umm_683_ТОЭ_Кр_3

iL = iLпр + A3 e p1t + A4 e p2t .

2.Корни комплексные, сопряжённые, с отрицательной действительной частью:

p1,2 = −δ ± jω′, где ω′ = ω0

2 −δ 2 .

В этом случае характер переходного процесса колебательный и решение для uC ищем в виде:

uC

=uCпр

+ A e−δt sin(ω′ t + β),

где A и β – постоянные интегрирования. Порядок решения тот же, что и

для апериодического процесса.

duC

A e

−δt

′

t + β) + A e

−δt

′

′

t + β)

= 0 + (−δ)

sin(ω

ω

cos(ω

dt

Уравнения записываются для момента времени t =0 , совместно решаются

иопределяются A и β .

Вслучае питания цепи источником синусоидального напряжения установившийся режим (докоммутационный и принуждённый) рассчитывается символическим методом, затем записываются выражения для мгновенных значений.

Примечание. При совместном решении уравнений для сложной разветвлённой цепи при определении характеристического уравнения можно воспользоваться следующим способом. Составляется относительно источника уравнение для входного сопротивления в комплексной форме.

Для нашего примера

	R		1
z( jω) = jωL +			jωC				.
	R +			1
				jωC

Затем заменяют jω на p . Приводят к общему знаменателю и числитель приравнивают к нулю.

12

R

1

z( p) = pL +

pC

=

R +

1

pC

= pL +

R

=

p2RLC + pL + R

;

pRC +1

pRC +1

p2 RLC + pL + R = 0;

RLC( p2 +

1

p +

1

) = 0;

RC

LC

1

= 2δ;

1

=ω02 .

LC

RC

Характеристическое уравнение

p2

+ 2δp +ω02 = 0 аналогично

полученному при совместном решении уравнений.

Пример расчёта переходного процесса классическим методом при питании цепи источником с синусоидальной формой напряжения

	R1 L
	iL	R2	R2
e(t)

Рис. 3. Схема к расчёту переходного процесса классическим методом при питании цепи источником с синусоидальной формой напряжения

e(t) = 200sin(ωt −30o ) , В

R1 =10 Ом; X L =10 Ом; R2 = 20 Ом;

13

L =1 мГн; ω =104 с–1.

Найти закон изменения тока iL (t) . 1. Рассмотрим режим работы цепи до коммутации.

z( jω) = R	+ jωL +				R2	= 22.36 e j 26.56o
1				2				, Ом
	E&m = 200 e− j30o							, В
I&Lm		E&m		8.94 e			− j56.56o
	=		=					, А
		z

Запишем выражение для мгновенных значений тока iL .

iL (t) =8.94sin(ωt −56.56o) , А

2. Определим значение тока в момент времени t =0 .

iL (0) =8.94sin(−56.56o) = −7.46 А

iL (0) = −7.46 А – основное начальное условие.

3. Рассмотрим режим работы цепи после окончания переходного процесса.

z	пр	= R	+ jωL + R			2	= 31.62 e j18.43o
		1						, Ом
		I&Lmпр	=	E&m	= 6,32 e− j 48.43o			, А
				zпр

iLnp = 6.32sin(ωt −48.43o ) , А

4. Уравнение по II закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы

e = iL (R1 + R2 ) + L diL dt

200 sin(ωt −30o) = iL 30 + L diL dt

5. Определение корней характеристического уравнения

z( jω) = R1 + R2 + jωL z( p) = R1 + R2 + pL = 0 p1 = − R1 +L R2 = −30 103 с-–1

6. Закон изменения тока iL (t) ищем в виде:

14

– основные начальные условия.

iL = iLnp +iLcв = 6.32sin(ωt −48.43o ) + Ae p1t .

