- •Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Схема вычислительного эксперимента.
- •Виды погрешностей.
- •Операции над множествами
- •Бинарное отношение
- •Свойства отношений
- •Примеры отношений эквивалентности
- •Эйлеровы графы.
- •5 Красок
- •Алгоритмы на графах.
- •Задача о кратчайших путях
- •Различные алгоритмы на графах
- •Перебор с возвратами
- •Методы сокращения перебора: эвристики, метод ветвей и границ, динамическое программирование.
- •Моделирование фрактальных объектов.
- •Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
- •Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
- •Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
- •Фракталы в комплексной динамике
- •Стохастические фракталы
- •Применение фракталов
- •Конструктивные, алгебраические и стохастические фракталы.
- •Понятие о фрактальной размерности.
- •Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.
- •Треугольник Серпинского
- •Построение
- •Свойства
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движенияна плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движенияна плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантныефрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделяхстатистической механики, например вмодели Изингаиперколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма— пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала.
Применение фракталов
Компьютерная графика. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее
Анализ рынков. Последнее время Фракталы стали популярны у «трейдеров» для анализа курсафондовых бирж,валютныхиторговых рынков.
Физика и другие естественные науки. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, кактурбулентноетечение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Литература. Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста
неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)
В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна
венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»)
Т.Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём)
В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому
Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х.Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж.Перек «Кунсткамера»
Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектированииантенных устройствбыло впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал изалюминиевойфольги фигуру в формекривой Кохаи наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил кприёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
Сжатие изображений. Существуюталгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.
Децентрализованные сети. Система назначения IP-адресов в сетиNetsukukuиспользует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сетиNetsukukuхранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачиIP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.