2. Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения

Данная задача является более сложной, чем предыдущая, т.к. здесь не справедлива гипотеза плоских сечений. Отдельные точки сечения перемещаются вдоль оси стержня, и все сечение в целом перестает быть плоским. Происходит так называемая депланация сечения (рис. 3.15).

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Точное решение данной задачи дается в курсе теории упругости. Здесь приведем только окончательные результаты для стержня прямоугольного сечения. На рис 3.16 приведены эпюры для сечений по осям и диагоналям прямоугольного сечения.

Наибольшие касательные напряжения будут в середине длинной стороны прямоугольника.

;.

причем.

Угол закручивания равен

; .

Входящие в эти формулы коэффициенты зависят от отношения сторони даны в таблице 1.

Таблица 1

	1	1.5	1.75	2	2.5	3	4	6	8	10
	0.208	0.231	0.239	0.246	0.258	0.267	0.282	0.299	0.307	0.313	0.333
	0.141	0.196	0.214	0.229	0.249	0.263	0.281	0.299	0.307	0.313	0.333
	1.000	0.859	0.820	0.795	0.766	0.753	0.745	0.743	0.742	0.742	0.742

2. Потенциальная энергия бруса при кручении

Будем считать, что материал стержня работает при напряжениях, не превышающих предел упругости (рис. 3.17).

Рис. 3.17

В этом случае работа внешних сил, затрачиваемая на кручение стержня, равна потенциальной энергии, накопленной в стержне .

Работа равна площади треугольника

.

Таким образом, потенциальная энергия бруса длиной скручиваемого по концам моментами равна

. (3.15) Если изменения и жесткостипроисходит ступенчато, то потенциальная энергия подсчитывается для каждого участка.

2. Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости

Для решения задачи примем диаграмму Прандтля (рис. 3.18).

Рис. 3.18 Рис. 3.19

Когда касательные напряжения в точках контура достигнут предела текучести , крутящий момент можно определить по обычной формуле

.

Эпюра для этого случая показана на рис. 3.19,а. При дальнейшем увеличении крутящего момента образуется кольцеобразная пластичная зона, постепенно проникающая внутрь сечения. Эпюра показана пунктиром. Таким образом, пластичная зона доходит до центра сечения. В последнем случае эпюраимеет вид (рис. 3.19,б).

Предельный разрушающий момент равен

.

Согласно рис. 3.20 имеем

Рис. 3.20

Обозначим пластический момент сопротивления при

кручении.

Сравнив выражение

Если предположить, что коэффициент запаса прочности для двух рассмотренных случаев одинаков, то момент, найденный по разрушающей нагрузке будет на 33% выше момента, найденного по допускаемым напряжениям.