ее
определитель отличен от нуля, то есть			A		≠ 0 .

Обратной к невырожденной матрице А, называется матрица A−1 ,если A−1 A = A A−1 = E . Обратная матрица для матрицы третьего порядка имеет вид

				1				A	A	A
	−1							11	21	31
A		=					A12		A22	A32	.
				A
								A	A	A
								13	23	33

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangA, или r(A).

Система 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

a11 x + a12 y + a13 z = b1,

или

в

матричном

виде AX = B ,

где

А–матрица

a21 x

+ a22 y + a23 z = b2 ,

a

31

x

+ a

32

y + a

33

z

= b ,

3

x

коэффициентов,

X

1

–

матрица-столбец

неизвестных,

а В

– матрица-

= x2

x3

столбец правых частей

b

B =

b1

.

2

b

3

Решением системы называется упорядоченная тройка чисел (x0 , y0 , z0 ) ,

при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных все уравнения системы обращаются в тождества.

Фундаментальной называется система линейно независимых решений е1 ,е2 ,...,еk , если каждое решение системы является линейной комбинацией

решений е1 ,е2 ,...,еk .

8.2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Равными векторами à и b ( a = b ) называют векторы, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов à и b называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Векторным произведением вектора à на вектор b называется вектор a ×b , который определяется тремя условиями:

1) длина вектора a ×b равна a b sinφ , где φ – угол между векторами à и

b ;

2) вектор a ×b перпендикулярен каждому из векторов à и b ; 3)векторы à , b , a ×b образуют правую тройку векторов.

Смешанным произведением трех векторов à , b , ñ называется число,

равное скалярному произведению вектора à на векторное произведение векторов b и ñ , т. е. a (b ×c) .

8.3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами.

Уравнение F(x; y) = 0 называется уравнением линии L (в заданной

системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки , лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение ас , где с –

половина расстояния между фокусами, а – большая полуось эллипса. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых

модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	+	z2	=1.
	a2		b2		c2

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	−	z2	=1
	a2		b2		c2

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	−	z2	= −1
	a2		b2		c2

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	= 2z .
	p		q

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	−	y2	= 2z .
	p		q

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	−	z2	= 0 .
	a2		b2		c2

8.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пусть X и Y – некоторые числовые множества.

Функцией называется множество f упорядоченных пар чисел (x, y) таких, что x X , y Y, и каждое x входит в одну и только одну пару этого

множества, а каждое у входит, по крайней мере, в одну пару. При этом говорят, что числу x поставлено в соответствие число у, и пишут у = f (x) .

Число у называется значением функции f в точке x. Переменную у

в точке х=х0, если для

называют зависимой переменной, а переменную x – независимой переменной (или аргументом); множество Х – областью определения функции, а множество Y – множеством значений функции.

Число А называется пределом функции f(x) в точке х=х0 (или при

х → х0 ), если для любой сходящейся к х0 последовательности х1, х2, х3,…,

хn,…, значений аргумента х, отличных от х0, соответствующая последовательность f(х1), f(х2), f(х3),…, f(хn),…значений функции сходится к числу А.

Число А называется пределом функции f (х)

любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех								x X , х ≠ х0 ,
удовлетворяющих неравенству					х− х0		< δ , выполняется	неравенство
	f (M ) − A		< ε .
	Число А называется правым (левым) пределом функции							f (х) в точке

х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности х1, х2, х3,…, хn,…, элементы xn которой больше (меньше) х0 , соответствующая последовательность f(х1), f(х2), f(х3),…, f(хn),… сходится к А.

Число А называется пределом функции f (х) при х → ∞, если для любой

бесконечно большой последовательности х1, х2, х3,…, хn,… значений

аргумента соответствующая последовательность f(х1), f(х2), f(х3),…, f(хn),…

значений функции сходится к А.

Функция

f (х)

называется бесконечно малой функцией (или просто

бесконечно малой) в точке

х=х0 (или при

х → х0 ),

если

lim f (x) = 0 .

x→x0

Аналогично

определяются бесконечно

малые

функции

при

õ → ∞,

х → +∞, х → −∞, х → х0 − и х → х0 +.

Функция

f (õ)

называется бесконечно большой функцией (или просто

бесконечно большой) в точке

х=х0

(или при х → х0 ), если для любого M>0

существует

δ>0

такое, что

для

всех

x X ,

х ≠ х0 ,

удовлетворяющих

неравенству

х− х0

< δ , выполняется неравенство

f (x)

> M .

