Вартанян.Функциональный анализ. (1)

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 Определение линейных пространств

Непустое множество X называется линейным (или векторным) пространством над полем вещественных (комплексных) чисел, если выполняются следующие условия:

I. Каждой паре элементов x, y èç X поставлен в соответствие элемент x + y X, называемый их суммой, причем:

1) x + y = y + x (коммутативность),

2) (x + y) + z = x + (y + z) , x, y, z X (ассоциативность)

3)â X существует элемент такой элемент 0, такой, что x + 0 = x для любого x X (существование нуля),

4)для каждого x X существует такой элемент −x , ÷òî x + (−x) = 0 (существование противоположного элемента).

II. Для любого вещественного (комплексного) числа α и любого элемента x X,

поставлен в соответствие элемент αx X , называемый произведением элемента x на число α, причем:

1) α · (β · x) = (α · β) · x, x X, α, β R ( α, β C) ,

2) 1 · x = x, x X,

3) (α + β)x = αx + βx, α, β R ( α, β C) , 4) α(x + y) = αx + αy.

Определение. Линейные пространства X è Y называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в этих пространствах.

Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства.

Элементы x1, x2, ..., xn линейного пространства X называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α1, α2, ..., αn не все равные нулю, что α1x1 +α2x2 +...+αnxn =

0. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если линейно независима каждая ее конечная подсистема.

Линейное пространство X называется n мерным, если в нем существует система из n линейно независимых элементов, а любые n + 1 элементов линейно зависимы.

В этом случае говорят, что X имеет размерность n. Åñëè æå â X можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят

что пространство X бесконечномерно.

Базисом в n мерным линейном пространстве называется любая система из n линейно независимых элементов. Каждый вектор x X конечномерного пространства

21

на числа. Именно, пусть

единственным образом представляется в виде линейной комбинации элементов базиса. Непустое подмножество Y линейного пространства X называется подпространством,

если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в X,

операциям сложения и умножения на число. Таким образом, Y X есть подпространство, если

x, y Y, α, β R ( α, β C) , αx + βy Y.

Подпространство, отличное от всего X и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

Линейной оболочкой множества E X называется совокупность всех конечных линейных комбинаций элементов из E. Ясно, что линейная оболочка является линейным подпространством в пространстве X.

2.2 Фактор пространства

Пусть X линейное пространство, и Y некоторое его подпространство. Скажем, что два элемента x è y èç X эквивалентны, если их разность x − y принадлежит Y .

Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. определяет разбиение X на классы. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности. Совокупность

всех таких классов называется фактор пространством пространства X ïî Y и обозначим

X/Y .

В любом фактор - пространстве, естественно, вводятся операции сложения и умножения xe è ye два класса, представляющих собой элементы из X/Y .

Выберем в каждом из этих классов по представителю x è y соответственно, и назовем

суммой классов xe è ye тот класс который содержит элемент x + y, а произведением класса

xe на число α тот класс, который содержит элемент αx. Легко проверить, что результат не зависит от выбора представителей из данных классов. Эти операции удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства. Таким образом, каждое фактор - пространство представляет собой линейное пространство.

Åñëè X линейное n мерное пространство, а его подпространство Y имеет размерность k, то фактор - пространство X/Y имеет размерность n − k.

Пусть X произвольное линейное пространство и Y некоторое его подпространство. Размерность фактор - пространства /Y называется коразмерностью подпространства Y в пространстве X.

Если подпространство Y пространства X имеет конечную коразмерность n, òî â X

можно выбрать элементы x1, x2, ...xn так, что всякий элемент x X будет однозначно представим в виде

x = α1x1 + α2x2 + ... + αnxn + y,

ãäå α1, α2, ..., αn числа и y Y .

2.3 Нормированные пространства

Линейное пространство X называется линейным нормированным пространством, если

каждому вектору x X поставлено в соответствие действительное число kxk, называемое нормой этого вектора, так, что выполняются следующие свойства:

1) kxk ≥ 0, причем kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

2) kαxk = |α| kxk; α R ( α C) , x X; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk , x, y X.

