Задачи для самостоятельного решения

1. На станке должны быть последовательно обработаны 5 различных деталей. Сколько вариантов должен проанализировать технолог для выбора наилучшей очерёдности их обработки?

2. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?

3. В урне 10 белых шаров и 5 чёрных. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:

а) все три шара оказались белыми;

б) все три шара оказались чёрными;

в) два шара оказались белыми, а один — чёрным;

г) один шар оказался белым, а два – чёрными?

4. Сколько существует различных способов распределения восьми приборов между тремя лабораториями, если:

а) все приборы различны;

б) все приборы идентичны?

5. Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных сообщений можно передать комбинацией из 7 цифр?

6. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

7. Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, у которых каждая следующая цифра:

а) больше предыдущей;

б) меньше предыдущей?

8. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, если каждую из них можно использовать не более одного раза?

9. Из слова "кот" перестановками букв можно получить такие слова: кот, ток, кто, тко, окт, отк. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова "логарифм"?

10. Сколько существует различных трёхцветных флагов с тремя вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю семи цветов?

11. Сколько пятизначных чисел, не кратных 5, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, используя каждую такую цифру в любом из чисел по одному разу?

12. Сколькими способами можно рассадить учащихся в классе, если мест 34, а присутствует 30 человек?

13. Каждая сторона квадрата разбита на п частей. Сколько можно получить треугольников, вершинами которых являются точки деления (вершины квадрата считаются точками деления)?

14. Сколькими способами можно разложить 7 монет различного достоинства по трём карманам?

15. У одного человека 6 книг по математике, а у другого – 10. Сколькими способами можно обменять 3 книги одного из них на 3 книги другого?

16. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

17. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?

18. Сколько можно указать пятизначных чисел, делящихся на 5, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр?

19. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8, если каждую из них можно использовать любое число раз?

20. Сколькими способами из чисел 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 можно составить несократимую дробь?

21. Имеются пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Сколькими способами из них можно построить треугольник?

22. Вычислите: а) ; б); в).

23. Найдите сумму цифр во всех пятизначных числах, составленных из цифр 1, 4, 6, 7, 8 (без повторений).

24. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 0 (без повторений)?

25. Вычислите: а) ; б); в).

26. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр: а) 2, 3, 4, 5; б) 2, 3, 4, 5, 6; в) 2, 3, 4, 5, 6, 7; г) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0?

27. Вычислите: а) ; б), гдеn <10.

28. Решите уравнения: а) ; б); в).

29. Вычислите: а) ; б); в).

30. Решите уравнения: а) ; б);

в) ; г).

31. В некотором коллективе 20 членов профсоюза. Сколькими способами можно выбрать из них трех членов комитета?

32. Агрохимик проверяет 6 типов минеральных удобрений; ему нужно провести несколько опытов по изучению совместного влияния любой тройки удобрений. Для каждого опыта берется участок 0,25 га. На какой площади проводится все исследование?

33. На окружности отмечено 8 различных точек. а) Сколько хорд можно провести, соединяя любые 2 из этих точек? б)Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить? в) Сколько выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках можно построить? г) Сколько невыпуклых четырехугольников?

34. Очевидно, что . Проверьте также равенства:;. Сформулируйте аналогичное свойство в общем виде.

35. Решите системы уравнений: а) ;

б) ; в).

36. На кафедре математики 9 преподавателей. Сколькими способами можно составить расписание консультаций на 9 дней, если каждый преподаватель дает консультацию ровно один раз?

37. 9 членов профсоюзного комитета должны избрать из своего состава председателя, секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

38. Проверьте равенства: а) ;.

39. 20 учителей, встретившись перед педсоветом, обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано всего рукопожатий?

40. 20 выпускников школы решили обменяться фотокарточками. Сколько было всего заказано фотокарточек?

41. Ученики изучают 9 различных предметов. 1 сентября в классе должно быть 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание уроков для этого класса на 1 сентября, чтобы в этот день было 5 различных предметов?

42. Для передачи сигналов вывешиваются одно под другим три разноцветных полотнища. Сколько разных сигналов можно передать при наличии белого, желтого, красного, зеленого, синего и черного полотнищ?

43. Решите уравнение .

44. Сколько существует различных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами?

