- •Глава 1. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
- •1.1 Основные символы оценок
- •1.2 Регулярные и сингулярные возмущения
- •1.3. Рациональные и иррациональные приближения
- •1.4 Численные методы - пример рациональных приближений
- •1.5 Пример исследования двумерного течения в плоском канале
- •Литература
- •2.1 Применение осредненных уравнений
- •2.2. Использование подобия в гидрогазодинамике
- •2.3 Обтекание тонких тел потенциальным потоком
- •Литература
- •Глава 3. РАЗРЫВЫ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ.
- •3.1 Поверхности разрыва.
- •3.2 Прямой скачок уплотнения.
- •3.3 Косой скачок уплотнения.
- •3.4 Поворот потока на скачке уплотнения.
- •Литература
- •Глава 4. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
- •4.1 Уравнения течения газа в одномерных каналах
- •4.2 Основные формулы изоэнтропического течения.
- •4.3 Поток в канале переменного сечения.
- •4.4 Движение с подогревом газа.
- •Литература
- •Глава 5. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
- •5.1 Уравнения движения
- •5.2 Инварианты Римана. Волны в газе
- •5.3 Элементарная теория ударной трубы
- •5.4 Метод характеристик
- •Литература
- •6.1 Характеристики в плоском сверхзвуковом течении
- •6.2 Метод характеристик
- •6.3 Обтекание сверхзвуковым равномерным потоком выпуклого угла
- •Литература
- •7.2 Метод Ньютона.
- •Литература
11.Колесников Г.А. Аэродинамика летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1993.
12.Бондарев Е.Н., Дубов В.Г., Рыжов Ю.А. и др. Аэрогидромехани-ка. -М.: Машиностроение, 1993.
13.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров.-М.: Мир, 1985.
14.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:
Наука, 1973.
Глава 3. РАЗРЫВЫ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ.
3.1 Поверхности разрыва.
Уравнения газовой динамики нелинейные и допускают существование разрывных решений. В природе, действительно, существуют поверхности на границе двух различных сред, так называемые контактные разрывы и ударные волны, возник-
шие как следствие накопления малых возмущений. На самом деле толщина разры-
вов конечна и для обычных условий движения газа составляет 1 - 2 свободных пробега молекул, где происходит сложный неравновесный процесс. Однако, часто эта толщина ничтожно мала по отношению к характерному размеру задачи и мо-
жет разрыв быть моделирован линией. Существующую связь между параметрами потока по разные стороны разрыва удобно пояснить на примере одномерного те-
чения в прямоугольном канале, по которому равномерно движется разрыв. Для удобства рассмотрим течение в системе координат, связанной с движущимся раз-
рывом. Течение считаем установившимся и невязким. Пусть по одну сторону раз42
рыва скорость (v), плотность (ρ), давление (p) обозначены индексом "1", по другую
- индексом "2". Разность значений какой - либо величины с обеих сторон поверх-
ности разрыва будем обозначать посредством квадратных скобок. Тогда, из зако-
нов сохранения в интегральной форме на разрыве для уравнения сохранения мас-
сы, сохранения количества движения и энергии имеем:
[ρv] = ρ1v1 − ρ2v2 = 0, |
|
||
[ p + ρv2 ] = 0, |
(3.1) |
||
[ρv( |
v2 |
+ h)] = 0, |
|
2 |
|
||
|
|
|
где h- энтальпия в потоке газа.
В случае контактного разрыва отсутствует перетекание через границу [v]. То-
гда первое и последнее уравнения в (3.1) удовлетворяется автоматически, второе уравнение удовлетворяется при [p] = 0. При этом [ρ] и [h] произвольны.
В более общей форме условия на контактном разрыве имеют вид:
[v]=0, [ρ]=0. (3.2)
Справедливость этой формы проверяется прямой подстановкой в (3.1).
При [v] ≠ 0 на границе имеем разрыв с рядом газодинамических свойств, кото-
рые позволяют определить его как скачок уплотнения или ударная волна. Разрыв,
перпендикулярный к направлению потока, называется прямым скачком.
