p(x)

–(a+b) –(a–b) 0 (a–b) (a+b)	x

Рис. 10. Плотность трапецеидального распределения.

Математическое ожидание и дисперсия равны:

E[x ]= 0,

D[x ]= a2 +3 b2 .

Интегральная функция равна:

	F(x) =	(a + b + x )2				; −(a + b) ≤ x ≤ −(a − b)
				8ab
	F(x) =		a + x		;	− (a − b) ≤ x ≤ (a − b)
			2a
				(a + b − x)2
	F(x) =	1 −					; (a − b) ≤ x ≤ (a + b)
					8ab

(2.54)

(2.55)

. (2.56)

2.2.3. Доверительный интервал

Понятие статистической достоверности мы ввели в п. 2.2.2.1. при обсуждении н.р. и использовали его для определения вероятности того, что измеряемая величина при фиксированной функции распределения окажется в пределах заданных границ. Эти границы называют доверительными границами, а интервал – доверительным интервалом. Величина статистической достоверности в каждом конкретном случае зависит от требуемой надежности измерений. Особый интерес представляет доверительный интервал для среднего значения x , генеральная совокупность которого описывается н.р. с дисперсией σ2. Относительно просто описывается случай, когда дисперсия известна, так как выборочные средние значения при мощностях выборок n тоже распределены возле x по нормальному закону, а значит их дисперсия

равна σ2 n . По аналогии с (2.17) введем преобразование:

u =	(x n − x ) n	(2.57)
	σ

и перейдем к стандартному виду Φ(u) н.р. Для произвольных доверительных границ ±up доверительный интервал составит

	− u	σ	u		σ	с вероятностью (2.23):
	p		;	p
	n				n

	u σ	≤ x n ≤ x +	u σ
P(− up ≤ u ≤ up )= Φ(up )− Φ(− up )= P x −	p		p	(2.58)
	n			n

С этой вероятностью истинное значение x			лежит в интервале
x n − upσ	≤ x ≤ x n + upσ	,	(2.59)
n	n

который теперь называется доверительным интервалом выборочного среднего. Однако в общем случае дисперсия генеральной совокупности неизвестна, и поэтому кроме выборочного среднего x n нужно также знать

выборочную дисперсию Sn2 . Тогда в отличие от (2.57) вводят переменную t:

t =	xn − x			,	(2.60)
		Sn

n

которая не распределена по нормальному закону. Закон распределения этой величины называют распределением Стьюдента или t- распределением. Оно было впервые опубликовано английским ученым У. С. Госсетом под псевдонимом “Студент”. Его плотность вероятности равна:

p(t; n) =

pn

,

1 +

t 2

n

2

n −1

n

Γ

где pn =

2

.

(2.61)

n −1

(n −1)π Γ

2

Эта величина зависит от объема (мощности) выборки n ≥ 2. Величину f=n–

1 называют числом степеней свободы распределения. Это распределение симметрично и внешне похоже на колоколообразную кривую н.р., но ее максимум ниже. В то же время на большом расстоянии от t=0 плотность распределения Стьюдента совпадает с плотностью н.р. На рис. 8 показаны

t – распределения для различных n. Для n=2 оно совпадает с
распределением Лоренца, а с увеличением n стремится к нормальному
распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При n>30
два распределения совпадают настолько хорошо, что можно пользоваться
обычным н.р. При малых мощностях выборки (n<30) следует
использовать t-распределение. Функция распределения, как обычно
получается интегрированием (2.61):
t		ϑ2	−n2
F(t) = pn ∫	1 + n −1		dϑ					(2.62)
−∞
Эта функция табулирована, ее математическое ожидание и дисперсия
равны:
t = 0 для n ≥ 3
σ2 = n +1	для n ≥ 4
n −1
Для n=2 и n=3 дисперсия не определена, а при n=2 не определено и
математическое ожидание.				P(t; n)
					n=∞
				0,4		n=3
				0,2		n=2
				0				t
-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Рис. 11. Распределение Стьюдента при n=2; 3; ∞ [2,11].

Избранное значение статистической достоверности (доверительной вероятности) P(%) определяет границы доверительного интервала

[−t p,t p ], где tp для x определяется по аналогии с (2.59):

	x n −	t pS n	≤ x	≤ x n +	t pS n	(2.65)
		n			n

Табулированная функция распределения позволяет легко узнать значение tp для любых величин статистической достоверности:

P = F(t p ) − F(−t p ) = 2F(t p ) −1,

(2.66)

где F (t p ) = 12 (1 + P) .

На рис. 12 показаны эти значения для практически используемых величин статистической достоверности. Так называемая центральная предельная теорема математической статистики позволяет показать, что при не слишком малых мощностях выборки распределение выборочных средних, полученное для разных исходных функций распределения, достаточно хорошо описывается н.р. Поэтому в дальнейшем можно пользоваться приведенными выше соотношениями. Точно также можно определить доверительный интервал при фиксированной статистической достоверности для выборочного СТО. При этом используются результаты измерений, распределенные по нормальному закону. Теория позволяет получить для случайной переменной функцию распределения:

		2			1	n
	χ2 = (n −1)	S n	=			∑(x i − x n )2	(2.67)
		σ2		σ2
						i=1

которую называют хи–квадрат распределением, или распределением Пирсона. С его помощью можно определить доверительный интервал для

σ.

Если распределение результатов измерений не известно, то оценить статистическую достоверность можно, используя неравенство Чебышева. Эта оценка получается из следующих соображений. Запишем выражение для дисперсии (2.10):

σ 2 = D[x ]= ∞∫(x − E(x))2 p(x) dx
	−∞
10	P99	P99,9
5	P95
	P68
0
	1	10	100

Рис. 12. Значения tp для различных величин статистической достоверности P в зависимости от мощности выборки n: P68=68%; P95=95%; P99=99% и P99,9=99,9% [2,11,12].