Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

5.16. Звучащий камертон находится вблизи краев высокого сосуда, доверху наполненного водой. При медленном вытекании воды, когда ее уровень понизился на ∆l1, звучание камертона максимально усилилось. На какую величину ∆l2 должен еще понизиться уровень, чтобы звучание камертона вновь достигло максимума? Какова скорость звука в условиях эксперимента, если частота колебаний камертона ν?

6. Переменный ток

Электрический ток, направление и (или) сила которого изменя-

ются, называют переменным током.

Мгновенные значения характеристик переменного тока, в частности, силы тока i(t) и напряжения u(t), изменяющиеся со временем, обозначаются обычно строчными буквами.

Основные законы постоянного тока справедливы для мгновенных значений его характеристик:

закон Ома для однородного участка цепи u(t) = i(t) R;

мгновенная мощность тока р(t), выделяемая на однородном участке цепи

р(t) = i(t) u(t).

Переменный ток проще получать и удобнее передавать потребителю, поэтому такой ток гораздо шире используется в быту и на производстве.

Переменный ток, который мы используем, представляет собой гармонические колебания силы тока i(t) и напряжения u(t):

i(t) = Im cos(ωt +φ1), u(t) = Um cos(ωt +φ2).

Здесь Im, Um – амплитуды силы тока и напряжения, i, u – мгновенные значения силы тока и напряжения, φ1 и φ2 – соответствующие начальные фазы, ω = 2πν – частота колебаний.

Стандартная частота тока в России ν = 50 Гц.

Принцип получения переменного тока, лежащий в основе действия большинства электрогенераторов, основан на явлении электромагнитной индукции:при изменении магнитного потока через поверхность, охватываемую замкнутым проводящим контуром, в контуре возникает электрический ток.

31

Рис. 6.1

n α

S

Магнитный поток Ф (поток вектора магнитной индукции B )

Ф = В S cos α,

где S – площадь поверхности, охватываемой контуром, α – угол между вектором B и перпендикуляром

B(нормалью) к поверхности (рис. 6.1).

Вслучае, если хотя бы одна из трех ве-

личин В, S или cos α изменяется со временем, возникает ЭДС индукции.

Закон электромагнитной индукции

можно записать в виде:

εi = − ddtΦ ,

где εi – ЭДС, возникающая в контуре. Знак "−" связан с направлением действия ЭДС.

Если замкнутая проводящая рамка вращается вокруг оси в магнитном поле с постоянной угловой скоростью ω, то магнитный поток изменяется со временем как

Ф = ВS cos α(t) = ВS cos (ωt + α0).

Согласно закону электромагнитной индукции в рамке возникает ЭДС индукции

εi = ВSωsin (ωt + α0). Aмплитудное значение ЭДС

εm= ВSω.

Если рамка состоит из N одинаковых витков, то амплитудное значение ЭДС

εm= NВSω.

Для переменного тока для удобства некоторые характеристики усредняют по времени, и тогда соотношения между ними совпадают с аналогичными для постоянного тока. Примером являются понятия действующих значений силы тока и напряжения.

Действующим значением силы тока (напряжения) в цепи переменного тока называют такое значение силы тока (напряжения) в цепи постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется такое же количество теплоты за то же время, что и в цепи переменного тока.

32

Активным сопротивлением называют ту часть сопротивления цепи переменного тока, в которой происходит необратимое превращение электрической энергии в тепловую.

Для синусоидального переменного тока действующие значения силы тока I и напряжения U равны

I =	Im	,	U =	Um	,
2			2

где Im, Um – соответствующие амплитудные значения.

Примеры решения задач

Пример 6.1. Переменный ток в цепи меняется со временем по закону i(t) = Im sin(ωt + φ0). Через время t1 значение силы тока i1, через время t2 – сила тока i2. Найти фазу φ0, если частота колебаний ω известна.