22

a≤t≤b

непрерывных на

k=1

kxk = t

x2k, x = (x1, x2, ...xn).

v u n

X

u

На нормированные пространства переносятся все понятия и факты, которые справедливы для метрических пространств.

Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Как и для линейных пространств, в линейных нормированных пространствах вводится определение подпространства. Однако в нормированном пространстве основной интерес представляют замкнутые линейные подпространства. В дальнейшем, под подпространством нормированного пространства мы будем понимать только замкнутое подпространство.

Совокупность элементов, содержащую вместе с этими элементами и все их линейные комбинации, будем называть линейным многообразием.

Систему элементов нормированного пространства X назовем полной, если порожденное ею (замкнутое) подпространство совпадает со всем X.

Пусть X нормированное пространство и Y некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство X/Y . Определим в нем норму, положив для класса смежности xe

kxek = inf kxk .

x ex

Очевидно, что введенная величина обладает всеми свойствами нормы. Более того, нетрудно показать, что фактор - пространство банахова пространства по любому его (замкнутому) подпространству есть банахово пространство.

ПРИМЕРЫ.

1. В пространстве Rn можно задать норму равенством

ρ(x, y) =

kx − yk .

На одном и том линейном пространстве могут задаваться различные нормы. Каждое линейное нормированное пространство можно рассматривать как метрическое пространство с расстоянием

Эта норма называется евклидовой.

2. В пространстве C[a;b] [a; b] функций норма определяется так:

kxk = max |x(t)|, x C[a;b].

3. В пространстве Lp[a;b], (1 ≤ p < ∞) норма задается равенством

kxkLp =	( ab	1
		|x(t)|pdt)p .
	Z

4. Норма в пространстве lp, (1 ≤ p < ∞) определяется равенством

kxklp = ( ∞	1
	|xk|p)p , x = (x1, x2, ...xn, ...).
kX
=1

2.4 Эквивалентные нормы

Две нормы k · k1, è k · k2 на линейном пространстве X называются эквивалентными, если существуют положительные постоянные α R è β R , такие, что для всех x X

α kxk1 ≤ kxk2 ≤ β kxk1 .

23

Из последнего неравенства следует, что каждый шар пространства X построенный по

одной норме содержит некоторый шар пространства X построенный по другой норме. Поэтому при замене одной нормы на эквивалентную ей норму остаются неизменными:

1) семейство всех открытых множеств;

2) семейство всех замкнутых множеств;

3) семейство всех компактных множеств.

Из определения эквивалентных норм следует также, что сходимость последовательности по одной из норм влечет сходимость к тому же пределу и по другой из норм. Соответствующее утверждение справедливо и для фундаментальных последовательностей Заметим, также, и тот факт, что если две нормы эквивалентны третьей, то они

эквивалентны между собой.

2.5 Конечномерные пространства

Теорема. Пусть X n мерное линейное нормированное пространство. Тогда любые две нормы в X эквивалентны.

Доказательство. Выберем в X произвольный базис x1, x2, ...xn. Каждый вектор x X единственным образом представляется в виде линейной комбинации

x = α1x1 + α2x2 + ... + αnxn,

ãäå α1, α2, ..., αn числа (координаты вектора x в данном базисе).

Положим kxk1

=

n

2

норма на пространстве X.

k=1

αk Легко видеть, что k · k1

любая норма

, заданная на

, эквивалентна норме данной.

Покажем теперь, что q

X

P

Прежде всего, справедлива оценка k · k

kxk = kα1x1 + α2x2 + ... + αnxnk ≤

n

|αk|||xk|| ≤

=1

kX

1

· ( n

1

≤ ( n ||xk||2)2

|αk|2)2

= β · kxk1 ,

=1

k=1

kX

X

ãäå β =

kn=1 ||xk||2

21 .

другой стороны, рассмотрим функцию

Ñ

P

ϕ(α) = kα1x1 + α2x2 + ... + αnxnk , α = (α1, α2, ..., αn).

