- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •9.Понятие вероятностного пространства
- •12.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •14.Вер. Появления хотя бы одного события
- •15.Формула полной вероятности
- •16.Формула Байеса
- •18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •19.Формула Пуассона
- •22.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •23.Функция распр. Св и ее свойства
- •24. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •25. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •29.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •30. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •35. Показательное распределение.
- •38. Понятие закона больших чисел.
- •39. Неравенство Чебышева.
- •40. Теорема Чебышева.
- •45. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •46. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •48. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •50. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •51. Критерии проверки статистических гипотез.
- •52. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
- •17. Независимые испытания. Формула Бернулли
29.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
Начальным моментом к-того порядка СВ Х называется мат. ожидание(м.о.) к-той степени этой вел-ны. Начальн. момент обозначается =M(X)k. Центральным моментом к-того порядка СВ Х назыв. м.о. к-той степени отклонения СВ Х от ее м.о., т.е. = (X – M(X))k. Для ДСВ и НСВ формулы для вычисления моментов приведены в таблице:
Моменты |
ДСВ |
НСВ |
Начальный |
, где f(x) – ф-ция плотности распр. | |
Цент Ральн. |
При к=1 ; при к=2. Центр. моментымогут быть выражены через нач. моментыпо формулам:;;. м.о. или нач. момент 1-го порядка хар-ет ср. значение СВ.или дисперсия хар-ет степень рассеивания распр. СВ Х отн-но м.о.M(X). служит для хар-ки ассиметрии или скошенности распр. Он имеет размерность куба СВ. Чтобы получить безразмерную вел-ну, ее делят на, где - среднеквадратич. отклонение. Коэфф ассиметриислужит для хар-ки крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распр. Эти св-ва описываются с помощью эксцесса.
30. Биномиальный закон распределения.
Пусть проводится n независим. испытаний, в кажд. из которых соб. А может появиться, либо не появиться. Вер. появл. соб. А в единичном испытании постоянна и не меняется от исп. к исп.. Рассмотрим в кач-ве ДСВ Х число появлений соб. А в этих исп. Формула, позволяющая найти вер. появления m раз соб. А в n испытаниях – это форм. Бернулли. Опр.: ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. Pn(m)=P(X=m)=pmqn-m, где p+q=1, p>0, q>0, m=называется распределенной по биномиальному закону, аp – параметром биномиальн. распр. Ряд распр. ДСВ Х распределенной по биномиальному закону можно представить в виде:
X |
0 |
1 |
K |
n |
p |
|
Ф-цияраспр. в этом случае опр-ся формулойF(x)=. Найдем числовые хар-ки этого распр..M(X) = (рав-во 1) . Запишем рав-во, являющееся биномом Ньютона: (p+q)n= . Продифференцируем последнее рав-во поp: n(p+q)n-1= . Умножим последнее рав-во наp: np(p+q)n-1= . Сравнивая получен. рав-во с рав-вом (1), получаем, чтоnp(p+q)n-1 = M(X). Т.к. p+q=1, то M(X)= np. Для вычисления дисперсии ДСВ, распределенной по биномиальному закону, воспольз. формулой D(X)= M(X2) – (M(X))2. Для СВ распределенной по биномиальн. закону: M(X2) = . Продифференцируем рав-во (p+q)n = дважды поp. Получим n(n–1)(p+q)n—2= . Умножим последнее рав-во наp2 и преобразуем правую часть рав-ва: n(n – 1)(p+q)n —2 p2=—;n2p2 – np2 = M(X2) — ;n2p2 – np2 = M(X2) – M(X). Для ДСВ распределенной по биномиальн. закону M(X)= np, т.е. n2p2 – np2 = M(X2) – np; M(X2)= n2p2 – np2 + np; D(X)= n2p2 – np2 + np — n2p2 = np(1 – p) = npq. Значит дисперсия ДСВ распределенной по биномиальн. закону вычисляется по формуле: D(X) = npq. .
33. Закон Пуассона
ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. Pm = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с пар-ом распр. λ, где λ=np. В отличие от биномиального распр. здесь СВ может принимать бесконечное мн-во знач., представляющ. собой бесконечн. посл-сть целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной ср. интенсивностью, кот. хар-ся параметром λ=np. Ряд распр. закона Пуассона имеет вид:
X |
0 |
1 |
2 |
M |
… |
p |
e—λ |
λ e—λ |
(λ2 e—λ)/2! |
(λm e—λ)/m! |
… |
Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функциюex можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому eλ = = 1+ λ +λ2/2! + …+ λm/m! +… Тогда =e—λ =e—λ eλ =1. Найдем м.о. и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = ===λeλ = λe—λ eλ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X2) – (M(X))2. M(X2) = =e—λ =e—λ =λ2 e—λ +λ e—λ =λ2 e—λ eλ + λ e—λ eλ = λ2 +λ. Тогда D(X) = λ2 +λ — λ2 = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распр. λ.