Решение. Запишем выражения для токов i1, i2 согласно закону изменения тока:

i1 = Im sin(ωt1+ φ0); i2 = Im sin(ωt2+ φ0).

Раскроем синус суммы:

i1 = Im (sinωt1 cosφ0 + cosωt1 sinφ0); i2 = Im (sinωt2 cosφ0 + cosωt2 sinφ0).

Разделив эти равенства друг на друг, получим уравнение для φ0:

i

sin ωt

cos ϕ

0

+ cos ωt sin ϕ

0

1

=

1

1

,

i

sin ωt

cos ϕ

0

+ cos ωt

sin ϕ

0

откуда

2

1

1

ηsin ωt2

−sin ωt1

i1

tg φ0

=

;η =

.

cos ωt1 −ηcos ωt2

i2

Ответ: arctg

ηsin ωt2

−sin ωt1

.

cos ωt

−ηcos ωt

2

1

Пример 6.2. Сила тока в первом проводнике (рис. 6.2) меняется по закону i1 = I1m sin ωt, во втором проводнике – по закону i2 = I2m cos ωt, где I1m = 3 А, I2m = 4 А. Найти амплитуду силы тока в третьем проводнике I3m.

1 3

2 Рис. 6.2

33

Решение. Для переменного тока первое правило Кирхгофа – сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю – также справедливо для мгновенных значений:

i3 = i1 + i2.

Чтобы установить связь между амплитудами, проще всего воспользоваться методом векторных амплитуд.

	I 1m	Току	i1 сопоставим вектор амплитуды I 1m
		(рис. 6.3), току i2 сопоставим вектор ампли-
		туды	I 2 m . Вектор амплитуды суммарного
		тока I 3m находится по правилу сложения век-
	I 3m	торов. Так как разность фаз между токами i1
	I 2 m	и i2 равна π/2, соответствующий треугольник
		прямоугольный, то модуль I3m находится по
	Рис. 6.3
		теореме Пифагора.
	Ответ: I3m =	I12m +I22m = 5 А.

Пример 6.3. Вследствие невысоких качеств диода, используемого в схеме однополупериодного выпрямления синусоидального тока, текущий через диод ток изменяется по закону, изображенному на рис. 6.4. Найти действующее значение тока (в течение каж-

Рис. 6.4

дого полупериода ток является синусоидальным).

Решение. Согласно определению действующего значения силы тока, количество теплоты Q, выделяемое постоянным током I на

сопротивлении R за период Т, равно

Q = I 2RT.

Для рассматриваемого тока в течение первого полупериода вы-

	деляется тепло
	Q1 =	Im2	R	T	,
		2
	в течение второго полупериода –		2

34

	Q2	=	I m2		R	T		.
			9	2		2

Для синусоидального тока действующее значение силы тока за

полпериода такое же, как и за период,

Iд =

Im

.

2

Так как

Q = Q1 + Q2,

то

1

I

2

RT =

I

2

RT +

1

I

2

RT,

4

m

36

m

откуда получаем ответ.

Ответ: I =

5

Im .

18

Задачи для решения в классе и дома

6.1.Рамка площадью S = 400 см2 состоит из N = 100 витков провода и вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 мТл вокруг оси, перпендикулярной магнитному полю. Период вращения Т = 20 мс. Концы провода через скользящие контакты замкнуты на сопротивление R = 50 Oм. Чему равно максимальное значение силы тока Im?

6.2.Переменный ток возбуждается в рамке из N = 200 витков с площадью витка S = 300 см2 в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл. Опреде-

лить ЭДС индукции ε1 через t1 = 0,01 с после начала движения рамки из нейтрального положения. Амплитуда ЭДС εm=7,2 B.

6.3.Генератор переменного тока имеет на роторе шесть пар полюсов. Какой должна быть частота вращения ротора, чтобы генератор вырабатывал ток стандартной частоты?

