2. Построение доверительных интервалов для среднего.
В MS Excel для вычисления границ доверительного интервала и при числе элементов в выборке п < 30 можно воспользоваться функцией ДОВЕРИТ или процедурой Описательная статистика.
Функция ДОВЕРИТ (альфа;станд_откл;размер) определяет полуширину доверительного интервала и содержит следующие параметры:
- альфа — уровень значимости, используемый для вычисления доверительной вероятности. Доверительная вероятность равняется 100*(1 - альфа)% процентам, или, другими словами, альфа, равное 0,05, означает 95%-ный уровень доверительной вероятности;
- Станд_откл — стандартное отклонение генеральной совокупности для интервала данных, предполагается известным;
- Размер— это размер выборки.
Пример 2. Найти границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения, если у 25 телефонных аккумуляторов среднее время разряда в режиме ожидания составило 140 часов, а стандартное отклонение — 2,5 часа.
Решение.
1. Откройте новую рабочую таблицу. Установите табличный курсор в ячейку А1.
2. Для определения границ доверительного интервала необходимо на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ДОВЕРИТ, после чего нажмите кнопку ОК.
3. В рабочие поля появившегося диалогового окна ДОВЕРИТ с клавиатуры введите условия задачи: альфа — 0,05',
Станд_откл— 2,5', Размер —25 (рис. 5). Нажмите кнопку ОК.
В ячейке А1 появится полуширина 95%-ного доверительного интервала для среднего значения выборки — 0,979981. Другими словами, с 95%-ным уровнем надежности можно утверждать, что средняя продолжительность разряда аккумулятора составляет 140 + 0,979981 часа или от 139,02 до 140,98 часа.
Рис. 5. Пример заполнения диалогового окна ДОВЕРИТ
Пример 3. Пусть имеется выборка, содержащая числовые значения: 13, 15, 17, 19, 22,25,19. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения и для нахождения «выскакивающей» варианты.
Решение.
1. В диапазон А1:А7 введите исходный ряд чисел.
2. Далее вызовите процедуру Описательная статистика. Для этого, указав курсором мыши на пункт меню Сервис, выберите команду Анализ данных. Затем в появившемся списке Инструменты анализа выберите строку Описательная статистика.
3. В появившемся диалоговом окне в рабочем поле Входной и интервал: укажите входной диапазон —А1:А7. Переключателем активизируйте Выходной интервал и укажите выходной диапазон — ячейку В1. В разделе Группировка переключатель установите в положение по столбцам. Установите флажок в левое поле Уровень надежности: и в правом поле (%) — 95. Затем нажмите кнопку ОК.
4. В результате анализа в указанном выходном диапазоне для доверительной вероятности 0,95 получаем значения доверительного интервала (рис. 6).
Рис. 6. Исходная выборка (А1:А7) и результат вычислений (СЗ) из примера
Уровень надежности — это половина доверительного интервала для генерального среднего арифметического. Из полученного результата следует, что с вероятностью 0,95 среднее арифметического для генеральной совокупности находится в интервале 18,571 ± 3,77. Здесь 18,571— выборочное среднее М для рассматриваемого примера, которое находится обычно процедурой Описательная статистика одновременно с доверительным интервалом.
5. Для нахождения доверительных границ для «выскакивающей» варианты необходимо полученный выше доверительный интервал умножить на n (в примере — 7 , то есть 3,77* 7= 9,975). В Excel это можно выполнить следующим образом. Табличный курсор установите в свободную ячейку С4; введите с клавиатуры знак =; мышью укажите на ячейку СЗ (в которой находится результат вычислений); введите с клавиатуры знак *; с панели инструментов Стандартная вызовите Мастер функций (кнопка fx); выберите категорию Математические, тип функции Корень; нажмите ОК; введите с клавиатуры число п= 7 и нажмите ОК. В результате получим в ячейке С 4 значение доверительного интервала — 9,975. Таким образом, варианта, попадающая в интервал 18,571 ± 9,975, считается принадлежащей данной совокупности с вероятностью 0,95. Выходящая за эти границы может быть отброшена с уровнем значимости ά = 0,05.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. По выборке объема
п = 9 найдено среднее
значение
.
Считая, что генеральная совокупность
распределена по нормальному закону с
,
определить интервальную оценку для
математического ожидания с надежностью
.
Решение. Используя табл. Нормального закона распределения, находим, что
при
.
Тогда
и доверительный интервал
имеет границы
.
Таким образом, с вероятностью
0.95 можно быть уверенным в том, что
интервал
накроет параметр
распределения (математическое ожидание)
или, другими словами, с вероятностью
0.95 значение
дает значение параметра распределения
с точностью
=
1.31.
Вычисление
величины
,
входящей в доверительный интервал:
Величина
вычисляется с помощью функции НОРМСТОБР:
=
где
– надежность интервальной оценки.
Вычисление
величины
осуществляется с помощью функции
ДОВЕРИТ:
=
где
– известное среднеквадратичное
отклонение,
– объем выборки. Тогда интервальную
оценку можно записать в виде.
2.
По выборке объема п = 9
из нормально распределенной генеральной
совокупности найдены значения
и
.
Построить интервальную оценку для
математического ожидания с надежностью
.
Решение.
Пользуясь табл. Распределения Стьюдента,
находим величину
.
Тогда точность
определяется соотношением:
,
а интервальная оценка имеет границы
,
которые зависят от двух случайных
величин:
и
S.
Подставляя вместо S
ее вычисленное значение s
= 2, получаем интервал
.
Пример 4.
Найти минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью 0,95 ширина доверительного интервала равна 0,6 при σx=1,2;
Решение:
Ф(t0,4875)=0,4875; t0,4875=2,24 (см. приложение 1);
n=2,242·1,22/0,32=81.
Вывод: минимальный объем равен 81.
Упражнение 1.
То же самое, что в примере 1 при
а)
=42,8;
n=16; σx=8;
β=0,99;
б) как в а), но выборка бесповторная и N=600.
Упражнение 2.
То же самое, что в примере 1 при
а)
=1235,5;
n=18; Sx=1,75;
β=0,9;
б) то, что в а), но при бесповторной выборке объема N=300.
Упражнение 3.
Найти доверительную вероятность при оценке математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х, если:
σx=3;
=10,2;
n=16;
;
Упражнение 4.
Для контроля службы электроламп из большой партии отобрано 20 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отработанных ламп равен 980 часов, а СКО срока службы – 16 часов. Какова вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более, чем на 18 часов?
Упражнение 5.
То же самое, что в примере 2 при:
а)
n=10; Sx=5,1;
б)
Упражнение 6.
То же самое, что в примере 3 при β=0,925; σx=1,5; δ=0,2.
Упражнение 7.
Найти доверительный интервал для математического ожидания при:
а) x=3;
;
n=30; =0,95;
б) Sx=6;
;
n=15; =0,95;
N=900.
Упражнение 8.
Найти минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью 0,975 ширина доверительного интервала для математического ожидания равна:
а) 0,5 при x=1,5; б) 0,6 при Sx=1; в) 1 при x=1,5; N=500.