45. На железной дороге 25 станций. На каждом билете печатаются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно печатать: а) Если каждый билет действителен только в указанном направлении? б) Если каждый билет годен либо на поездку «туда», либо на поездку «обратно»? в) Если, кроме билета на одну поездку «туда», нужно печатать билет на поездку «туда и обратно»?

46. а) Сколькими способами можно назначить в патруль трех солдат и одного офицера, если имеется 15 солдат и 4 офицера?

б) В спортобществе 10 сильных лыжников и 8 сильных лыжниц. Сколькими способами можно сформировать команду из четырех лыжников и трех лыжниц?

в) Футбольная команда составляется из вратаря, трех защитников, двух полузащитников, пятерых нападающих. Сколько разных команд может составить тренер, если в клубе 3 хороших вратаря, 6 защитников, 5 полузащитников, 8 нападающих (команды считаются разными, если они отличаются хотя бы одним участником, причем предполагается, что нападающий не может играть в полузащите, но может играть на любом месте в линии нападения)?

47. Каждого из семи студентов можно направить для прохождения практики на один из двух заводов. Сколькими различными способами можно это сделать?

48. В классе 29 учеников. Сколько существует различных вариантов присутствия (отсутствия) этих учеников в классе?

49. Сколько различных четных делителей имеет число 2310?

50. Имеются катушки с омическим сопротивлением 1, 3, 5, 10 и 20 ом. Сколько цепей с различным сопротивлением можно получить, соединяя некоторые из этих катушек последовательно?

51. После окончания всех экзаменов бывшие одиннадцатиклассники устроили вечер, на котором к чаю предлагали торты «Чародейка», фруктовый, шоколадный, ореховый и вафельный.

Оказалось, что каждый отобрал себе разный набор кусочков тортов, а Сережа, которому врач запретил сладкое, пил чай без торта. Сколько выпускников было в XI классе?

На сколько кусочков пришлось разрезать каждый торт?

52. Женщина оставшаяся в захваченной врагом деревне, постоянно передавала информацию о вражеских войсках. Для этого она развешивала в условленном порядке выстиранное белье: 4 синих полотенца, 2 белые рубашки и 3 черных трусов. Сколько различных сигналов она могла передавать?

53. В двоичной системе счисления, применяемой в ЭВМ, существует только 2 знака: 0 и 1 (иначе: включено — выключено, соединено — разъединено, есть ток — нет тока). В одной из ЭВМ каждое «машинное слово» записывается в ячейке «памяти», содержащей 37 пронумерованных двоичных разрядов. Сколько различных «слов» можно записать в такой ячейке?

54. Сколько существует различных целых чисел, меньших 10000, в написании которых содержатся цифры 1, 2, 3 (каждая цифра не менее одного раза) ?

55. В телефонной сети города Безпятска запрещен набор цифры 5. Сколько различных «безпятских» абонентов можно вызвать набором четырехзначного номера, если ни один номер не должен начинаться с нуля?

56. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

в) Сколько среди них чисел, кратных 11?

г) Сколько среди них чисел, кратных 3?

57. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

58. В контрольной работе будет пять задач — по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

59. В клетки квадратной таблицы 2x2 произвольно ставят крестики и нолики.

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?

в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки?

г) Решите задачи пунктов а), б) и в) для таблицы 3 x 3.

60. Вычислите: а) ; б); в); г)

61. Делится ли 11! на:

а) 64; б) 25; в) 91; г) 49?

62. Сколькими нулями оканчивается число:

а) 10!; б) 12!; в) 15!; г) 26!?

63. Сократите дробь:

а) ; в);

б) ; г).

64. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

65. Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

66. а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать? ,

б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день?

в) Сколькими способами четыре вора могут разбежаться по одному на все четыре стороны?

г) Адъютант должен развести пять копий приказа генерала пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа?

67. У Вовы на обед — первое, второе, третье блюда и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

68. В гостинице семь одноместных номеров, и семеро гостей желают в них разместиться, причем трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите число способов расселения семи гостей по семи номерам.

69. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, D, Е, F, G, К?

70. Шесть граней игрального кубика помечены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

а) Найдите число всех возможных вариантов.

б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите суммы выпавших очков, во второй — количество вариантов, в которых выпадает эта сумма.

г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

71. На плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Три точки покрасили в рыжий цвет, а остальные — в черный.

а) Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

б) Сколько можно провести отрезков с рыжими концами?

в) Составьте таблицу из двух строк. В первой строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во второй — число отрезков с разноцветными концами при таком способе раскраски.