Для определения постоянной интегрирования A запишем это уравнение для момента времени t =0 .

iL (0) = −7.46 =6.32sin(−48.43o) + A 1

A = −2.74 , А

Таким образом, получим закон изменения тока:

iL = 6.32 sin(ωt −48.43o ) −2.74e−30 103 t , А

Пример расчёта переходного процесса классическим методом в цепи с двумя накопителями, включённой на постоянное напряжение

R1		L
E	iL	C	R2
		iC	iR

Рис. 4. Схема к расчёту переходного процесса классическим методом в цепи с двумя накопителями

E =100 В; R1 = 5 Ом; R2 =15 Ом;

L = 300 мГн; C = 250 мкФ.

Найти закон изменения токов и напряжения на конденсаторе после размыкания рубильника.

1. Рассмотрим работу цепи до коммутации.

iL (0−) = 0; uC (0−) = E

Следовательно, iL (0) = 0; uC (0) = E

2. Рассмотрим режим работы цепи после окончания переходного процесса

i

=

E

; i

=i

;

i = 0;

uCnp

=

ER2

Lпр

Rпр

R1

+ R2

R1

+ R2

Lпр

Cпр

3. Составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

15

E

= i

L

R

+ L

diL

+ u

C

;

1

dt

− i

R

u

C

R

2

= 0;

iL = iR + iC ;

duC

iC

= C

,

dt

где iC

=C

duC

– соотношение

между

током и

напряжением на

dt

конденсаторе.

4. Запишем эти уравнения для момента времени t = 0 и определим

неосновные начальные условия

diL

E = 0

R

+ L

+ E;

1

dt

t=0

E −iR

(0) R2 = 0;

0 =iR (0) +iC (0);

du

C

=

i

(0)

.

C

dt

t=0

C

Решив совместно данные уравнения, получим:

duC

diL

= 0; i

(0) =

E

;

i (0) = −i

(0);

= −

E

.

R

dt

R2C

dt

t=0

R2

C

R

t=0

5. Составим характеристическое уравнение и определим его корни

R2

1

z( jω) = R

+ jωL +

jωC

;

1

R2 +

1

заменим jω на p:

jωC

1

R2

R2

z( p) = R

+ pL

+

pC

= R

+ pL +

=

1

R2

+

1

1

pR2C +1

pC

16

= pR1 R2C + p2 LR2C + R1 + pL + R2 . pR2C +1

p2 R2 LC + p(R1R2C + L) + R1 + R2 = 0.

R LC ( p2 + p R1R2C + L + R1 + R2 ) = 0.
2	R2 LC	R2 LC
R1R2C + L	= 2δ; R1 + R2 =ω02		;
R2 LC		R2 LC

p2 +2δp +ω02 = 0;

p1,2 = −δ ± δ 2 −ω02 = −141.65 ± 20064.72 −17780 = = −141.65 ±47.8;

p = −93.85 с–1;	p	2	= −189.45 c–1	;
1

Корни действительные, отрицательные и разные. Переходный процесс апериодический.

6. Определение законов изменения напряжения на конденсаторе и токов в цепи

u	=u	+ A	e p1t + A e p2t =	ER2	+ A e p1t
C	Cnp	1	2	1
				R1 + R2

duC

= 0 + p A

e p1t +

p

A e p2t .

dt

1

1

2

2

A1 и A2

Для определения постоянных

интегрирования

уравнения для момента времени t = 0

E =

ER2

+ A 1+ A 1;

1

2

E

R1 + R2

−

= p A 1 + p

2

A 1.

R2C

1

1

2

Решив их совместно, получим:

A1 = −229.54 В; A2 = 254.54 В.

17

+ A2 e p2t ;

запишем эти

Таким образом, закон изменения напряжения на конденсаторе

uC = 75 −229.54 e−93.85 t +254.54 e−189.45 t , В.

Закон изменения тока через конденсатор:

iC = C dudtC = 5.38e−93.85 t −12.1e−189.45 t , А.

Закон изменения тока через сопротивление R2 :

iR = uC =5 −15.3e−93.85 t +16.97e−189.45 t , А.

R2

Ток через индуктивность можно найти двумя способами:

а) iL = iC +iR = 5 −9.92e−93.85 t + 4.87e−189.45 t , А;

б) iL = iLnp + A3e p1t + A4e p2 t .

