Примеры решения задач

1. Закон Кулона.

Задача 1. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков ρ, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Плотность керосина 800 кг/м³, _ε =2.

Керосин

Рис.1 Рис.2

РЕШЕНИЕ

На каждый шарик с зарядом q в воздухе действуют три силы: сила тя­жести mg, сила натяжения нити Т и сила кулоновского отталкивания F_ko . Поскольку шарики находятся в равновесии, то результирующая всех сил равна нулю. Следовательно, сила электростатического отталкивания урав­новешивается силой F (см. рис.1),

F_ko = F = mgtgα (1)

В керосине, кроме указанных сил, на шарики действует выталкивающая си­ла Архимеда F_A. В этом случае сила кулоновского отталкивания F_K1 урав­новешивается силой F₁(см. Рис.2).

F_k1 = F₁ = (mg - F_A) tgα (2)

Сила Архимеда: F_a = ρ_kVg, где ρ_k - плотность керосина, V - объем ша­рика. Учитывая, что V = m/ρ, получаем:

.

Тогда выражение (2) принимает вид:

F_k1 = F₁ = (mg - ρ_k g) tgα (3)

Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз сила взаимо­действия зарядов в воздухе F_ko больше силы взаимодействия этих зарядов в среде: F_k0/F_k1.

С учетом соотношений (1) и (3), получаем:

или .

Отсюда следует, что плотность шариков:

Вычисления:кг/ м³.

Задача 2. В атоме водорода электрон вращается вокруг протона с угло­вой скоростью 10¹⁶ рад/с. Найти радиус орбиты электрона.

Рис.3

РЕШЕНИЕ

Со стороны протона р на электрон е действует сила кулоновского притяжения F_k, которая явля­ется центростремительной силой т.е. F_k =F_ц (см. рис.3).

По закону Кулона: ,

где e = 1,6 10^-19 Кл — элементарный заряд (заряд протона +е, электрона -е).

По второму закону Ньютона:

Таким образом: =

Отсюда находим радиус орбиты: 

Проверка размерности:

Вычисления: масса электрона m = 9,1∙ 10^-31 кг;

= 1,4^.10^-10 м .

2. Напряженность электростатического поля.

Задача 3. С какой силой электрическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины равномерно заря­женной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити γ =3 мкКл/м, поверхностная плотность заря­да на плоскости σ = 20 мкКл/м².

РЕШЕНИЕ

По определению, напряженность электростатического поля — это отношение силы F , действующей на заряд q , к величине этого заряда:

На каждый элемент dl нити с зарядом dq=γdl со стороны электростатического поля плоскости действует сила dF = dl E.

На единицу длины действует сила:

Напряженность поля, создаваемого заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ, равна: .

Таким образом, .

Проверка размерности: .

Вычисления:

Задача №4. Внутри плоского конденсатора с напряженностью поля Е, на­правленного вертикально вверх, равномерно вращается шарик массой m и зарядом +q, подвешенный на нити длиной 1. Угол отклонения or вертикали равен α. Найти силу натяжения нитей и кинетическую энергию шарика.

РЕШЕНИЕ

На вращающийся заряженный шарик, подвешенный на нити, действуют три силы:

mg — сила тяжести,

F

_К = q E — сила Кулона,

T — сила натяжения нити.

Р

езультирующей этих сил является сил

а F, величина которой (см. рис.4):

(1)

Рис. 4

Зная угол отклонения α нити от вертикали и силу F , находим силу натяжения нити:

.

Поскольку шарик вращается, то сила F является центростремительной силой F_Ц :

F = F_Ц . (2)

По второму закону Ньютона:

F_Ц = m a_ц =.

Используя (1), (2), получаем:

, (3)

где R = L sin α — радиус окружности, по которой вращается шарик. (4)

Из (3) с учетом (4) находим кинетическую энергию E _к шарика:

.