г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки — в бурый и 3 — в малиновый цвет. Сколько можно построить серо-буро-малиновых треугольников?

72. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой.

73. Важен или нет порядок в следующих выборках:

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»;

г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.

74. Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

75. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;

б) выбрать 5 инструментов из 12 данных;

в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;

г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то трех из выбранных 5 инструментов из 12 данных?

76. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбора;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.

77. По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать:

а) при условии, что пару обязательно должны составить мальчик и девочка;

б) без указанного условия?

78. По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены этой группы должны быть девочками;

б) все члены этой группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

79. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:

а) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

б) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В;

в) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию;

г) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой?

80. а) Вычислите дляn = 3,4,5,6,7.

б) Отметьте на координатной плоскости точки (n; ) дляn = 3, 4, 5, 6, 7.

в) На графике какой функции лежат все точки вида (n;)?

г) Начиная с какого n все эти точки будут расположены выше прямой ?

81. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?

82. Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по 4 человека.

а) Сколько может быть различных составов бригад?

б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?

в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?

г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных бригадах?

Контрольная работа №1

Вариант 1

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна:

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: и результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему и записать условия проводимости:

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что для любого натурального числа п имеем

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при некотором отрицательном х произведение ху положительно, то у отрицательно».

7. Найти область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

– Витя не ставил кляксу, – сказал Алеша, – это сделал Боря.

– Это Витя поставил кляксу, – сказал Боря. – А Алеша не пачкал скатерть.

– Я знаю, что Боря не делал этого. Я сегодня не готовил урока, – сказал Витя.

Кто поставил кляксу, если двое мальчиков в каждом из двух случаев сказали правду, а один оба раза неправду.

Вариант 2

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что есть логическое следствие.

5. Доказать, что при любом натуральном п имеем: .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при некотором отрицательном х сумма х + у равна нулю, то у отрицателен».

7. Найти область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. Администрация морского порта издала следующие распоряжения:

Если капитан получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле.

Если капитан не получает специального указания, то он не должен покидать порт или он впредь лишается возможности захода в порт.

Капитан лишается впредь возможности захода в этот порт, или не получает специального указания.

Как можно упростить эту систему распоряжений?

Вариант 3

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схемуи записать условия проводимости:

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом целом п имеем .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при всяком положительном х разность х – 3у отрицательная, то у отрицателен».

7. Изобразить графически область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел:

8. В одном из классов было разбито стекло. Стекло мог выбить только Леня, Дима, Миша или Толя. При опросе каждый сделал три заявления.

Леня: – Стекло разбил не я. Я даже не подходил к нему. Миша знает, кто разбил стекло.

Миша: – Я не виновен. Стекло разбил Леня. Дима может поручиться за меня, так как знает меня со дня рождения.

Дима: – Я не виновен. С Мишей мы были знакомы до поступления в школу. Это сделал Толя.

Толя: – Я не разбивал стекло. Это сделал Миша. Дима говорит неправду, утверждая, что стекло разбил я.

Кто разбил стекло, если каждый мальчик сделал два верных и одно неверное заявление.

Вариант 4

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом целом неотрицательном натуральном п имеем .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при всяком положительном х сумма х+у больше единицы, то у положителен».

7. На графике изобразить область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. Подсудимых четверо: А, В, С, Д.

Установлено следующее:

1. Если А и В виновны, то и С виновен.

2. Если А виновен, то В или С виновен.

3. Если C виновен, то виновен и Д.

4. Если А не виновен, то Д виновен.

Кто из подозреваемых виновен вне всякого сомнения, а чья вина остается под сомнением.

Вариант 5

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна. .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п > 1 имеем , гдеx > –1, x 0.

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при всяком положительном х сумма 2х + у отрицательна, то у отрицателен».

7. Изобразить графически область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. При составлении расписания на один день учителя математики, истории и литературы высказали следующие пожелания: математик попросил поставить ему первый или второй урок; историк – первый или третий; учитель литературы – второй или третий. Как составить расписание, чтобы учесть все пожелания?

Вариант 6

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна. .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п > 1 имеем

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если х – простое число, то оно не делится ни на какое простое у».

7. Изобразить графически область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел:

8. При решении задачи ученику дали три ответа:

1) Х – число иррациональное, равное площади правильного треугольника со стороной, длина которой равна двум;

2) Х – число кратное 4 и равно радиусу окружности, длина которой равна 2;

3) Х > 0 и равно диагонали квадрата, сторона которого равна 2.

