umm_683_ТОЭ_Кр_3

Министерство путей сообщения Российской Федерации Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Теоретические основы электротехники»

Т. А. Н и к и т и н а

Р. Я. С у л е й м а н о в

Теоретические основы электротехники

Задание на контрольную работу №3

Екатеринбург

2003

Министерство путей сообщения Российской Федерации Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Теоретические основы электротехники»

Т. А. Н и к и т и н а

Р. Я. С у л е й м а н о в

Теоретические основы электротехники

Задание на контрольную работу №3 с методическими указаниями

для студентов заочного факультета специальностей:

101800 – Электроснабжение железных дорог;

181400 – Электрический транспорт железных дорог; 210700 – Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте

Екатеринбург

2003

3

УДК 621.3 (072) С 89

Задание на контрольную работу по теоретическим основам электротехники предназначено для студентов заочного отделения, изучающих дисциплину в соответствии с учебными планами и программами, содержит две задачи. Первая задача предусматривает расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи с двумя накопителями классическим методом, вторая – операторным. Даны варианты расчетных схем и числовых данных. Приведены методические указания к решению задач.

Авторы: Т. А. Никитина, ст. пр. кафедры ТОЭ, УрГУПС Р. Я. Сулейманов, канд. техн. наук, доцент кафедры ТОЭ, УрГУПС

Рецензент: А. П. Сухогузов, проф., зав. кафедры ТОЭ, УрГУПС

©Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2003

4

Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи

1. Цель работы

Изучение и практическое применение классического и операторного методов расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях.

2.Содержание работы

Вданной контрольной работе студенту необходимо выполнить следующие задания.

Рассчитать переходный процесс классическим методом, определив закон изменения всех токов и напряжения на конденсаторе. Вычислить и построить графики зависимости напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность.

Рассчитать операторным методом либо закон изменения напряжения на конденсаторе, либо тока через индуктивность.

Сравнить результаты.

Исходные данные приведены в табл. 1, а необходимые схемы на рис. 1.

		Исходные данные			Таблица 1
Номер	L ,	C ,	R1 ,	R2 ,	E ,
строки	мГн	мкФ	Ом	Ом	В
1	100	500	60	15	200
2	800	400	7	290	500
3	500	200	6	260	600
4	240	400	80	60	400
5	300	100	10	490	800
6	160	200	100	100	500
7	300	300	75	150	200
8	300	250	5	15	100
9	160	100	40	10	200
0	700	70	3	360	500

5

1	R1	L
E		C						R2

3	R2
						R1
E		C

L

5

E		R1		L		C		R2

7		L
E								R1
				R2
								C

2		R2
E			R1						C
			L

4		R1 L
E				C				R2			R2

6

E

R1

C

R2

8

L

L

E

R1

R2

C

9

0

R1

L

E

R2

R1

E

C

R2

R2

C

L

Рис. 1. Схемы задания

6

uC (0+)

3. Методические указания

Если электрическая цепь длительное время работает без изменений, то в такой цепи – установившиеся токи и напряжения. Эти токи и напряжения в цепи либо постоянные, либо являются периодическими функциями времени (в частности – синусоидальные).

Под коммутацией понимают процесс включения или выключения рубильников цепи, в результате которого подключаются или отключаются какие-либо части цепи или вся цепь в целом.

После коммутации токи и напряжения в цепи, а также энергия магнитных и электрических полей должны измениться, в результате возникает новый установившийся режим. Переход от одного установившегося режима к другому и называется переходным процессом.

Величина энергии не может измениться скачком, поэтому не могут измениться скачком и величины, её определяющие.

W	=	CUC2	=	q2	; W	M	= LiL2	=ψ 2
Э	2			2C			2	2L

Изложенное позволяет сформулировать два основных закона коммутации.

1.В ветви с индуктивностью ток и потокосцепление в первый момент после коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации и начинают изменяться с этих значений.

2.В ветви с ёмкостью напряжение на ней и заряд в первый момент после коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации, и начинают изменяться с этих значений.

Все неупомянутые в этих положениях величины в общем случае могут

вмомент коммутации изменить свою величину скачком.

При расчёте переходных процессов считается, что коммутация происходит в момент времени t =0 . Тогда можно записать:

iL (0−) =iL (0+); uC (0−) = uC (0+); ψ(0−) =ψ(0+); q(0−) = q(0+).

Здесь t = (0−) – последний момент времени до коммутации; t = (0+) – первый момент времени после коммутации.

Определённые значения iL (0+) и называются основными

или независимыми начальными условиями. Все остальные – неосновные начальные условия.

