Резонанс напряжений

В цепях переменного тока с последовательно соединенными катушкой, резистором и конденсатором, в которых реактивные сопротивления равны между собой (X_L=X_С), наступает резонанс напряжений. В этом случае сопротивление становится минимальным и равным активному сопротивлению. Так как реактивные сопротивления зависят от частоты, то резонанс наступит при определенной частоте, которая называется резонансной.

• - циклическая резонансная частота;

• - резонансная частота тока;

• - волновое сопротивление;

• - добротность цепи;

• - мощность при резонансе напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе равны между собой и могут оказаться больше по значению напряжения цепи. Понятие добротности имеет важное практическое значение (например, для антенн).

Общий случай неразветвленной цепи

В неразветвленной цепи в общем случае может быть включено несколько активных, несколько реактивных сопротивлений. Такие цепи рассчитываются аналогично цепям, содержащим активное, емкостное и индуктивное сопротивления. Находим эквивалентные сопротивления: активное, емкостное, индуктивное, как суммы соответствующих сопротивлений.

Разветвленная цепь с активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью

Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока вводятся расчетные величины активного и реактивного токов цепи (рисунок 5.11). Физического смысла активный и реактивный токи не имеют, они облегчают расчеты, их определяют из треугольников токов.

Для разветвленной цепи, приведенной на рисунке 5.12 , при напряжении на входе , справедливы следующие соотношения:

• - ток в индуктивной цепи;

• - ток в емкостной цепи;

• - действующее значение тока в индуктивной цепи;

• - действующее значение тока в емкостной цепи;

• - ток в неразветвленной цепи;

• - ток в неразветвленной цепи;

• - полная проводимость цепи.

• - напряжение, приложенное к цепи;

• – активная составляющая тока, совпадает по фазе с напряжением;

• - активная проводимость цепи;

• – реактивная составляющая тока;

• - реактивная проводимость цепи;

• -полный ток цепи;

• - полная (кажущаяся) проводимость;

Резонанс токов

Резонанс токов в цепи с параллельным соединением катушки и конденсатора возникает при равенстве реактивных проводимостей в ветвях:

• - условие резонанса токов в разветвленных цепях;

• - полная (кажущаяся) проводимость для резонанса тока;

• - реактивные токи при резонансе токов равны между собой;

• - полная мощность цепи является активной;

• - частота токов в параллельном резонансном контуре.

Явление резонанса нашло широкое применение в радиотехнике и вычислительной технике.

Символический метод

Символический метод расчета основан на представлении векторов в плоскости комплексных чисел.

А=a+jb- алгебраическая форма записи комплексного числа;

А=|A|cosα+j|A|sinα– тригонометрическая форма записи комплексного числа;

A=|A|e^jα – показательная форма записи комплексного числа.

|A|- модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

е-основание натурального логарифма;

|А|=;

a- действительная часть;

b- мнимая часть.

Аргумент комплексного числа: α=arctg

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

1.Сложение комплексных чисел:

A+B=A₁+jA₂+B₁+jB₂=(A₁+B₁) +j(A₂+B₂);

2.Вычитание комплексных чисел:

A-B=A₁+jA₂-B₁-jB₂=(A₁-B₁) +j(A₂-B₂);

3.Умножение комплексных чисел:

A*B= |A|e^jα *|B|e^jα=|A|*|B|*e^j(α+ß)

4.Деление комплексных чисел:

A/B=|A|e^jß/|B|e^jα=(|A|/|B|)*e^j(ß-α)

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее проводить в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

С учетом выше приведенных формул мы можем перейти от графического выражения синусоидальных токов и напряжений к аналитическому.

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТОКОВ, НАПРЯЖЕНИЙ, СОПРОТИВЛЕНИЙ, ЗАПИСАННЫХ В КОМПЛЕКСНОМ ВИДЕ.

i=I_msin(ωt+ψ_i);

u=I_msin(ωt+ψ_u);

1. I=Ie^jψi

2. U=Ue^jψu;

I,U– комплексы токов и напряжений;

I,U- модули токов и напряжений;

3.I=I_m\;

4.U=U_m\;

5.Z= U/ I= Ue^jψu / Ie^jψi=(U/I)* e^j(ψu-ψi)=Z* e^j(ψu-ψi);

Модулем полного сопротивления является кажущееся сопротивление цепи Z=U/I, а аргументом угол сдвига фаз между током и напряжением. Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть активное сопротивлениеR, а коэффициент при мнимой единице – реактивное сопротивлениеX. Если знак перед реактивным сопротивлением «плюс», то сопротивление носит индуктивный характер, если «минус» - емкостной характер.

Z= |Z|e^jα==|Z|cosα+j|Z|sinα=R+jX;

Обратная величина комплекса сопротивлений, есть комплекс проводимости.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ И РАДИОСВЯЗИ