X1, x2, x3 оствавим в левой части уравнений, а x4, x5 перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:

x1

=

61 33

x4

-

14 33

x5

x2

=

19 33

x4

-

26 33

x5

x3

=

25 33

x4

-

29 33

x5

x₄, x₅ - свободные переменные. 

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Подставим в качестве одной из свободных переменных x₄ и x₅ число 1.

Тогда при x₄ = 1, x₅ = 1: x₁ = 47/33, x₂ = -7/33, x₃ = -4/33.

При x₅ = 1: x₁ = 2/11, x₂ = -10/11.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

Частное решение системы уравнений при x₄ = 33, x₅ = -33 имеет вид:

x1

=

61 33

33

-

14 33

33=61-14=47

x2

=

19 33

33

-

26 33

33=19-26=-7

x3

=

25 33

33

-

29 33

33=25-29=-4

2. Считая матрицу С_4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной и расширенной матрицы:

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

1

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	-3	-3	4
2	-3	4	-5
9	-9	6	-16

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

2

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	-3	-3	4
0	-7	4	1
9	-9	6	-16

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

9

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	-3	-3	4
0	-7	4	1
0	-27	6	11

Разделим строку 2 на a2,2 =

-3

Получим матрицу :

1	2	0	-3
0	1	1	-4 3
0	-7	4	1
0	-27	6	11

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-7

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	1	1	-4 3
0	0	11	-25 3
0	-27	6	11

Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2=

-27

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	1	1	-4 3
0	0	11	-25 3
0	0	33	-25

Разделим строку 3 на a3,3 =

11

Получим матрицу :

1	2	0	-3
0	1	1	-4 3
0	0	1	-25 33
0	0	33	-25

Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3=

33

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3
0	1	1	-4 3
0	0	1	-25 33
0	0	0	0

Требуемый вид матрицы получен и ее ранг совпадает с рангом исходной. Проанализируем последнюю матрицу, в ней легко выделить невырожденную квадратную подматрицу (минор) порядка 3. Этот минор располагается с 1-й по 3-ю строку и с 1-го по 3-й столбец (см. ниже). Минор 3-го порядка :

1	2	0
0	1	1
0	0	1

Данный минор невырожденный (его определитель не равен нулю) т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Кроме того, из конечной матрицы нельзя выделить невырожденную подматрицу порядка больше чем 3, следовательно, ранг матрицы |A| равен 3 Ответ: rang|А|=3

Определим ранг расширенной матрицы:

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

1

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	-3	-3	4	-5
2	-3	4	-5	2
9	-9	6	-16	2

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

2

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	-3	-3	4	-5
0	-7	4	1	-2
9	-9	6	-16	2

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

9

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	-3	-3	4	-5
0	-7	4	1	-2
0	-27	6	11	-16

Разделим строку 2 на a2,2 =

-3

Получим матрицу :

1	2	0	-3	2
0	1	1	-4 3	5 3
0	-7	4	1	-2
0	-27	6	11	-16

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-7

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	1	1	-4 3	5 3
0	0	11	-25 3	29 3
0	-27	6	11	-16

Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2=

-27

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	1	1	-4 3	5 3
0	0	11	-25 3	29 3
0	0	33	-25	29

Разделим строку 3 на a3,3 =

11

Получим матрицу :

1	2	0	-3	2
0	1	1	-4 3	5 3
0	0	1	-25 33	29 33
0	0	33	-25	29

Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3=

33

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3	2
0	1	1	-4 3	5 3
0	0	1	-25 33	29 33
0	0	0	0	0

Требуемый вид матрицы получен и ее ранг совпадает с рангом исходной. Проанализируем последнюю матрицу, в ней легко выделить невырожденную квадратную подматрицу (минор) порядка 3. Этот минор располагается с 1-й по 3-ю строку и с 1-го по 3-й столбец (см. ниже). Минор 3-го порядка :

1	2	0
0	1	1
0	0	1

Данный минор невырожденный (его определитель не равен нулю) т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Кроме того, из конечной матрицы нельзя выделить невырожденную подматрицу порядка больше чем 3, следовательно, ранг матрицы |A| равен 3 Ответ: rang|А|=3

Следовательно, ранг основной и расширенной матрицы совпадает 3=3, и система уравнений является совместной.

Решим неоднородную систему уравнений:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

1

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	-3	-3	4		-5
2	-3	4	-5		2
9	-9	6	-16		2

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

2

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	-3	-3	4		-5
0	-7	4	1		-2
9	-9	6	-16		2

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

9

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	-3	-3	4		-5
0	-7	4	1		-2
0	-27	6	11		-16

Разделим строку 2 на a2,2 =

-3

Получим матрицу :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	-7	4	1		-2
0	-27	6	11		-16

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-7

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	0	11	-25 3		29 3
0	-27	6	11		-16

Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2=

-27

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	0	11	-25 3		29 3
0	0	33	-25		29

Разделим строку 3 на a3,3 =

11

Получим матрицу :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	0	1	-25 33		29 33
0	0	33	-25		29

Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3=

33

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	0	1	-25 33		29 33
0	0	0	0		0

4-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	1	1	-4 3		5 3
0	0	1	-25 33		29 33

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

1

Модифицированная матрица :

1	2	0	-3		2
0	1	0	-19 33		26 33
0	0	1	-25 33		29 33

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

2

Модифицированная матрица :

1	0	0	-61 33		14 33
0	1	0	-19 33		26 33
0	0	1	-25 33		29 33

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

		x1							-	61 33	x4	=		14 33
					x2				-	19 33	x4	=		26 33
								x3	-	25 33	x4	=		29 33