Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

частично переходит в другую среду, изменяя направление распространения – преломляется (рис. 12.1).

Проведем перпендикуляр к границе раздела сред в точке падения луча и определим соответствующие углы.

Угол падения α – угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред, проведенным через точку падения луча.

Угол отражения α1 – угол между отраженным лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред, проведенным через точку падения луча.

Угол преломления β – угол между преломленным лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред, проведенным через точку падения луча.

Законы отражения:

1) падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела сред лежат в одной плоскости;

2) угол отражения равен углу падения.

Законы отражения распространяются и на случаи, когда вторая среда непрозрачна и возможно только отражение (плоское зеркало). Они позволяют сделать выводы о характере изображения в зеркале.

Изображением светящейся точки в оптической системе явля-

ется точка пересечения лучей (или их продолжений), вышедших из

оптической системы.
Изображение	называется	S
мнимым, если оно получается на				1
			2
пересечении продолжений лучей,
вышедших из оптической сис-		1		2
темы. В противном случае изо-

бражение является	действи-
тельным.
		А
Построение изображения све-
тящейся точки в плоском зеркале
показано на рис. 12.2. Из по-
строения следует: изображением		Рис. 12.2
светящейся точки S в плоском		S'
зеркале является точка	S', сим-

61

метрично расположенная относительно отражающей плоскости; это изображение является мнимым.

Примеры решения задач

Пример 12.1. Два плоских зеркала образуют двугранный угол φ = 179о. На расстоянии R = 10 см от линии соприкосновения зеркал и на одинаковом расстоянии от каждого зеркала находится точечный источник света. Определить минимальное расстояние r

между мнимыми изображениями источника в зеркалах.
	Решение. На рис. 12.3 изо-
	бражены точечный источник
	S, два плоских зеркала , рас-
	положенных под углом	φ
	друг к другу, изображения
	источников S' и S''.Так как
	изображения источников рас-
	положены симметрично	от-
	носительно зеркал, то SS' и
	SS'' перпендикулярны плос-
	костям соответствующих зер-
Рис. 12.3	кал и α = 180° − φ. Считая α

малым, SS' = SS'' = 2R, получим, что

S'S'' ≈ 2Rα = 2R(π − φ) = 2·0,1·3,14/180 = 3,5 см.

Ответ: r = 3,5 см.

Пример 12.2. В комнате длиной L = 4 м и высотой Н = 3 м висит плоское зеркало. Человек смотрит в него с расстояния d = 2,5 м и видит противоположную стену во всю высоту (рис. 12.4). На каком расстоянии х от пола находится зеркало, если рост человека h = 1,8 м?

Рис. 12.4

62

Решение. На рис. 12.4 изображено расположение предметов, пунктиром − изображения стен в зеркале. Из подобия треугольников

с катетами х и h следует, что hx = L +L d , откуда х = 1,85,53 = 0,98 м.

Ответ: х = 0,98 м.

Задачи для решения в классе и дома

12.1. Постройте изображение светящейся точки в плоском зеркале.

Рис. 12.5

Рис. 12.6

Рис. 12.7

Укажите область видимости этой точки (рис. 12.5).

12.2.Сколько изображений источника света можно наблюдать в системе, состоящей из двух взаимно перпендикулярных зеркал (рис. 12.6)?

12.3.Точечный источник света S и небольшой шарик, висящий на нити, находятся внутри прямого двугранного угла, образованного плоским зеркалом и белым экраном (рис. 12.7). Определить построением, сколько теневых изображений шарика можно наблюдать на экране.

12.4.Построить изображение предмета АВ, смещенного относительно зеркала. Указать область видения этого предмета и области частичного видения предмета (рис. 12.8).

Рис. 12.8	Рис. 12.9

12.5. Луч света, отраженный от плоского зеркала, падает перпендикулярно на плоский экран, удаленный на l = 3 м от зеркала (рис. 12.9). На какое расстояние L переместится световой зайчик на экране, если повернуть зеркало на угол φ = 20° вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала и перпендикулярной плоскости, в которой находятся падающий и отраженный лучи?

63

12.6.Высота Солнца над горизонтом составляет угол α = 38°. Под каким углом β к горизонту следует расположить зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального колодца?

12.7.Два зеркала наклонены друг к другу и образуют двугранный угол α. На них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру угла. Найти, на какой угол повернется луч после отражения от обоих зеркал.

12.8.С какой скоростью и приближается человек к своему изображе-

нию в зеркале, если по отношению к зеркалу он перемещается со скоростью υ под углом α

кего поверхности?

12.9.На какой высоте h находится аэростат А, если с башни высотой Н он виден под углом α над горизонтом, а его изображение в озере видно под углом β под горизонтом (рис.

Рис. 12.10 12.10)?

13. Преломление света. Полное отражение

Законы преломления:

1)падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела сред, проведенный через точку падения луча, лежат в одной плоскости;

2)отношение синуса угла падения к синусу угла преломления обратно пропорционально отношению абсолютных показателей

	преломления данных сред:	sin α	=	nβ	.
		sin β		n
				α

Абсолютный показатель преломления n показывает, во сколько раз скорость света в данной среде υ меньше, чем скорость c в вакууме: n = c/υ.

