Д д преобразование фурье

Дискретное двумерное преобразование Фурье матрицы отсчетов изображения определяется в виде ряда

, (1а)

где i – мнимая единица , а дискретное обратное преобразование имеет вид

. (1б)

По аналогии с терминологией непрерывного преобразования Фурье переменные и, v называют пространственными частотами. Следует отметить, что не все исследователи пользуются опреде­лением (6); одни предпочитают помещать все масштабные постоянные в выражение для обратного преобразования, а другие изменяют знаки в ядрах на противоположные.

Поскольку ядра преобразования симметричны и разделимы, двумерное преобразование можно выполнить в виде последова­тельных одномерных преобразований по строкам и столбцам матрицы изображения. Базисными функциями преобразования являются экспоненты с комплексными показателями, которые можно разложить на синусную и косинусную составляющие. Таким образом,

(2а,б)

На рис. 1 приведены графики синусных и косинусных со­ставляющих одномерных базисных функций преобразования Фурье для N=16. Видно, что для низких частот эти функции являются грубыми аппроксимациями непрерывных синусоид. С повышением частоты сходство базисных функций с синусоидами теряется. Для наивысшей частоты базисная функция представляет собой меандр. Можно заметить также избыточность наборов синусных и косинусных составляющих.

Рис.1. Базисные функции преобразования Фурье.

Спектр изображения имеет много интересных структурных особенностей.

Спектральная составляющая в начале координат частотной плоскости равна увеличенному в N раз среднему (по исходной плоскости) значению яркости изображения.

Двумерный спектр Фурье изображения является по существу представлением двумерного поля в виде ряда Фурье. Для того чтобы такое представление было справедливым, исходное изоб­ражение также должно обладать периодической структурой, т. е. (как показано на рис. 2,б) иметь рисунок, повторяющийся по вертикали и горизонтали.

Таким образом, правый край изображения примыкает к левому, а верхний край — к нижнему.

Рис. 2. Периодическое продолжение изображения и спектра Фурье. а — спектр; б  исходное изображение.

Из-за разрывов значений яркости в этих местах в спектре изоб­ражения возникают дополнительные составляющие, лежащие на координатных осях частотной плоскости. Эти составляющие не связаны со значениями яркости внутренних точек изображения, но они необходимы для воспроизведения его резких границ.

Если массив отсчетов изображения описывает поле яркости, то числа F(j, k) будут действительными и положительными. Однако спектр Фурье этого изображения в общем случае имеет комплексные значения. Поскольку спектр содержит 2N² ком­понент, представляющих действительную и мнимую части или фазу и модуль спектральных составляющих для каждой частоты, может показаться, что преобразование Фурье увеличивает раз­мерность изображения. Это, однако, не так, поскольку обладает симметрией относительно комплексного сопряжения.

Хотя преобразование Фурье имеет много полезных для ана­лиза свойств, у него есть и два существенных недостатка: во-первых, все вычисления приходится производить не с действи­тельными, а с комплексными числами и,

во-вторых, ряды схо­дятся медленно.

Последнее замечание, весьма существенное для задач кодирования изображений.

Лекция 14

Косинусное и синусное преобразование. Преобразование Адамара. Преобразование Хаара. Преобразование Карунена-Лоэва.

КОСИНУСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Известно, что ряд Фурье для любой непрерывной действи­тельной и симметричной (четной) функции содержит только дей­ствительные коэффициенты, соответствующие косинусным членамряда. В соответствующей интерпретации этот результат можнораспространить и на дискретное преобразование Фурье изобра­жений. Существуют два способа получения симметричных изображений.

Согласно первому из них, к изображе­нию вплотную пристраивают его зеркальные отражения. По второму методу оригинал и отражения пристраивают, налагая край­ние элементы. Таким образом, из первоначального массива, содержащего NN элементов, в первом случае (называемом чет­ным косинусным преобразованием) получается массив из 2N2N элементов, а во втором случае (называемом нечетным косинусным преобразованием)  массив из (2N-1)(2N-1) элементов.

Рис. 3. Построение симметричного изображения, предназначенного для ко­синусного преобразования.

а  отражение относительно края: б  отражение относительно крайних элементов.