дгту / каспарян / математика / Математика к.р.1

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

		x1							+	9 11	x4	=	-	2 11
					x2				-	1 11	x4	=		10 11
								x3				=		0

x₁, x₂, x₃ оствавим в левой части уравнений, а x₄ перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:

x1

=

-

9 11

x4

-

2 11

x2

=

1 11

x4

+

10 11

x3

=

0

x₄ - свободная переменная. 

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Задание 5.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды: А₁А₂А₃А₄ требуется найти:

а) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

А₁ (1, -1, 2), А₂ (0, -1, 6), А₃ (-1, 0, 2), А₄ (1, 1, 4).

а) Длины ребер:

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

_{Определим координаты отрезков А1А2 и А1А3.}

_Тогда

в) площадь грани А₁А₂А₃;

= ;

== = -4-8-;

= ;

= 0,5*9 = 4,5 (кв. ед.);

г) объем пирамиды;

;

Определим координаты отрезка :

;

(куб. ед.).

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

Для определения уравнений сторон А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

;

;

;

.

Уравнение плоскости А₁А₂А₄:

;

;

;

;

;

.

ж) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ определяется по формуле:

з) Высота пирамиды определяется по формуле :

(ед)