18

Операторный метод расчёта переходных процессов

Расчёт переходных процессов в линейных цепях сводится к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Операторный метод – особый метод решения таких уравнений.

Его сущность состоит в том, что функциям вещественного переменного f (t), которые называются оригиналами, противопоставляются по определённым правилам функции комплексного переменного p, которые называются изображениями.

f ( t ) F( p)

Введение операторных изображений упрощает операцию дифференцирования и интегрирования. Как и другие изображения, они вводятся при расчёте, а после окончания расчётов опять делается переход к оригиналам.

Операторный метод позволяет получить изображение любых функций. Переход от оригинала к изображению осуществляется по формуле

F( p) = ∫∞ e−pt f (t) dt .

0

Это переход по формулам Лапласа. Таким образом можно найти изображения большого количества функций, практически всех, с которыми имеют дело в электро- и радиотехнике. В справочной литературе имеются обширные таблицы оригиналов и их изображений.

Из теоретического курса известно, что изображением постоянной ЭДС является функция

F( p) = Ep ,

изображение индуктивного сопротивления

X L ( p) = pL,

изображение ёмкостного сопротивления

XC ( p) = pC1 .

При наличии ненулевых начальных условий источник, учитывающий uC (0−), изображается

	UC 0	( p) =	UC (0−)	,
			p

19

iL (0−) изображается

iL (0) L .

Методика расчёта переходных процессов операторным методом

Можно наметить два основных варианта расчёта.

1. Для цепи составляются дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа или по методу контурных токов. От дифференциальных уравнений переходят к операторной форме записи с учётом основных начальных условий. Решают эти уравнения совместно, находят изображения искомых токов и напряжений. Для вышерассмотренной схемы (см. рис. 2) уравнения в операторной форме будут иметь вид:

			IL ( p) = IR ( p) + IC ( p)
	E	= L[pIL ( p) −iL (0)]+					IC ( p)			+	UC (0)
	p						pC				p
		IR	(0) R −	IC ( p)	−	UC (0)				= 0.
				pC			0

В данном случае iL (0) = ER ; UC (0) = 0.

2. Сразу переходят к эквивалентной операторной схеме, на которой основные начальные условия учитываются введением добавочных ЭДС. ЭДС, учитывающая напряжение на конденсаторе, всегда включается против тока, а ток через индуктивность – по току. Токи и напряжения в операторной схеме рассчитывают любым способом, применяемым в цепях постоянного тока. Решая полученные операторные уравнения, находят изображение искомых величин.

Для рассмотренной выше схемы (см. рис. 2) операторное изображение будет иметь вид, представленный на рис. 5.

Для определения изображения напряжения на конденсаторе в данной схеме рационально использовать метод узловых потенциалов.

Примем потенциал узла 1 за 0.						ϕ1 ( p) = 0. Тогда для ϕ2 ( p)
составим уравнение:							E
								+iL (0) L
1			1				p
ϕ2 ( p)		+		+ pC	=				+0 .
			pL					pL
R

20

L

			C
					pC
	L	R
p					C		=0
					p

Рис. 5. Операторное изображение расчётной схемы

Для данной схемы ϕ2 ( p) =UC ( p). Найдём из данного уравнения UC ( p)

E

+

E

L

pL + R + RLCp2

R + pL

ϕ2 ( p)

=

p

p

= E

pRpL

pRpL

RpL

UC ( p) =ϕ2 ( p) = E

R + pL

=

p[p2 RLC + pL + R]

=

E

R + pL

=

E

p[p2

R + pL

].

RLC

2

1

1

RLC

+2δp +ω02

p p

+ p

+

RC

LC

В квадратных скобках получим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению при решении задачи классическим методом. Обозначается через

F( p). Функция, стоящая в числителе, обозначается через G( p). Таким

образом, получено изображение напряжения на конденсаторе. Изображение токов можно получить из уравнений:

ϕ1 ( p) + Ep − IL ( p) pL +iL (0) L =ϕ2 ( p);

ϕ1 ( p) + IR ( p) R =ϕ2 ( p); ϕ1 ( p) + IC ( p) pC1 =ϕ2 ( p).

21