6.4.Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, меняется с течением времени по закону u(t) = Um sin(ωt + φ0).

Через время t1 = Т/6 значение напряжения u1 = 10 B, через время t2 = T/3 напряжение и2 = 20 В. Найти амплитуду Um и фазу φ0, если Т − период колебаний.

6.5. Как известно, график зависимости ЭДС от времени при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле представляет собой синусоиду. Как изменится график, если частота вращения рамки удвоится?

35

Рис. 6.6

6.6.Через 1/п (п = 6) часть периода мгновенное значение ЭДС равно ε0

=50 В. Каково значение ЭДС ε1 при фазе φ = π/4 рад? ЭДС изменяется по закону косинуса, начальная фаза равна нулю.

6.7.Рамка имеет N = 200 витков площадью S = 300 см и вращается в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл. Определить периoд вращения Т, если максимальная ЭДС индукции εт = 14,4 B.

6.8.Квадратная рамка со стороной а, согнутая из медной проволоки диаметром d, помещена в однородное магнитное поле, линии индукции

Рис. 6.5

чение Im тока в рамке.

которого перпендикулярны к плоскости рамки, а сама индукция периодически изменяется во времени, как показано на рис. 6.5, с максимальным значением Вт и периодом Т. Определить максимальное зна-

Построить график зависимости тока в рамке от

времени.

6.9. Действующее значение напряжения в сети переменного тока U = 220 B. Какую часть периода горит включенная в сеть неоновая лампа, если она зажигается и гаснет при значении напряжения U0 =220 B.

6.10. График зависимости синусоидального тока, прошедшего однополупериодное выпрямление, от времени имеет вид, изображенный на рис. 6.6. Найти действующее значение силы тока I.

6.10. Найти действующее значение силы тока, меняющего по закону i(t) = Im |cos ωt|.

6.11. Найдите действующее значение напряжения генератора, вырабатывающего прямоугольные импульсы величиной U0, периодом Т и длительностью τ.

6.12. Найдите действующее значение U периодического импульсного напряжения, график которого приведен на рис. 6.7, если напряжение в течение первого импульса из-

	Рис. 6.7	меняется по закону U(t) = U0 t / τ.
		6.14.	Найдите действующее зна-

чение напряжения генератора, вырабатывающего треугольные импульсы

36

(пилообразное напряжение) с периодом Т, длительностью τ и амплитудой

U0 (рис. 6.8).

Рис. 6.8

6.15. Найдите действующее значение напряжения генератора, вырабатывающего пары прямоугольных импульсов с периодом Т, длительностью τ с различной амплитудой, как показано на рис. 6.9.

Рис. 6.9

6.16. Найдите действующее значение I силы тока, периодически изменяющегося по закону:

i = I0, 0 < t < T/8; 0, T/8 < t < T/2;

−I0, T/2 < t < 5T/8; 0, 3T/4 < t < T.

7.Активное сопротивление, индуктивность и емкость

вцепи переменного тока

	Активное сопротивление R (рис. 7.1). Если мгно-
	венное значение тока равно i(t) = Imcosωt, то мгно-
	венное значение напряжения согласно закону Ома
	u(t) = Ri(t) = RImcosωt.	R
	Таким образом, связь между амплитудами тока и
	напряжения		Рис. 7.1

Um = RIm,

а фазы тока и напряжения одинаковы.

Индуктивность L (рис. 7.2). Если мгновенное значение тока

i(t) = Imcosωt,

то мгновенное значение напряжения

37

L

Рис. 7.2

u(t) = −εs = Li'(t) = −ωLImsinωt = = ωLImcos(ωt + π/ 2).

Таким образом, связь между амплитудами тока и напряжения

Um = ωLIm ,

и напряжение опережает по фазе ток на π/ 2. Величина ХL = ωL называют индуктивным со-

противлением.

