52. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.

Проверяя гипотезы (Г.) с помощью стат. критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) Г. H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие А; 2) Г. H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие А; 3) ) Г. H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие В; 4) Г. H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии Г. H₀, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H₀, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа α_i = α_i(δ) = P_i(δ(X)≠ H_i), характеризующие вер. отвержения Г. H_i, когда она верна, называют вер-ми ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вер. α_i(δ) ошибочных решений хар-ся кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда Г. H₀ принимается, ибо она верна, и когда Г. H₀ отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода. Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной Г.. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α₁(δ) была возможно большей: P (X] x₁; x₂[|H₁) = max. Мощностью критерия δ называется вер. 1 – α₁(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вер. принятия неверной Г.

17. Независимые испытания. Формула Бернулли

При решении вероятностн. задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некотор. соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n испытаний, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вероятность события в кажд. отдельн. испытании постоянна, т.е. не меняется от испытания к испытанию. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n испытаниях. Подобн. задачи решаются довольно легко, если испытания явл. независимыми. Опред.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независим. опыты. Производится n независим. опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некотор. соб.А. Вер. появл. данного события в кажд. опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведен. событий, состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А или n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m …. Каждое произведен. соб. А должно происходить m раз, аn-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно, т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умножен. для независ. событий равна. Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой