Глава IV. Бинарные отношения
Л.М.Мартынов. Вводный курс математики, стр.70-108
Вопросы для самопроверки
1.
Заполните пропуски в формулировке
определения: «Декартовым произведением
множеств А
и В
называется множество, обозначаемое
..., состоящее из ... пар (а,
b),
где
и
».
2. А= {2, 4}, В = {5, 6}, Р = {(2,2),(2,5),(2,6),(5,2),(6,2),(4,4), (4,5),(4,6),(5,4),(6,4),(5,5),(6,6)}. Во множестве Р вычеркните те пары, которые не принадлежат А х В.
3. Найти А х В, если
а) А = {0,1}, В = {3,5,7,9};
б) А = В = {1,2,3,4}.
4. Найти множества А и В, если
а) А х В = {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5)};
б) В х А = {(2,3),(4,5),(6,7)}.
5. Изобразить в декартовой системе координат множество XхY, если
а) Х={3,4,5},Y={2,6};
б)
,
;
в)
,
.
6
.
Найти множества Х
и Y,
если изображение X
х Y
в декартовой системе координат имеет
вид, представленный на рисунках 20 и 21.
.
Рис. 20 Рис. 21
7. Заполните пропуски в формулировке определения: «Бинарным отношением, заданным на паре множеств А и В называется непустое ... декартова произведения... ».
8. Заполните пропуски ρ = {(k,1), (т, п), (р, r)} , Dот ρ =... , Iт ρ =... .
9. А = {7,8,9}, В = {3,4,5}. ρ -бинарное отношение, заданное на паре множеств А и В. Укажите номер правильного ответа, если:
1) ρ = {(7,3),(8,4),(5,9)};
2) ρ = {(7,7),(4,4),(5,5)};
3) ρ = {(7,3),(8,4)}.
10. Найдите ошибку или неточность в формулировках определений:
а) А
х
В
= {(а, b)|
};
б)
Бинарным отношением, заданным на паре
множеств А
и
В,
называется
множество всевозможных упорядоченных
пар (а,
b),
где
а
.
11.Закончите каждое предложение, указав одно из свойств (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, антирефлексивность):
а) Всякое действительное число равно самому себе, поэтому отношение равенства обладает свойством...;
б)
–
истинное высказывание, поэтому отношение
« < » на R
обладает
свойством...;
в)
–
истинное
высказывание,
поэтому отношение « < » на Z
обладает свойством...;
г)
–
ложное
высказывание,
поэтому отношение «
»
на N
не обладает свойством...;
д) Если прямая а перпендикулярна b, то и прямая b перпендикулярна прямой а. Поэтому отношение перпендикулярности на множестве прямых плоскости обладает свойством ….
12. Для каждого вида бинарного отношения в таблице 21 отметьте знаком «+», номера тех свойств, которыми оно обязательно должно обладать (1 – рефлексивность, 2 –симметричность, 3 – транзитивность, 4 – антисимметричность, 5 – антирефлексивность, 6 – связанность):
Таблица 21
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
эквивалентность |
|
|
|
|
|
|
|
порядок |
|
|
|
|
|
|
|
строгий порядок |
|
|
|
|
|
|
|
нестрогий порядок |
|
|
|
|
|
|
|
линейный порядок |
|
|
|
|
|
|
13.Пусть
множество А
- конечно,
.
Какими
свойствами обладает ρ
в
каждом из случаев а –
d?
Закончите предложения:
а) Если в каждой точке графа отношения ρ есть петля, то ...;
б) Если на графе нет односторонних стрелок, то...;
в) Если на графе нет двусторонних стрелок (не считая петель), то...;
г) Если на графе нет ни одной петли, то....
14.
Какими свойствами обладает бинарное
отношение
,
где
А
={1,2,3}, заданное
графом (Рис. 22)?
3
1 21
Рис. 22
15. Бинарное отношение f задано графом на паре конечных множеств А и В. О каком конкретном виде бинарного отношения идёт речь в каждом из случаев: 1)отображение, 2)функция, 3)сюръективная функция, 4)инъективная функция. Вместо вопросительного знака запишите соответствующий номер.
а) Из каждой точки области определения бинарного отношения f выходит ровно одна стрелка (?);
б) Каждая точка множества А является началом некоторой стрелки (?);
в) Любые две стрелки с разными началами имеют разные концы (?);
г) Каждая точка из В является концом некоторой стрелки (?).
16. Является ли бинарное отношение, заданное графом: а) функцией; б) отображением; в) инъективной функцией; г) сюръективной функцией; д) биективной функцией; е) биекцией? (Рис. 23)
Рис.23