Функция f (х)

называется непрерывной в точке х0, если предел функции

и ее значение в этой точке равны, т е. lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Функция

f (х) называется непрерывной в точке х0, если ее приращение

в этой точке является бесконечно малой функцией при ∆х → 0.

Точка х0

называется точкой разрыва функции f (х) , если

f (х)

в точке х0

не является непрерывной.

Если на

некотором промежутке Х определена функция

z = φ(x)

с

множеством значений Z, а на множестве Z определена функция

y = f (z) ,

то

функция y = f [φ(x)] называется сложной функцией от х, а переменная z –

промежуточной переменной сложной функции.

Пусть X и Y – некоторые числовые множества и пусть задана функция f, т е множество пар чисел (х; у) (x X , y Y ), в котором каждое x входит в одну

и только одну, а каждое у – по крайней мере, в о дну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получится множество пар чисел (у; х) , которое называется обратной функцией φ к функции f.

Производной функции y = f (x) в точке х0 называется предел при

∆x → 0 отношения приращения функции	в этой точке к	приращению
аргумента (при условии, что этот предел существует).
Касательной S к графику функции	y = f (x) в точке М	называется

предельное положение секущей МР при ∆x → 0 , или что то же, при Ð → Ì .

Дифференциалом функции y = f (x) в точке х0 называется главная,

линейная относительно ∆х, часть приращения функции в этой точке: dy = A∆x.

Точка х0 называется точкой строгого локального максимума

(минимума) функции y = f (x) , если для всех х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 )( f (x) > f (x0 )) при õ ≠ õ0 .

Будем говорить, что график функции y = f (x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой

касательной к графику функции на (a,b).
Точка М(х0;	f(x0))	называется точкой	перегиба графика функции
y = f (x) , если в точке М график имеет касательную, и существует такая
окрестность точки х0, в пределах которой график функции				y = f (x)	слева и
справа от точки х0	имеет разные направления выпуклости.
Прямая y = kx + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика
функции y = f (x)	при	х = +∞ (х → −∞) , если	функцию	y = f (x)	можно
представить в виде f (x) = kx + b +α(x), где α(x) → 0 при х → +∞				(х → −∞) .

8.5 ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества.

Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x, y, z) таких, что x X , y Y, z Z и каждая упорядоченная пара

чисел (x; y) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; y) поставлено в соответствие число z, и пишут z = f (x; y) . Число z называется значением функции f в точке (x;y).

Переменную z называют зависимой переменной, а переменные x и y –

независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; y)} –

областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (х; у) , т е z=(x; y). При этом х называется вещественной, а у – мнимой

частью комплексного числа.

Множество {М(x; y)} всех точек, координаты x и y которых удовлетворяет неравенству (х− х0 )2 + (у − у0 )2 < δ , или короче ρ(M ; M 0 ) < δ ,

называется δ-окрестностью точки М0(х0;у0).

Последовательность точек {M n } называют сходящейся к точке М0, если для любого ε>0 существует номер N такой, что при n>N выполняется

неравенство

ρ(M n ;M 0 ) < ε .

При

этом точка М0

называется

пределом

последовательности {M n }.

Число А называется пределом функции z = f (M )

в точке М0, если для

заданной

сходящейся

к

М0

последовательности

точек

М1,

М2,…Мn,…( M n ≠ M 0 , M n {M })

соответствующая последовательность

значений функции f(M1), f(M2),…f(Mn),…сходится к А

Число А называется пределом функции z = f (M )

в точке М0, если дл

любого

ε>0

существует δ>0 такое, что для всех

точек

Mn {M },

удовлетворяющих условию 0 < ρ(M ; M 0 ) < δ , выполняющих неравенство

f (M ) − A

< ε .

Используя логические символы, данное определение можно

записать в виде ( ε > 0)( δ > 0)( M {M }, 0 < ρ(M ; M 0 ) < δ :

f (M ) − A

< ε).

Функция

z = f (M ) называется непрерывной в точке М0, если предел

функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т

е. lim f (M ) = f (M 0 ),					или	lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).
	M →M0					x→x0
						y→y0
	Функция			z = f (M )		называется непрерывной			в точке		М0, если для
любого			ε>0	существует δ>0 такое, что				для	всех точек Mn {M },
удовлетворяющих					условию		ρ(M n ; M 0 ) < δ ,	выполняется			неравенство
	f (M ) − A		< ε .
	Функция z = f (M ) называется непрерывной в точке М0,									если ее полное
приращение в этой точке есть бесконечно малая при Ì → Ì										0	функция, т е.
	lim∆z = lim[f (M ) − f (M 0 )]= 0,						или lim∆z = 0.
	M →M0		M →M0				∆x→0
							∆y→0