5.5. Чистый косой изгиб

Изгиб называется косым, если плоскость действующих сил проходит через ось балки, но не совпадает ни с одной из главных осей сечения.

Его удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях и(рис. 5.13).

Рис. 5.13

Для этого изгибающий момент раскладывается на составляющие относительно осейи:

, .

Таким образом, косой изгиб сводится к двум плоским изгибам относительно осей, и. Изгибающие моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение в первой четверти.

Нормальные напряжения в точке имеющей координаты ибудут равны сумме напряжений от, т.е.

(5.13)

Следовательно, как при простом изгибе нормальные напряжения при косом изгибе образуют плоскость.

Уравнение нейтральной линии получим, положив в (5.13) .

.

После подстановки иполучим

, т.к. , тоили окончательно уравнение нейтральной линии получим в виде:

. (5.14)

Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна плоскости изгибающего момента.

Угловой коэффициент следа плоскости момента (рис. 5.13,б) представляет собой тангенс угла,

.

Угловой коэффициент нейтральной линии равен

.

Т.к. в общем случае , то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку

.

Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости момента, а несколько повернута в сторону минимального момента инерции. Брус «предпочитает» изгиб не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где плоскость на изгиб будет меньше.

Т.к. эпюра нормальных напряжений в сечении линейка, то максимальные напряжения возникают в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут тогда:

. (5.15)

Условие прочности можно записать в виде:

. (5.16)

Если сечение имеет простую форму, то наиболее удаленные точки находятся сразу, если сложную то, вычертив сечение в масштабе (рис. 5.14), наносится положение нейтральной линии, и графически находится наиболее удаленная точка (рис. 5.14).

Рис. 5.14

6. Внецентренное растяжение и сжатие

При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, как при растяжении и смещена относительно оси и параллельна ей.

Пусть в точке приложена равнодействующая сила равная. Координаты ееи. От этой силы в произвольном сечении стержня возникает нормальная силаи два изгибающих моментаи(рис. 5.15).

Рис. 5.15

Причем .

Правило знаков: нормальную силу считают положительной, если она вызывает растяжение. Изгибающие моменты исчитают положительными, если они вызывают растяжение в первой четверти.

Возьмем произвольную точку с координатамии. Нормальные напряжения в этой точке определяем по формуле

(5.17)

Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Так как эпюра напряжений образует плоскость, то положение нулевой линии определится как линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая нулю:

(5.18)

Расчет на прочность ведется для наиболее удаленной точки .

(5.19)

Эта линия не проходит через начало координат, как в случае косого изгиба. Проведем нейтральную линию, определив отрезки, отсекаемые ею на осях. Обозначим отрезки на осях отсекаемые нейтральной линией (рис.5.16,а).

Рис. 5.16

При ,— отрезок отсекаемой нулевой линии на оси. При,— отрезок отсекаемой нулевой линии на оси. Заменим, тогда.

Введем понятие радиуса инерции

(см), (см)

. Если , то.

Если точка приложения силы приближается к центру, то нулевая линия будет уходить в бесконечность и наоборот. Если нейтральная линияпересекает поперечное сечение (рис. 5.16,а), то в частях, расположенных по разные стороны от нее, нормальные напряжения (5.16) имеют разные знаки. Пусть нейтральная линия касается контура поперечного сечения (положение). Соответствующая точка приложения силынаходится в полюсе. Если теперь катить нейтральную линию по контуру сечения (положениеи т.д.), то полюсбудет описывать вокруг центра тяжести сечениянекоторую замкнутую кривую (рис. 5.16,б), область внутри которой называется ядром сечения. Если сила приложения внутри ядра сечения, то нейтральная линия находится вне сечения и в нем возникают напряжения одного знака.