В каждом из ответов одна часть верна, другая нет. Чему равен Х?

Вариант 7

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: ,

результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п > 1 имеем , где.

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Каждое простое число нечетное, но существует нечетное составное число».

7. Найти истинностное значение высказывания:

8. Сколько лет Коле, Пете, Мише и Вите, если известно, что все они разных возрастов и в информации:

1) Коле – 22, Пете – 21;

2) Мише – 19, Коле – 21;

3) Вите – 21, Мише – 18

одна часть верна, а другая – нет.

Вариант 8

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п имеем .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: .«Каждый квадрат является параллелограммом».

7. Изобразить графически область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. На складе было совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников – рецидивистов А, В, С, в результате допроса которых установлено следующее:

1) Никто кроме А, В, С, не замешан в хищении.

2) С никогда не ходит на дело без А и, возможно, других соучастников.

3) В не умеет водить машину.

Виновен ли А?

Вариант 9

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п имеем .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Если при некотором отрицательном у произведение ху больше 1, то х больше 1».

7. Найти истинностное значение высказывания: .

8. При расследовании дела о преступлении было установлено:

1) Если А виновен и В не виновен, то С виновен.

2) С никогда не действует в одиночку.

3) А никогда не ходит на дело вместе с С.

4) Никто кроме А, В, С в преступлении не замешан.

Чья вина не вызывает сомнения?

Вариант 10

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что логическое следствие.

5. Доказать, что при любом натуральном п имеем .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Из любого действительного числа извлекается квадратный корень».

7. Найти область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. При расследовании дела об ограблении лавки было установлено:

1) Подозреваемые А, В, С в день ограбления побывали в лавке и никто больше в этот день в лавку не заходил.

2) А всегда ходит на дело ровно с одним участником.

3) С не пойдет не дело без В.

4) Если виновных было ровно двое, то А – один из них.

5) В никогда не ходит на дело без С.

Против кого можно выдвинуть обвинение?

Вариант 11

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна: .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что – логическое следствие.

5. Доказать, что при любом натуральном п .

6. Перевести предложение на логический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Уравнение имеет один действительный корень».

7. Найти область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. Для четырех дружинников А, Е, Р, С нужно составить график дежурства на 4 дня подряд. При этом нужно учесть:

1) С и Р не могут дежурить в первый вечер.

2) Если С выйдет во второй вечер, или Р в третий, то Е не сможет подежурить в четвертый.

3) Если А не будет дежурить в третий вечер, то Е согласен дежурить во второй.

4) Если А или Р будут дежурить во второй вечер, то С сможет пойти в четвертый вечер.

5) Если Р не сможет дежурить в четвертый вечер, то А придется дежурить в первый, а С – в третий вечер.

Вариант 12

1. Доказать и проиллюстрировать диаграммой Эйлера – Венна .

2. С помощью равносильных преобразований упростить формулу: , результат проверить с помощью таблиц истинности.

3. Упростить релейно-контактную схему

и записать условия проводимости.

4. Доказать, что является логическим следствием.

5. Доказать, что при любом натуральном п > 1 имеем .

6. Пусть x, y, z – целые числа. Для теоремы сформулировать обратную, противоположную и обратную к противоположной теоремы. Какая из них истинна?

7. Найти область истинности предиката, определенного на множестве действительных чисел: .

8. Один из братьев Витя, Толя, Коля разбил окно. В разговоре участвуют еще двое братьев Андрей и Дима.

• Это мог сделать только Витя или Толя, – сказал Андрей.

• Я окно не разбивал, – возразил Витя, – Коля тоже.

• Вы оба говорите неправду, – заявил Толя.

• Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой неправду, – возразил Дима.

• Ты, Дима, неправ, – вмешался Коля.

Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое братьев сказали правду. Кто разбил окно?

Контрольная работа №2

Вариант 1

1. Пусть А – множество зрителей в кинотеатре, В – множество кресел в зале. Опишите отношения:

а) х сидит в том же ряду, что у;

б) х сидит ближе к экрану, чем у;

в) f = {(х сидит в кресле у};

2. А = В = {а,в,с,d,e}.

Т = {(а,c,),(c,d),(a,d),(e a),(e,d),(e,c),(в,d)}.

Постройте граф Т. Является ли Т функцией? Порядком?

