7.4. Канонические уравнения метода сил

Обратимся к ранее рассмотренному примеру (рис. 7.5)

Рис. 7.5

В эквивалентной системе, также как в заданной, перемещения по направлению отброшенных связей должны равняться нулю. На основании принципа независимости действия сил перемещения по — тому направлению от всех сил можно представить в виде:

(7.1)

Здесь первые индексы означают направления перемещения (и одновременно направление отбрасываемой связи), а вторые — причину вызвавшую эти перемещения. Таким образом — означает перемещение по направлениюот— го силового фактора. Обозначим черезреакцию связи, тогда поскольку перемещение пропорционально соответствующей силе, то

, (7.2)

где — единичное перемещение по— тому направлению от силы. Подставляя (7.2) в (7.1), получим

. (7.3)

Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной статически неопределимой системы сводится к системелинейных алгебраических уравнений.

(7.4)

Уравнения (7.4) являются каноническими уравнениями метода сил. Они позволяют раскрыть статические нагрузки системы. Первое из (7.4) означает, что перемещения по первому направлению от всех сил равно нулю и т.д. Число уравнений системы равно степени статической неопределимости.

Единичный коэффициент определяется с помощью интегралов Мора, причем на основании теоремы взаимности перемещений.

(7.5)

Грузовой коэффициент

(7.6)

Если с.н.с. состоит из прямолинейных участков, то интегралы Мора (4.2), (4.3) можно вычислять по правилу Верещагина.

Вернемся теперь к математическим свойствам системы (4.1). Коэффициенты называются главными, они всегда положительные. Побочные коэффициенты —, могут быть положительными и отрицательными.— свободные члены уравнений или грузовые коэффициенты. Могут быть положительными и отрицательными.

Напомним еще раз, что в балках и рамах в подавляющем большинстве случаев перемещения от изгиба и кручения намного больше перемещений от растяжения и сдвига. Поэтому в (7.5) и (7.6) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь.

7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности

Пусть имеется симметричная в геометрическом смысле рама (рис. 7.6), т.е. левая часть является зеркальным отображением правой части относительно оси симметрии. При расчете таких систем решение канонических уравнений можно упростить.

Рис. 7.6

Рассмотрим два случая загружения рамы: симметричной (рис. 7.6, б) и кососимметричной (рис. 7.6, в) нагрузкой. Аналогично будем классифицировать и внутренние силовые факторы. Рассекая стержень в общем случае нагружения, будем иметь шесть составляющих внутренних усилий.

Докажем следующее положение: у симметричной рамы при симметричной нагрузке обращаются в нуль, кососимметричные неизвестные, а при кососимметричной нагрузке — симметричные неизвестны.

Рис. 7.7

Рассмотрим раму, изображенную на рис. 7.6. Основная система при использовании свойств симметрии должна быть обязательно симметричной. Она будет общей как при симметричном, так и кососимметричном загружении. На рисунке 7.8 показаны основная и эквивалентные системы.

Рис. 7.8

Обозначая через и— кососимметричные силовые факторы, и черезисимметричные, выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть:

Заменим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль. Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой — кососимметричному фактору. Например, обращается в нуль коэффициент . Индекс 1 принадлежит кососимметричному фактору, а индекс 3 — симметричному фактору. Обращаются также в нульи т.д. Сказанное становится более очевидным, если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной, а от симметричных факторов — симметричной. При перемножении таких эпюр, естественно получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной на симметричную дает результат, отличный от нуля.

Вычеркивая из системы уравнений коэффициенты, обращающиеся в нуль, получим:

Как видим, система уравнений распалась на две независимые.

Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной. Из сказанных выше соображений следует, что . Первая система уравнений становится однородной. Тогда. Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы обращаются в нуль.

При кососимметричной нагрузке . Тогда. В этом случае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы.

Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричные неизвестные равны нулю, а при кососимметричной нагрузке —симметричные раны нулю. Если внешняя нагрузка не обладает свойствами симметрии, то ее всегда можно разложить на симметричную и кососимметричную, как показано на рис. 7.9.

Рис. 7.9

При этом задача распадается на две, которые решаются отдельно. Окончательные эпюры получаются сложением эпюр от симметричной и кососимметричной нагрузки.