При этом все значения констант интегрирования определяются не отдельно для u0 (x) и u1(x) , а для составного решения. Таким образом, в примере 2 в качестве

составного решения имеем:

		x
uc (x) = c exp	−			+ x; uc (0)	=1
		ε

					x
и, следовательно,		uc (x) = exp −				+ x.
					ε
Отклонение возмущенного решения от составного имеет вид
max		uε (x) −uc (x)		= ε max				exp(−x /ε) −1		= ε = 0 при ε → 0
[0,1]					[0,1]

1.3. Рациональные и иррациональные приближения

Рассмотренные решения возмущенной задачи являются строго математиче-

скими представлениями, которые могут быть записаны в виде разложения по ма-

лому параметру

u ε ( x ) = ∑ u i ε i .

i

Такие разложения называются рациональными. В газовой динамике в них в ка-

честве малого параметра могут быть отклонения параметров по некоторому на-

правлению: число Маха М при малых скоростях, M 2 −1 при трансзвуковых ско-

ростях, 1 при гиперзвуковых скоростях, при больших числах Рейнольдса Re в

M

турбулентном течении 1 и т.д.. Однако в прикладной газовой динамике часто

Re

используют приближения, которые не становятся точными ни при каком предель21

ном переходе, такие приближения называют - иррациональными приближениями

[3]. К таким приближениям можно отнести: замену пространственной геометрии самолета некоторой плоскостной конфигурацией при определении подъемной си-

лы, применение теории скачков уплотнения - волн разрежения для определения аэродинамических характеристик при гиперзвуковых скоростях полета и т.д.

1.4Численные методы - пример рациональных приближений

Впоследнее время широкое распространение получили численные методы реше-

ния задач в газовой динамике. Фактически такой подход означает применение ра-

ционального приближения к рассматриваемой модели путем введения возмущения с малым параметром. В подтверждение сказанного рассмотрим решение обыкно-

венного дифференциального уравнения для скалярной функции. Пусть в области x ≥ 0 имеем задачу отыскания решения "u" уравнения

	du		′
	dx = F(x,u)
			(2.1 )
с граничным условием
	u(0) = u0 ,		′′
			(1.1 )
где F(x,u) - непрерывно дифференцируемая по "u" функция.

Численное решение задачи состоит в замене приближенным оператором Luh

точного дифференциального оператора и решения задачи

Lu	h	= F		(x	h	,u		h	)	′
										(1.2 )
с граничным условием
	u	h	(0)			h	,			′′
				= u0						(1.2 )

22

где индекс h означает численное значение. Решение ищется в некоторых точках пространства, называемых точками сетки, расположенных с шагом h по координа-

те X. При решении вместо X, U(x), F(x,u) рассматриваются значения функции в точках сетки, т.е. решение ищется на множестве сеточных функций: xk ,uk , Fk .

Рассмотрим согласованность задачи (1.2) и задачи (1.1). Пусть уравнение (1.2')

с оператором Lu имеет вид

	uk +1 −uk	= F(xk ,uk ) .	(1.3)
	h

Представляя решение uk в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности точ-

ки xk и, подставляя в (1.3), получим :
	du	k	+	1 d 2u			k	h +... = F(xk ,uk ) .	(1.4)
	dx
				2 dx2

Из сравнения (1.4) и (1.1) видно, что в задаче (1.2) уравнение является возмущен-

ным по отношению к уравнению в задаче (1.1). Второй член (1.4), имеющий смысл возмущения, называется схемной вязкостью или первым дифференциальным при-

ближением по отношению к задаче (1.1).

Оператор Luh может быть составлен так, что возмущение точной задачи (1.1) бу-

дет иметь порядок O(h p ), где р ≥ 2 Показатель p имеет название порядка аппрок-

симации. Однако для решения поставленной задачи согласованности уравнений еще не достаточно. Необходимо потребовать, чтобы постановка задачи (1.2) была корректной, т.е., малые отклонения в граничных условиях или другие малые воз-

мущения не должны приводить к большим отклонениям в решении задачи.

23

1.5 Пример исследования двумерного течения в плоском канале

Рассмотрим более сложный пример приближенного решения задачи о течении в плоском канале с прямолинейными стенками, показанном на рис. 1.2.

Рис.1.2

Пусть на стенке (y=0) выполняются условия прилипания (V x = V y = 0 ) , при y=1 течение удовлетворяет условию V x = V ( x ) . Значение V y в канале за счет

толщины вытеснения у стенки канала и других причин вообще говоря не равно ну-

	лю V y = ε10 ( x) . Принимаем, что V y			имеет среднюю величину
					1
					ε1 = ∫Vy dy .
					0
	Примем также, что ε1	и ε =		1	мало. Уравнения движения газа, уравнение
			Re

сохранения массы и энергии в этих переменных имеют вид:

∂V

∂V

1 ∂P

∂

2V

∂ 2V

ε

∂

2V

∂ 2Vy

V

x

x

+V

y

x

= −

+ε

2

x +

2

x

+

2

x

+

∂x

∂y

ρ ∂x

∂x

∂y

3

∂x

∂y∂x

∂Vy

∂Vy

1

∂

2

2

ε

∂

2

2

V

+V

= −

∂P

+ε

Vy

+

∂ Vy

+

Vx +

∂ Vy

x

y

∂x

∂y

ρ ∂y

∂x2

∂y2

3

∂x∂y

∂y2

(1.5)

∂ρV

x

+

∂ρVy

=

0

∂x

∂y

∂V

∂Vy

∂P

∂P

x

+

+Vx ∂x +Vy ∂y = 0

∂y

γP

∂x

24

1 ∂P

ρ ∂y

= 0

Здесь Vx ,Vy соответственно составляющие скорости вдоль оси X и Y, P - давление,

ρ - плотность, γ - показатель адиабаты. Построим составные решения. Уравнения

для внешнего решения:

V ∂Vxx ∂x

0 = − A0 :

∂ρVx

∂x∂VγP ∂ xx

=− 1 ∂P

ρ∂x

+Vx ∂∂Px = 0

					V 2
	Из первого уравнения и третьего имеем:			ρ	x	+ P = const , из второго - P=P(x), из
					2
	третьего - ρVx = const , из последнего - γ			∂ lnVx0			+ ∂ ln p = 0 . Откуда vγx 0 p = const
					∂x		∂x
	или	P	= const , т.е. внешнее решение представляет собой решение невязкого од-
		ργ

номерного течения. Так как из первого и третьего уравнений const Vx 0 + P = const ,

а из четвертого Vxγ0 P = const , то Vx0 = const .

Для определения внутреннего решения введем Y=y/ε, подставим в (1.5) и от-

бросим члены, содержащие ε:

ε

1

∂Vx1

=

∂ 2Vx1

∂Y

∂Y 2

ε

1

∂ε1

= −

1

∂P + 2 ∂ 2ε1

A

∂Y

ρ ∂Y

∂Y 2

:

ε

∂ρε

∂Y1 = 0

∂ε1

∂P

+ε1

= 0

γP

∂Y

∂Y

25