3. Запишите определение транзитивного отношения и его отрицание.

4. Является ли функция у = =f(х) отображением RR? Биекцией? Отображением какого-то другого множества в R? Обратимо ли отображение? Если да, напишите f .

Вариант 2

1.Пусть А – множество всех городов, B=N. Опишите отношения:

а)число жителейx = числу жителей y (с некоторой точностью);;

б) х расположен южнее y; ;

в)f = {(x,y) в городе х живёт у человек}.

2. А = {1,2,3}, В = {4,5,6,7,8}.

Т = {(x,y)ABHOД(x,y) =1}. Задайте Т перечислением пар. Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение сюръективного отображения и отрицание этого определения.

4. Являются ли функции f(x)=sin x, g(x)=6x²+1 отображе-ниями R в R? Биекциями? Найдите f○g, g○f, f○f.

Вариант 3

1.А–множество яблонь в саду, В – множество яблок, висящих на яблонях. Опишите отношения:

a) яблоня x одного сорта с яблоней у;

б) яблоняx старше яблони у;

в) , яблокоx растёт на яблоне у}.

2. , и НОД(x, y). Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение инъективного отображения и его отрицание.

4.Является ли функция отображениемRR? Биекцией? Обратимым отображением? Если да – запишите обратное. А функция

Вариант 4

1. А – множество всех многоугольников, В=R. Опишите отношения:

a) пример х = периметру у ;

б) пример хпериметру у ;

в)– периметр многоугольника,}.

2.. Постройте графТ. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение симметричного отношения и его отрицание.

4. Являются ли данные функции отображениемZ в Z? Биекциями? Найдите .

Вариант 5

1. A=R, B=Z. Опишите отношения:

а) ,(– целая часть числа– ближайшее кx целое, не превосходящее x: 1);

б) ,;

в) .

2. A=;

B=;

J=первая буква имени х}. Покажите граф отношение J. Функция ли это?

3. Запишите определение рефлексивного отношения и его отрицание.

4. Является ли функция отображением

а)? Обратимо ли это отображение?

б)? Обратимо лиf?

В случае обратимости запишите f^--1.

Вариант 6

1. А – множество всевозможных функций ,B=Z. Опишите отношения:

a)число нулей числу нулей(нуль функции – значениеx, при которой она обращается в 0, корень уравнения ;

б) везде ниже графика ;

в) .

2. A=, B=;

T= в слове x у букв

3.Запишите определение симметричного отношения и его отрицание.

4.Является ли функции отображениями или какого – то другого множества в R? Биекции ли это? Для отображения запишите fg, gf, gg.

Вариант 7

1. А – множество конечных множеств, В=Z. Опишите отношения:

a) XTYчисло элементов X=числу элементов Y (X,Y A);

б) XTYXY=Ф, X,Y A;

в) f =XA, yB, y – число элементов множества X}.

2. А =,В=;

T=/}=перечислить пары. Постройте графТ. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение транзитивного отношения и его отрицание.

4. Являются ли функции y = f(x)= lg (x–5) и y = g(x)= отображениями?

a) R в R?;

б) А =/} в R?

Найдите f○g, g○f, g○g.

Вариант 9

1. А – множество всех векторов плоскости, B = R. Опишите отношения:

a) коллинеарен ;

б) ;

в) .

2. ;

. Перечислите пары бинарного отношения Т. Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение инъективного отношения и его отрицание.

4. Являются ли функции иотображениямиN в N? Обратимы ли эти отображения? Если да, записать обратные. Как изменить данные, чтобы f(х), g(х) стали биекциями?

Вариант 10

1. А – множество окружностей плоскости В = R. Опишите отношения:

а) радиусрадиусуy ;

б) лежит внутриy ;

в) ,,y – радиус окружности .

2. ,;

, , Перечислите пары бинарного отношенияТ. Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Записать определение антисимметричного отношения и его отрицание.

4. Является ли функция отображениемА в В? Обратимо ли это отображение? Если да, то запишите обратное.

а) А=В=R;

б) ,

Вариант 11

1. A – множество всех книг, у которых один автор (т.е. не 2 и более), B=Z. Опишите отношения:

а) хТу х и у написаны одним и тем же автором (х, уА);

б) хТу в книгех < страниц , чем в книге у (х, уА);

в) f=– число страниц в книгех}.