43
3.2 Прямой скачок уплотнения.
Рассмотрим течение через элемент границы прямого скачка (рис.3.1).
Рис.3.1
В окрестности границы на основании (3.1) справедливы уравнения
|
|
|
|
a)ρ1v1 = ρ2v2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b)p + ρ v2 |
= p |
2 |
+ ρ |
v2 |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
v2 |
|
|
γ |
|
|
|
p |
|
v2 |
|
|
γ |
|
|
p |
2 |
|
|
c) |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
1 |
= |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
γ −1 ρ |
2 |
γ −1 |
ρ |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение Рэнкина - Гюгонио. Оно устанавливает связь перепада давления и плотности на скачке. Исключим из уравнений скорость. Для этого из уравнения b)
с учетом a) [ p] = −ρ1v1[v]. Умножим левую и правую части на вспомогательное выражение:
v2 + v1 |
|
v2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
+ |
|
|
= |
|
+ |
|
|
. Отсюда [ p] |
|
|
+ |
|
|
|
= −[v |
|
]. Величину [v |
|
] ис- |
ρ v |
ρ v |
ρ |
1 |
p |
ρ |
2 |
ρ |
1 |
ρ |
2 |
|
|
||||||||||
1 1 |
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ключим с помощью уравнения c). Окончательно имеем:
p2 |
|
(γ + 1) |
ρ2 |
|
− (γ − 1) |
|
|
(γ |
+ 1) |
p2 |
− (γ −1) |
|
||||||
|
ρ1 |
ρ2 |
|
p1 |
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
или |
= |
|
|
|
|
. |
(3.3). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p1 |
|
(γ + 1) |
− (γ |
− 1) |
ρ2 |
|
|
ρ1 |
|
(γ |
+ 1) − (γ −1) |
p2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ρ1 |
|
p1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
44
Эти соотношения называются соотношениями Рэнкина - Гюгонио. К соотно-
шениям Рэнкина - Гюгонио относят также
[ p] |
= γ |
µp |
, где |
µf = |
f1 + f2 |
(3.4) |
|
[ρ] |
µρ |
2 |
|||||
|
|
|
|
Соотношения (3.3) , (3.4) называют еще ударной адиабатой. Она отличается от
адиабаты Пуассона,
|
p2 |
|
|
ρ2 |
γ |
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
|||
p |
ρ |
||||||
|
|
= |
. |
||||
|
1 |
п |
|
1 |
|
|
имеющей место при изоэнтропическом течении Сравнение этих кривых показано на рис.3.2. Из соотношений (3.3) и рис.3.2 видно, что ударная адиабата имеет
асимптоту при |
ρ2 |
= |
γ |
+ 1 |
, идет круче адиабаты Пуассона, и совпадает с послед- |
|
ρ1 |
γ |
−1 |
||||
|
|
|
ней при ρ2 =1.
