Частные производные от функции f (X, y), заданной неявно

Пусть F(x, y, z) — функция, определенная на некотором множестве М точек пространства . Рассмотрим уравнение:

F (x, y, z) = 0. (5)

Если каждой точке (x, y) множества соответствует единственное значение z такое, что и выполнено равенствоF (x, y, z) = 0, то говорят, что на множестве D уравнение (5) неявно определяет функцию z = z (x, y). При этом, если функция F (x, y, z) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам и , то частные производные неявной функцииz = z (x, y) также существуют и их можно вычислить по формулам:

(6)

Задание 5. Найти частные производные ифункции, заданной неявно уравнением

Решение. Данное уравнение запишем в виде F (x, y, z) = 0:

Функция определена для любых x и y и z ≠ 0.

Найдем частные производные функции F (x,y,z):

при y, z = const

:

при x, z = const

при x, y = const

Применяя формулы (6), получим:

Частные производные второго порядка функции f (X, y)

Частными производными второго порядка называются частные производные от частных производных первого порядка. Обозначается:

или ; или ;

или ; или

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. В области непрерывности смешанных производных, отличающихся только порядком дифференцирования, их значения равны друг другу, т. е. .

Задание 6. Найти частные производные функции

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Частные производные второго порядка:

Действительно, смешанные частные производные иоказались равными друг другу при .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть уравнение F (x, y, z) = 0 определяет функцию z = z (x, y), заданную неявно на некотором множестве точек . Совокупность точекM (x, y, z(x, y)), где , в пространстве образует некоторую поверхность , которая называется графиком функции z = z (x, y).

Пусть — точка поверхности. Проведем две произвольные линииL и L₁, целиком лежащие на поверхности и проходящие через точкуM₀. Касательные прямые к линиям L и L₁ в точке M₀ определяют плоскость, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точкеM_0. Прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

M₀ (x₀, y₀, z₀) имеет вид:

(7)

Уравнение нормали к поверхности в точкеM₀:

(8)

Если поверхность задана явно уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали будут иметь вид:

(9)

(10)

Задание 7. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение. Поверхность задана неявно уравнением вида с функцией

Найдем частные производные функции F(x, y, z) и вычислим их значения в точке M₀:

Используя (7), получаем уравнение касательной плоскости в виде:

что после упрощения дает:

Уравнение нормали к поверхности, согласно (8), имеет вид:

. Производная по направлению

Пусть функция u= u (M) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки и— какой-либо фиксированный вектор в.

Производной функции u=u(M) в точке M₀ в направлении вектора называется предел отношения приращения функции в точкеM₀ в направлении вектора к расстоянию между точкамиM и , когда точка M→M₀ так, что вектор остается сонаправленным данному вектору, т. е.:

если этот предел существует и конечен.

Если вектор задан координатами, т. е.и функцияu=u (M) дифференцируема в точке M₀, то производная по направлению вычисляется по формуле:

(11)

где — направляющие косинусы вектора. Они равны

(12)

Производная характеризует скорость изменения функции u (M) в точке M₀ в направлении данного вектора . Если, то функция возрастает в направлении со скоростью при функция убывает со скоростью

Задание 8. Вычислить производную функции в точкеM₀ (0, e, –1) в направлении вектора

Решение. Найдем частные производные функции

так как и функция — показательная относительно x;

и — степенная функция относительноy;

Вычислим значения частных производных в точке:

.

Определим модуль и направляющие косинусы вектора по формулам (12):

Применяя формулу (11), имеем

Следовательно, функция в точке M₀ в направлении вектора возрастает со скоростьюединиц скорости.