Понятие о фрактальной размерности.

Ломанной линии:

N– количество отрезков, размерома.

D – «степень изгибания»

N=(1/a)D; S=N*a ; S=(1/a)D-1

Кривая Коха

1) L=1

2) N=4L=1/3S(4)=4/3

3. N=16 L=1/9S(16)=16/9

Фрактальная размерность:

D=lg4 /lg3=1.26…

Фрактальная размерность множества

Объем фрактала в своем пространстве вложениявсегда равен нулю. Он, однако, может быть отличен от нуля в пространстве меньшей размерности. Чтобы определить размерность этого пространстваD, разобьем всеn-мерное пространство на малые кубики с длиной ребраεи объемомεⁿ— рис.1. ПустьN(ε) — минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению

(1)

Эту величину обычно называют хаусдорфовойилифрактальнойразмерностью.

Рис. 1.Как найти фрактальную размерность?

Существование этого предела означает конечность объема фрактала в D-мерном пространстве: при маломε

N(ε)≈Vε^–^D,

(2)

где V=const. Таким образом,N(ε) есть не что иное, как числоD-мерных кубиков, покрывающих вD-мерном пространстве объемV. Поскольку покрывающие фракталn-мерные кубики могут оказаться почти пустыми

D<n

(3)

и в отличие от привычной размерности Dможет быть дробной величиной, каковой она чаще всего и является для фрактальных множеств.

Очевидно, что для обычных множеств это определение приводит к хорошо известным результатам. Так для множества Nизолированных точек имеемN(ε) =Nи поэтому

(4)

Для отрезка достаточно гладкой линии длины L:N(ε) =L/εи поэтомуD= 1. Для площадкиSдвумерной поверхности:N(ε) =S/ε²иD= 2 и т.д..

Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.

3. Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность срединного треугольника. На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество — треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму:

1. Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

2. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трёх вершин треугольника.

3. Отметить текущую позицию.

4. Повторить с шага 2.

Свойства

• Треугольник Серпинского замкнут.

• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.

• имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность. В частности,

  • имеет нулевую меру Лебега.

• Треугольник Серпинского получается из Треугольника Паскалярассмотрением чётных чисел как точек, принадлежащих треугольнику Серпинского и нечётных - как не принадлежащих.

64