Из неравенства

|ϕ(α0) − ϕ(α00)| =

α10

x1 + ... + αn0 xn

−

α100x1 + ... + αn00xn

≤

α10

α0

− α00

≤

− α100 x1 + ... + αn0

− αn00 xn

≤ β ·

,

следует равномерная непрерывность функции ϕ(α). Поскольку единичная сфера

S = α Rn		v	n	αk2	= 1
		u
		uX
		t

k=1

компактное в Rn множество, то непрерывная функция ϕ достигает на S своего наибольшего и наименьшего значения. Поскольку ϕ(α) > 0 для всех α S, то infα S ϕ(α) = µ > 0.,

òî x X kxk ≥ µ kxk1. Поскольку норма k · k была выбрана произвольной, то теорема полностью доказана.

24

некоторый базис конечномерного пространства x X его координаты в данном базисе. Данное

Теорема. Каждое конечномерное линейное нормированное пространство банахово, Доказательство. Пусть x1, x2, ..., xn

X. Поставим в соответствие элементу

отображение есть линейное биективное отображение пространств Rn è X. Следовательно, пространства Rn è X изоморфны. Поскольку Rn полное пространство, то полным будет

è X. В силу эквивалентности норм в конечномерном пространстве, получаем, что любое конечномерное пространство - банахово.

Следствие. Пусть X линейное нормированное пространство, а Y его конечномерное подпространство. Тогда Y замкнуто в X . Действительно, в силу доказанной теоремы,

подпространство Y является полным, а следовательно и замкнутым.

Конечномерные пространства обладают и рядом других важных свойств. Будем говорить, что метрическое пространство обладает свойством Гейне - Бореля, если в нем

каждое замкнутое ограниченное множество компактно. Пространство Rn обладает этим свойством (в силу теоремы Гейне - Бореля). Более того, каждое конечномерное линейное нормированное пространство обладает свойством Гейне-Бореля

Действительно, изометрический изоморфизм (линейная биекция, сохраняющая величину нормы образа и прообраза), между линейными нормированными пространствами одинаковой размерности, переводит ограниченные множества в ограниченные, замкнутые в замкнутые, компактные в компактные. Поэтому, с учетом эквивалентности норм, этим

же свойством, наряду с Rn ,обладает любое n мерное пространство.

Справедливо обратное утверждение, показывающее, что свойство. Гейне - Бореля является характеристическим свойством конечномерных пространств. Этот важный для приложений факт был установлен Ф.Риссом. Его доказательство основано на следующей лемме.

Лемма (Ф.Рисса о почти перпендикуляре). Пусть X линейное нормированное пространство и Y его собственное (замкнутое) подпространство. Тогда для любого ε > 0 найдется такой вектор x0 X, ÷òî kx0k = 1 è kx0 − yk ≥ 1 − ε äëÿ âñåõ y Y .

Доказательство. Возьмем произвольный элемент x X, не принадлежащий Y . В силу замкнутости Y

inf

k

x

−

y

k

> 0.

d = d(x, Y ) = y

Y

Следовательно, для любого ε > 0 найдется такой элемент y Y , ÷òî

d

≤ k

x

−

y

k

<

d

.

1

−

ε

x−y

Положим x

0

=

x

0k

= 1 и для любого y

Y

kx−y k . Тогда k

x

y

=

kx − y − y · kx − y kk

d

> 1

ε,

k

≥ kx − y k

−

k 0 −

kx − y k

поскольку вектор y + y ·kx − y k принадлежит Y è kx − yek ≥ d для любого элемента ye Y . Лемма доказана.

Теорема Ф.Рисса. Линейное нормированное пространство обладает свойством Гейне - Бореля тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Доказательство. Пусть линейное нормированное пространство X бесконечномерно и

S= {x X | ||x|| = 1 }

единичная сфера в X. Легко видеть, что S замкнутое ограниченное множество. Покажем, что S некомпактно. С этой целью установим, что на сфере S существует

последовательность точек {xn}, такая, что

1

kxi − xjk > 2 , i =6 j.

25

Возьмем произвольную точку x1 S и предположим, что уже выбраны точки {xi}n Удовлетворяющие приведенному неравенству. Рассмотрим множество i=1.

