-
Распределение Больцмана.
Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.
Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.
Давление столба газа определяется формулой.
Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,
где плотность газа на высоте h.
Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона
или .
Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).
.
при h=0 , , ,
, , ,
- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.
Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.
,
Т. к. , а
где - потенциальная энергия молекулы на высоте h.
распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.
Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.
Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.
-
Средняя длина свободного пробега молекул.
Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.
Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).
Величина называется эффективным сечением молекулы.
Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .
В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .
.
Для большинства газов при нормальных условиях
.
Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:
Для большинства газов при нормальных условиях .
обратно пропорциональна концентрации молекул.
Поскольку
При T =const , обратно пропорциональна давлению.