2. A=,В=, Т=. Перечислите пары. Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение симметричного отношения и его отрицания.

4. Являются ли функции f(x) = , g(x) = x+5 отображе-ниями N в N ? Биекциями? Обратимы ли они? Если да, запишите обратные. Как изменить условия, что бы g(х) стало биекцией?

Вариант 12

1. А – множество всех треугольников плоскости, B=R. Опишите отношения:

а) площадь x = площади y ;

б) площадь x площади y ;

в) площадь треугольниках= числу y}.

2.Перечислите пары бинарного отношения Т. Постройте граф Т. Является ли Т функцией?

3. Запишите определение транзитивного отношения и постройте его отрицание.

4. В каком случае f – отображение А в B? Обратимо ли это отображение? Если да, то запишите обратное.

а) A=B=R, ;

б) A=R\, B=R, ;

в) A=R\, B=R\, .

Вариант 13

1. A – множество жителей Омска (при условии, что у каждого есть жилье, и каждый живет в одном месте). B – множество домов в Омске. Описать отношения

a) xТуx живет в том же доме что у;

б) xТуx живет, ближе к центру, чем у;

в) f ={, х живет в доме y}.

2.A= B={N,Z,Q,R}, xТучислохмножест-вуу . Покажите граф.Т. Функция ли это?

3. Записать определение сюръективного отображения и его отрицание.

4. Является ли отображениями RR, ,биекциями функции Записать

Контрольная работа №3

Вариант 1

1. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

2. Вычислите:

а) ; б); в).

3. В первой группе класса «А» первенства России по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут быть определены?

4.Решите уравнение: .

5. 25 учителей, встретившись перед педсоветом, обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

6. Сколько различных перестановок можно сделать из слова «МИССИСИПИ»?

7. Каждого из семи студентов можно направить для прохождения практики на дин из двух заводов. Сколькими способами можно это сделать?

8. Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по m различным урнам?

9. Имеется шесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими способами можно составить из них ряд, содержащий 4 шара?

10. Найдите число точек пересечения диагоналей выпуклого n-угольника. При этом учитывайте только внутренние точки пересечения и исходите из предположения, что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке.

Вариант 2

1.Сколько девятизначных чисел можно написать девятью разными значащими цифрами?

2.Вычислите:

а) ; б); в), где.

3.Ученики изучают девять различных предметов. 1 сентября в классе должно быть 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание уроков для этого класса на 1 сентября, чтобы в этот день было 5 различных предметов?

4.Решите уравнения:

а) ; б).

5.Сколькими способами можно выбрать 6 номеров из 49 в спортлото?

6.Сколькими различными способами можно разложить 8 монет различного достоинства в 2 кармана?

7.Сколькими способами можно переставить буквы слова «КОФЕВАРКА» так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались?

8.Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

9. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, пользуясь тремя цифрами 1, 2, 3, при дополнительном условии, что 3 применяется в каждом числе ровно два раза? Сколько написанных чисел делится на 9?

10. Сколькими способами можно получить 8 оценок не ниже 3 по разным предметам так, чтобы сумма была равна 30?

Вариант 3

1. Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, на который поставлено 12 приборов?

2.Решите уравнения:

а) ; б); в).

3. У отца есть 5 апельсинов, которые он выдает своим 8 сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами это можно сделать?

4. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие из них не стояли рядом?

5.Проверьте равенства:

а) ; б).

6.Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «МОЛОКО»?

7. Автомобильные номера состоят из трех букв, за которыми идут 4 цифры, например: МКМ 07 – 37.Сколько машин можно снабдить различными номерами, если используется 25 букв (буквы ь, ъ, ё, й, ы не используются)?

8. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 8 открыток?

9. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

10. На полке находятся m+n различных книг, из которых m в черных переплетах, а n в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые m мест? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?

Вариант 4

1.Сколькими различными способами можно усадить за стол 4 человек, если к столу приставлены 4 стула?

2.Решите уравнение: .

3. Учащимся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать, если в день сдается только один экзамен?

4. В некотором коллективе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из них трех членов забастовочного комитета.

5. Проверьте равенства:

а) ; б).

6. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

7. В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.

8. Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по m различным урнам?

9. Имеется шесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими способами можно составить из них ряд, содержащий 4 шара?

10. Найдите число точек пересечения диагоналей выпуклого n-угольника. При этом учитывайте только внутренние точки пересечения и исходите из предположения, что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке.

17