дгту / каспарян / математика / Математика к.р.1

Вычитаемая строка :

0	7 2	0	-7 22	35 11		0

Модифицированная матрица :

1	0	0	9 11	-2 11		0
0	1	0	-1 11	10 11		0
0	0	1	0	0		0

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

		x1							+	9 11	x4	-	2 11	x5	=		0
					x2				-	1 11	x4	+	10 11	x5	=		0
								x3							=		0

x₁, x₂, x₃ оставим в левой части уравнений, а x₄, x₅ перенесем вправо. Окончательный вид системы (общее решение системы однородных линейных уравнений). Заданная система уравнений имеет множество решений:

x1

=

-

9 11

x4

+

2 11

x5

x2

=

1 11

x4

-

10 11

x5

x3

=

0

x₄ = с₁

x₅ = с₂ - свободные переменные. 

Подставим по очереди 1 в качестве одной из свободных переменных: x₄ и x₅.

Тогда при x₄ = 1: x₁ = -9/11, x₂ = 1/11.

При x₅ = 1: x₁ = 2/11, x₂ = -10/11.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

и

Частное решение системы уравнений при x₄ = 11, x₅ = -11 имеет вид:

x1	=	-	9 11	11	+	2 11	(-11)=-9-2=11,
x2	=		1 11	11	-	10 11	(-11)=1+10=11

2. Считая матрицу С_4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной и расширенной матрицы:

Разделим строку 1 на a1,1 =

2

Получим матрицу :

1	7 2	3 2	1 2
5	12	5	3
6	-1	-2	5
3	5	2	2

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

5

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2
0	-11 2	-5 2	1 2
6	-1	-2	5
3	5	2	2

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

6

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2
0	-11 2	-5 2	1 2
0	-22	-11	2
3	5	2	2

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

3

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2
0	-11 2	-5 2	1 2
0	-22	-11	2
0	-11 2	-5 2	1 2

Разделим строку 2 на a2,2 =

-11 2

Получим матрицу :

1	7 2	3 2	1 2
0	1	5 11	-1 11
0	-22	-11	2
0	-11 2	-5 2	1 2