βвоздух

вода

α α1

Рис. 13.1

Иногда абсолютный показатель преломления называют оптической плотностью среды.

При переходе светового луча из оптически более плотной среды (вода) в оптически менее плотную среду (воздух) угол преломления β больше угла падения α (рис. 13.1). Если уве-

64

личивать угол падения, то угол преломления β будет увеличиваться еще быстрее, яркость преломленного луча будет уменьшаться, а яркость отраженного – возрастать.

Если угол преломления становится равным 90º, яркость отраженного луча будет практически равна яркости падающего, а преломленный луч исчезнет вовсе. То же самое сохранится при увеличении угла падения.

Полное (внутреннее) отражение − это явление, когда при пере-

ходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду под углом падения α, большим некоторого α0, свет в оптически менее плотную среду не переходит и полностью отражается от границы раздела, как от зеркала.

Угол падения α0 называется предельным углом полного внутрен-

него отражения. Если угол преломления β = 90º, то sin β = 1, и со-

гласно законам преломления

sin α0 =

nβ

.

nα

Примеры решения задач

Пример 13.1. Мальчик старается

попасть палкой в предмет, находя-

α1

щийся на дне ручья глубиной h = 40

φ

см. На каком расстоянии х от пред-

А

мета палка попадет в дно, если

мальчик, точно нацелившись, дви-

гает палку под углом φ = 60о к по-

α

верхности воды? Показатель пре-

ломления воды n = 1,33.

В х С

О

Решение. Чтобы попасть в точку

Рис. 13.2

С на дне, палка направляется по

лучу, вышедшему из воды под углом преломления α1 = π/2 – φ. Из рис. 13.2 видно, что палка попадает в дно в точке В, отстоящей от точки С на х = ВО – СО. Из соответствующих треугольников:

ВО = h tg α1, CO = h tg α, x = h (tg α1 − tg α).

Применим также закон преломления:

65

sin α =

sin α1

=

cos φ

,

tg α =

cos φ

.

n

n

n2

−cos2

φ

Окончательно

cos φ

0,5

x = h (сtg φ −

) = 0,4·(0,57 −

) = 0,07 м.

n2 −cos2

1,332 −

0,52

φ

Ответ: x = h (сtg φ −

cos φ

) = 0,07 м.

n2 −cos2

φ

Пример 13.2. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом α = 30°. Какова толщина d пластины, если луч на выходе из нее сместится на х = 2 см? Показатель преломления стекла п = 1,8.

Решение. Ход луча с углом падения α приведен на рис. 13.3. При входе в пластинку луч преломляется (угол преломления

αα1), при выходе − преломляется

еще раз и выходит параллельно

x

первоначальному направлению.

α1

d Смещение луча в данном слу-

s

чае − это расстояние х между

Рис. 13.3

параллельными направлениями

лучей.

Из прямоугольного треугольника с углом α1 при вершине следует, что d = s соs α1, из другого треугольника с той же гипотенузой s получается соотношение х = s sin (α − α1), поэтому

			d = х		cosα1
							.
				sin(α −α )
						1
	C учетом закона преломления sin α = n sin α1 окончательно
	d =		х n2 −sin2 α		=	0,02 1,82		−0,25	=
		( n2	−sin2 α −cosα)sinα			( 1,82 −0,25		−0,87) 0,5

= 1,5 см.

Ответ: d = 1,5 см.

66

Пример 13.3. Равнобедренная призма с углом при вершине φ освещается параллельным пучком света так, что лучи внутри призмы идут параллельно основанию треугольника. Угол отклонения вышедшего пучка от первоначального направления равен β. Каков показатель преломления n вещества, из которого сделана призма?

Решение. Если α – угол падения луча на боковую грань призмы, δ – угол преломления (рис. 13.4), то:

	а) угол отклонения луча при
	преломлении на одной грани β =			φ
	= 2(α – δ) (как угол внешний по
	отношению	к равнобедренному	α				β
	треугольнику с тупым углом при
					δ
	вершине);
	б) углы δ и φ/2 равны как углы
	с взаимно	перпендикулярными		Рис. 13.4

сторонами: δ = φ/2; в) из этих соотношений следует, что α = (β + φ)/2.

Применение закона преломления n = sinsin αδ дает искомый пока-

затель преломления.

Ответ: n = sin[(φ+β)/2] . sin(φ/2)

Задачи для решения в классе и дома

13.1.Луч света падает из воды на границу раздела с воздухом под углом, равным предельному углу полного отражения. Выйдет ли этот луч в воздух, если на поверхность воды налить небольшой слой оптически прозрачного масла, показатель преломления которого больше показателя преломления воды?

13.2.На дне стакана, заполненного водой до высо-

ты Н = 10 см, лежит монета (рис. 13.5). На каком расстоянии h от поверхности видит ее глаз наблюдателя? Показатель преломления воды п = 1,3. Лучи 1, 2 и 3 − отраженные от монеты и попадающие в глаз наблюда-

теля.