ρ1
Рис.3.2
45
Как следует из рисунка, при ρ2 <1 ударная адиабата проходит ниже адиабаты
ρ1
Пуассона и пересекает ось ординат в точке |
|
0,−γ |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
, это означает существование |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
скачка разрежения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
S −S |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||
Из уравнений термодинамики на скачке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
v |
, откуда |
|
|
|||||||
|
p |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
γ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(3.6), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
S2 − S1 = Cv ln p |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или, если воспользоваться соотношением (2.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S2 − S1 = Cv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ln |
p / |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
п |
|
|
|
|
|
|||||||
Из последнего соотношения и рис.3.2 непосредственно следует, что при |
ρ2 |
>1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
[S] > 0, а при |
ρ2 |
<1 [S] < 0. Но последнее противоречит второму закону термоди- |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
намики, следовательно, скачки разрежения считаются невозможными. Т.е. при пе-
реходе через ударную волну
|
ρ2 |
≥1 . |
……………………(3.7). |
|
|
||
|
ρ1 |
|
|
Определим изменение скорости при переходе через скачок. Из уравнения со- |
|||
хранения массы (a)) и (3.7) получим |
|
||
v2 ≤ v1 . |
(3.8). |
46
Из уравнения сохранения количества движения (b)) и a) имеем
|
p |
|
|
|
[v] = − |
. |
(3.9). |
||
|
||||
|
ρv |
|
Выразим величину
a2 |
|
= |
|
γ p |
= |
γ +1 |
a2 |
− v2 |
, |
(3.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
γ − |
1 |
γ −1 ρ |
|
|||||||||
|
|
2(γ −1) * |
2 |
|
|
где a* - критическая скорость звука, определяемая из уравнения Бернулли при ус-
ловии, когда скорость потока совпадает со скоростью звука. С помощью (3.10) ис-
ключим из (3.9) величину |
p |
и учитывая, что на скачке [v] ≠ 0, имеем очень важное |
|||||||||
ρ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
v1v2 |
|
=1 или λ λ |
2 |
=1, |
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a*2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где λ = |
v |
. Отсюда, если λ1 >1, то λ2 |
<1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
a* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения Бернулли, получим связь относительной скорости λ и числа Маха М
λ = |
γ +1 |
|
|
M |
= |
γ +1 |
M |
, |
(3.12) |
|
2 |
1 + |
|
γ −1 |
M 2 |
2 |
τ (M ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где использовано обозначение τ (M ) |
= 1 + |
γ −1 |
M 2 . Согласно (3.11) и (3.12) |
|
|||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ1λ2 = |
γ + 1 |
M 1 |
|
|
M 2 |
= 1 , |
|
|
|
2 |
τ (M 1 ) |
τ (M 2 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
откуда число Маха за скачком определяется как
47
M 2 = |
τ (M 1 ) |
. |
(3.13) |
||||
γM 12 |
− |
γ −1 |
|||||
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
При переходе через скачок число Маха убывает. Причем, как следует из (3.13), при
M1 →1 M 2 →1; при M 1 →∞ M 2 → |
γ − 1 . |
|
2γ |
Изменение плотности при переходе через скачок определим, используя фор-
мулы а), (3.6), (3.12)
∆ρ |
|
ρ |
2 |
− ρ |
1 |
|
v |
1 |
|
v 2 |
− 1 = λ12 − 1 = |
|
|
|
M 2 |
− 1 |
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
= |
|
−1 = |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
(3.14) |
|||||
ρ1 |
|
|
ρ1 |
|
v2 |
a*2 |
γ + 1 |
|
γ − |
1 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
2 |
|
(M 1 |
− 1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение давления при переходе через скачок определим используя формулы а), b), (3.11),(3.12)
∆p |
|
p |
2 |
− p |
|
ρ v2 |
− ρ |
2 |
v2 |
|
ρ v |
2 |
|
|
v |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2γ |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 1 |
|
2 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
− |
|
|
=γM1 |
1 |
− |
|
|
== |
|
(M1 |
−1) . (3.15) |
|
|
|
p |
|
p |
|
|
p |
|
v |
λ2 |
γ +1 |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Изменение температуры при переходе через скачок определяется из уравне-
ния Клапейрона, (3.14) и (3.15)
|
∆T |
|
T |
|
|
p |
|
ρ |
|
|
|
∆p |
+1 |
|
|
|
2(γ −1) |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
(M 12 |
−1)(1 + γM 12 ) . (3.16) |
||||||
. |
|
= |
|
|
−1 = |
|
|
−1 = |
|
1 |
|
|
−1 = |
|
|
|||||
T1 |
|
T1 |
p1 ρ2 |
|
∆ρ |
+1 |
(γ |
+1)2 M 12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Изменение скорости звука на скачке определяется соотношением |
∆a |
= |
a2 |
−1 = |
T2 |
−1 = |
∆T |
+1 −1 . |
(3.17) |
||
a |
1 |
|
a |
1 |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
48