Емкость С (рис. 7.3). Если мгновенное значение тока

i(t) = Imcosωt,

то мгновенное значение напряжения

u(t) = q(t)/C = ωImC sin ωt = ωImC cos (ωt − π/ 2),

С(так как i(t) = q'(t),то q(t) = (Im /ω) sinωt, что прове-

ряется непосредственным вычислением).

Рис. 7.3	Таким образом, связь между амплитудами тока
	и напряжения	Im
	Um =		,
		ωC

и напряжение отстает по фазе от тока на π/ 2.

Величину ХС = 1/(ωС) называют емкостным сопротивлением.

Вместе индуктивное и емкостное сопротивления называют ре-

активным сопротивлением.

Последовательное соединение емкости, индуктивности и активного сопротивления в цепи переменного тока (рис. 7.4).Если

мгновенное значение тока

i(t) = Im cosωt,

то мгновенное значение на-

пряжения можно записать в

R

L

C

виде

u(t) = ZImcos(ωt + φ).

Cвязь между амплитудами то-

Рис. 7.4

ка и напряжения Um = ZIm, где

выражение

Z = R2 +(XL −XC )2 = R2 +[(ωL−1/ (ωC)]2

38

является полным сопротивлением данной цепи в случае переменного тока.

Разность фаз тока и напряжения

	φ = arctg	X L − XC	= arctg	ωL −1 / (ωC) .
		R
				R

Примеры решения задач

Пример 7.1. Конденсатор неизвестной емкости, катушка индуктивности L и резистор сопротивлением R подключены к источнику переменного тока с напряжением u(t) = Um cos ωt (см. рис. 7.4). Сила тока в цепи изменяется с течением времени по закону i(t) =

	=	U m	cos ωt. Определить амплитуду напряжения UmC на конденса-
		R

торе.

Решение. Заметим, что разность фаз между током и полным напряжением в цепи равна нулю. Это возможно, если ХL − ХС = ωL −

– 1/(ωС) = 0. Поэтому амплитуды напряжений на индуктивности и емкости равны между собой:

UmL = Im ХL = Im ХC = UmC.

Следовательно, UmC =			U m	ωL , так как Im =	U m	=	U m	, ХC = ХL =
			R		Z		R
= ωL.
	U m
Ответ: UmC =		ωL.
	R

Пример 7.2. К источнику переменного напряжения с действующим значением U = 1 В подключены последовательно катушка индуктивности L = 50 мГн и конденсатор емкостью С = 0,1 мФ. При каких значениях частоты ω действующее значение силы тока в цепи равно I = 1 мА?

Решение. Так как полное сопротивление цепи в этом случае

Z = ωL −ω1C ,

то нужно рассмотреть два случая:

39

1)ωL −ω1C > 0,

2)ωL −ω1C < 0.

Запишем закон Ома для амплитуд в первом случае:

U = I( ωL −ω1C ).

Преобразуя, получаем уравнение для частоты ω:

	ω2 −		U		ω −		1			= 0.
			I L				LC
Решение его
	U					4LI2
ω =		1+		1+						= 242 с−1.
						CU		2
	2I L

Уравнение для ω во втором случае имеет вид:

ω2 +

U

ω −

1

= 0.

I L

LC

а его решение

U

−1+ 1+

4LI2

−1

ω =

= 42 с

.

CU2

2I L

Ответ: ω = 42 с−1; 242 с−1.

Пример 7.3. В цепь переменного тока с частотой ν = 15 кГц и напряжением U =36 В включены последовательно резистор, катушка индуктивности и конденсатор. При заданной частоте ток в цепи максимален и равен I = 1,5 мА. Найти сопротивление резистора и напряжение на катушке индуктивности, если емкость конденсатора С = 0,01 мФ.

Решение. Ток I цепи будет максимален при минимальном полном сопротивлении Z согласно закону Ома для действующих значений:

	I =	U	=	U	.
		Z		R2 +[ωL −1/ (ωC)]2

40