Рис. 13.5

67

13.3.Прямоугольный прозрачный сосуд наполнен жидкостью и освещается снизу лампочкой, расположенной под сосудом вблизи его дна. Каково минимальное значение показателя преломления жидкости п, при котором лампочку можно увидеть сквозь боковые стенки сосуда? Показатели преломления жидкости и материала сосуда считать равными друг другу.

13.4.В дно водоема глубиной Н = 2 м вбита свая, на h = 0,5 м выступающая из воды. Найти длину тени l от сваи на дне водоема при угле падения лучей на поверхность воды α = 30°. Показатель преломления воды

п= 1,33.

13.5.Луч падает под углом α = 50° на боковую грань треугольной призмы, в основании которой лежит правильный треугольник. Показать ход лучей в призме и вычислить угол φ отклонения луча от первоначального направления при выходе его из призмы. Показатель преломления вещества призмы п = 1,5.

13.6.В стекле с показателем преломления пс = 1,52 имеется сферическая полость радиусa R = 3 см, заполненная водой (пв = 1,33). На полость падают параллельные лучи света. Определить радиус r светового пучка, который проникает в полость.

13.7.Луч, падающий на плоскую границу двух сред, относительный показатель преломления которых п, частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения отраженный луч перпендикулярен к преломленному лучу?

13.8.В сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости с показателями

преломления n1 = 1,3 и n2 = 1,5. Сверху находится жидкость с показателем преломления n1. Толщина ее слоя h1 = 3 см. Толщина слоя второй жидкости h2 = 5 см. На каком расстоянии l от поверхности жидкости будет казаться расположенным дно сосуда, если смотреть на него сверху через обе жидкости?

14. Сферические зеркала

Сферическое зеркало − это симметричная часть внешней или внутренней зеркальной поверхности сферы.

Различают два типа сферических зеркал: вогнутые (у них отражающее покрытие нанесено на внутреннюю поверхность сферы) и выпуклые (отражающее покрытие нанесено на внешнюю поверхность сферы).

Центр сферы, частью которой является сферических зеркало, на-

зывают оптическим центром зеркала (точка О на рис. 14.1).

68

Линия, соединяющая центр сфе-
рической поверхности О с верши-
ной зеркала С, называется оптиче-
ской осью сферического зеркала.
Фокусом зеркала является точка
F на оптической оси, через которую	Рис. 14.1
проходит после отражения от зер-
кала луч (или его продолжение),

падающий на зеркало параллельно оптической оси (см. рис. 14.1). Расстояние между фокусом и вершиной зеркала – это фокусное

расстояние (длина отрезка FС на рис. 14.1).

В случае, когда h << R, α << 1 (так называемые параксиальные лучи), фокусное расстояние F ≈ R2 (R – радиус сферы).

Обратимся теперь к выпуклому зеркалу и построим ход отраженных лучей в нем (рис. 14.2). Для выпуклого зеркала, как видно на рис. 14.2, фокус мнимый. В этом случае фокусное расстояние считается отрицательным:

	F ≈ −	R	.	Рис. 14.2
		2

Для построения изображения светящейся точки следует выбрать любые два луча из трех стандартных:

1)луч, проходящий через оптический центр зеркала, − после отражения от зеркала он опять пройдет через центр;

2)луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси, − после отражения проходит через фокус зеркала;

3)луч, проходящий через фокус зеркала, − после отражения идет параллельно оптической оси.

Приближенно можно считать, что в параксиальных лучах изображение направленных отрезков, перпендикулярных оптической оси, будет так же поперечным к оси отрезком. Поэтому для построения такого отрезка достаточно построить изображение точки

−конца стрелки и провести перпендикуляр к оси. Пример построения такого отрезка приведен на рис. 14.3

69

Рис. 14.3

Если расстояние от предмета до вершины зеркала d, а расстояние от изображения до вершины зеркала d′, то для параксиальных лучей выполняется следующее соотношение (форму-

ла сферического зеркала): d1 + d1' = F1 .

При расчетах надо иметь в виду, что в разных случаях расстояния могут иметь разные знаки.

Общее правило таково: если изображение (фокус, предмет) являются действительными, то соответствующее расстояние положительно; в противном случае – отрицательно.

Примеры решения задач

Пример 14.1. Построить дальнейший ход луча, падающего на внутреннюю посеребренную поверхность полусферы параллельно ее главной оптической оси на расстоянии, равном половине радиуса этой полусферы. Вычислить расстояние х между фокусом и точкой пересечения отраженного луча с главной оптической осью.

Решение. На рис.14.4 приведен ход луча в рассматриваемой системе. Здесь O'О'' – оптическая

					Р	ось, О – оптический центр (центр
						сферы), С – вершина зеркала, F –
						фокус зеркала, Р – точка падения
	О''	O		F	A C O'
						луча, А – точка пересечения от-
						раженного	луча с	оптической
						осью. Ход отраженного луча со-
		Рис. 14.4				ответствует	закону	отражения,
						РА = ОF = R/2.
	Из треугольника РАО следует, что ОА =						3 R/2. Искомое рас-
	стояние х = FА = ( 3 − 1)R/2.
	Ответ: х = (			3 − 1)R/2.

70