Y всех линейных комбинаций элементов {xi}ni=1. Тогда Y конечномерное замкнутое подпространство в X. Поскольку Х бесконечномерно, то Y 6= X. Согласно лемме о почти перпендикуляре,

существует элемент xn+1 S, такой, что

1

kxn+1 − xjk > 2 , j = 1, 2, ..., n.

Таким образом, искомая последовательности {xi1}, построена. Но отсюда следует, что
покрытие сферы S открытыми шарами радиуса	2 не содержит конечного подпокрытия,
и поэтому

S некомпактное множество. Теорема доказана.

26

2.6 Пространства с внутренним произведением

2.6.1Евклидовы пространства

Один из известных способов введения нормы в линейном пространстве это задание в нем скалярного произведения. Напомним, что скалярным произведением в действительном

линейном пространстве X называется действительная функция (x, y) определенная для каждой пары элементов x, y X и удовлетворяющая следующим условиям;

1) (x, y) = (y, x), x, y X;

2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y), x1, x2, y X; 3) (αx, y) = α(x, y), x, y X, α R;

4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 только при x = 0.

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве X вводится норма:

q

kxk = (x, x).

Из свойств скалярного произведения следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены. Действительно, выполнение аксиом 1) и 2) нормы очевидно. Докажем выполнение аксиомы 3) (неравенство треугольника). С этой целью докажем неравенства Коши - Буняковского

|(x, y)| ≤ kxk · kyk x, y X.

Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной α, неотрицательный при всех ее значениях:

ϕ(α) = (αx + y, αx + y) = α2(x, x) + 2α(x, y) + (y, y) =

= kxk2 α2 + 2(x, y)α + kyk2 .

Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то ϕ(α) ≥ 0 ïðè âñåõ α R. Следовательно, дискриминант этого квадратного трехчлена

меньше или равен нулю, т. е. 4(x, y)2 − 4 kxk2 kyk2 ≤ 0, что и требовалось доказать. Докажем третье свойство нормы. Имеем

qq

||x + y|| = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤

q

≤||x||2 + 2 · ||x|| · ||y|| + ||y||2 = ||x|| + ||y||.

Наличие в евклидовом пространстве скалярного произведения позволяет ввести в этом пространстве не только норму вектора, но и угол между векторами: именно, угол ϕ между

векторами x è y определяется формулой

(x, y) cos ϕ = ||x|| · ||y||.

При этом из неравенства Коши Буняковского (1) вытекает, что выражение, стоящее справа, по модулю не превосходит 1 и, следовательно, данная формула действительно для любых

ненулевых x è y определяет некоторый угол (0 ≤ ϕ ≤ π).

Åñëè (x, y) = 0, то векторы x è y называются ортогональными. Система ненулевых векторов {xα} èç X называется ортогональной, если

(xα, xβ) = 0, α 6= β.

Нетрудно показать, что если векторы ортогональны, то они линейно независимы. Если при этом норма каждого элемента равна 1, то система {xα} называется ортонормированной.

Если ортогональная система {xα} полна т. е. наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство есть все X, то она называется ортогональным базисом. Если при этом она ортонормированна, то система {xα} называется ортогональным нормированным базисом.

27

2.6.2Унитарные пространства

Комплексное линейное пространство X называется пространством со скалярным произведением, если для каждой пары элементов x, y X определено некоторое комплексное число (x, y) удовлетворяющее следующим условиям;

1) (x, y) = (y, x), x, y X;

2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y), x1, x2, y X;
3)	(αx, y) = α(x, y), x, y X, α C;
4)	(x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 только при x = 0.
Комплексное пространство X с фиксированным в нем скалярным произведением
называется унитарным пространством, если в нем можно ввести скалярное произведение,
связанное с нормой соотношением:
	kxk = q		.
		(x, x)

Как и для евклидовых для унитарных пространств справедливо неравенство Коши -

Буняковского. Действительно,

(αx + y, αx + y) = |α|2(x, x) + α(x, y) +

(y, x) + (y, y).