7

Классический метод расчёта переходных процессов

Классический метод состоит в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений цепи, составленных по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы.

Рассмотрим пример расчёта (рис. 2). До коммутации ток через

	индуктивность	iL (0−) =	E	,	напряжение на конденсаторе uC (0−) =0. Это
			R

основные начальные условия.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы, для мгновенных значений.

L
iL
E	iC
iR		C

Рис. 2. Схема расчёта классическим методом

iL =iR +iC ;

E= L didtL +uC ;

iR R −uC = 0.

Запишем также уравнение для тока через конденсатор:

iC =C dudtC .

Совместное решение этих уравнений относительно напряжения на конденсаторе имеет вид:

d2u

1

du

1

u

E

C

+

C

+

=

.

RC

LC

LC

dt2

dt

C

Решение данного уравнения ищется в виде:

uC = uC ′ + uC ″.

8

Математически

u C ′

– частное решение неоднородного

дифференциального уравнения, а uC ″– общий интеграл однородного

уравнения. В электротехнике эти составляющие имеют чёткий физический смысл.

uC ′ =uCпр , напряжение, которое устанавливается на конденсаторе

после окончания переходного процесса. Его легко найти, рассмотрев послекоммутационную схему в установившемся режиме. В данном случае

uCпр = E .

Название: напряжение, которое принуждается, вызывается источником.

uC ″ =uCсв , это напряжение, которое не зависит от источника, его

возникновение связано с процессами изменения энергии в электрической цепи, т. е. это напряжение свободно, не связано с источником.

Следовательно, решение имеется в виде:

	uC =uCпр				+ uCсв .
Характеристическое уравнение, соответствующее данному
дифференциальному, имеет вид:
p 2 +			1	p +		1		= 0.
			RC			LC
Обычно вводят обозначения:
	1	= 2δ;			1		=ω		02 .
	RC				LC

Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

p 2 + 2δp +ω02 = 0.

Для цепи с двумя накопителями характеристическое уравнение квадратное. Корни такого характеристического уравнения:

p1,2 = −δ ± δ 2 −ω02 .

Как известно, корни характеристического уравнения могут быть:

1. Вещественные, отрицательные и разные. Переходный процесс апериодический. В этом случае:

u	Cсв	= A e p1t + A e p2t ,
		1	2

где A1 и A2 – постоянные интегрирования. Закон изменения напряжения на конденсаторе

9

uC = E + A1 e p1t + A2 e p2t .

В случае двух накопителей в схеме следует определить неосновные начальные условия. К ним относятся токи и напряжения, о которых не идёт речь в законах коммутации. Для этого система дифференциальных уравнений

записывается для момента времени t = 0, в неё подставляются основные начальные условия и решают их совместно:

	i	(0)		=i (0)					+i (0);
	L					R			C
	E		= L			diL			+u (0);
						dt			C
								t=o
		(0) R −uC (0) = 0;
	iR
			du
	C		C				= i (0).
			dt						C
						t=0

E

= i

R

(0)

+i

(0);

R

C

diL

E

= L

+ 0;

dt

t =0

(0)

R −0 = 0;

iR

(0)

= C

duC

.

iC

dt

t =0

iR (0) = 0;

E

diL

=

;

dt

t =0

L

i (0) =

E

;

C

R

duC

= iC (0) =

E

.

dt

t

=0

C

RC

10

Эти величины определены для момента времени t = 0 и называются неосновными начальными условиями. Продифференцируем уравнение

uC = E + A1ep1t + A2ep2t

duC = 0 + p1 A1e p1t + p2 A2 e p2t dt .

Для определения A1 и A2 запишем эти уравнения для момента времени

t =0 :

uC (0) = 0 = E + A1 1+ A2 1;

	duC				=	E	= p A 1 + p		2	A 1.
	dt					RC	1	1		2
				t =0

Совместное решение данных уравнений даёт

				E		+ E p2
	A =	RC
								;
	1				p1		− p2
					E		+ E p
	A = −			RC			1		.
	2					p1 − p2

Таким образом, получаем закон изменения напряжения на конденсаторе:

		E	+ E p				E	+ E p
	RC					RC
uC = E +				2	e p1t −			1	eP2t .
		p1 − p2					p1 − p2

Для нахождения закона изменения остальных токов и напряжений в схеме следует воспользоваться дифференциальными уравнениями:

	iR	=	uC	;	iC	= C	duC	;	iL =iL +iC .
			R				dt
	Закон изменения тока iL				можно находить так же, как напряжение на
	конденсаторе
						11