α

По аксиоме 4) это выражение неотрицательно, каково бы нибыло α C. Предполагая,

÷òî

(в противном случае

и неравенство очевидно), положим

(y,x)

6= 0

x = 0

α = −(x,x) .

Получим:(x, x)

|(x, y)|2

|(x, y)|2

|(x, y)|2

+ (y, y)

0,

(x, x) −

(x, x) −

≥

ò.å.

(x, x)

(x, x)(y, y) − |(x, y)|2 ≥ 0.

Докажем, теперь, неравенство треугольника для нормы в унитарном пространстве. Используя неравенство Коши - Буняковского имеем:

kx + yk2 = (x + y, x + y) = |(x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)| ≤

≤ kxk2 + 2 kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .

Отметим, что в евклидовом и унитарном пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение элементов непрерывны.

ПРИМЕРЫ.

1. Пространство Rn является евклидовым пространством с внутренним произведением

n

(x, y) = X xiyi, x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) Rn.

i=1

.

2. Пространство Cn унитарное пространство с внутренним произведением

n

(x, y) = X xiyi, x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) Cn.

i=1

3. В действительном пространстве l2 внутреннее произведение задается равенством

∞

(x, y) = X xiyi, x = (x1, ..., xn, ...), y = (y1, ..., yn, ...) l2.

i=1

Абсолютная сходимость последнего ряда следует из неравенства Коши - Буняковского.

28

4. В действительном пространстве L2[a;b] внутреннее произведение векторов задается так

Z b

(x, y) = x(t)y(t)dt, x, y L2[a;b],

a

åñëè æå L2[a;b] комплексное, то

Z b

(x, y) = x(t)y(t)dt, x, y L2[a;b].

a

29

X с внутренним произведением

2.6.3Ортогонализация и ряды Фурье

Покажем, что в каждом сепарабельном пространстве каждая ортонормированная система не более чем счетна.

В самом деле, пусть {xα} ортонормированная система. Тогда для любых не равных между собой элементов этой системы

	||xα − xβ|| =	√
		2.
	с центрами в точках из системы
Рассмотрим шары	1			{xα}	радиуса 1	. Ýòè øàðû
не пересекаются. Если,B xтеперь,α, 2					2

E счетное всюду плотное в X множество, то в каждом из построенных шаров есть, по крайней мере, один элемент из E. Следовательно совокупность

, а значит и элементов системы

шаров B xα,	21		{xα} не более чем счетна.
Заметим,		÷òî	любая	система	линейно

независимых векторов может быть трансформирована в ортонормированную систему. Так справедливо следующее утверждение.

Теорема (об ортогонализации). Пусть u1, u2, ..., un линейно независимая система векторов в пространстве X с веденным на нем скалярным произведением. Тогда в X существует система векторов v1, v2, ..., vn удовлетворяющая следующим условиям:

1)система v1, v2, ..., vn ортонормированна;

2)каждый элемент vk (k = 1, 2, ..., n) есть линейная комбинация элементов u1, u2, ..., uk:

vk = αk1u1 + αk2u2 + ... + αkkuk

причем αkk 6= 0;

3) каждый элемент uk (k = 1, 2, ..., n) представим в виде:

uk = βk1v1 + βk2v2 + ... + βkkvk

	причем βkk 6= 0.
	Доказательство. Положим	u1
	v1 =
		||u1	||

и предположим, что элементы v1, v2, ..., vk−1 уже построены. Для нахождения vk выберем числа a1, ..., ak−1 так, чтобы вектор

k−1

X

w = uk − aivi

i=1

был ортогонален каждому из векторов v1, v2, ..., vk−1. Легко видеть, что

ai = (vi, uk), i = 1, 2, ..., k − 1.

	В силу линейной независимости системы векторов u1, u2, ..., uk замечаем, что ||w|| 6= 0 è íàì
	остается положить	w
	vk =		.
		||w||

Данный процесс называется процессом ортогонализации.

Выбрав в n мерном евклидовом (унитарном) пространстве X ортонормированный базис e1, e2, ..., en, можно каждый элемент записать в виде

n

X

x = ciei,

i=1

30