Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

Рис. 10.1

10. Колебательный контур

Электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, называется колебательным контуром.

В такой цепи (рис. 10.1), если конденсатор вначале заряжен (на-

чальный заряд q0), после замыкания ключа воз-		К
никают свободные электромагнитные колеба-
ния заряда q(t) на обкладках конденсатора и			i		+
тока i(t) в контуре.		L	C			q0
Сразу после замыкания ключа конденсатор					−
начинает разряжаться – в контуре течет ток i,

который постепенно возрастает (ЭДС самоиндукции противодействует резкому возраста-

нию тока). Заряд конденсатора уменьшается до нуля, ток возрастает до максимума и начинает постепенно уменьшаться (ЭДС самоиндукции противодействует быстрому уменьшению тока). При этом происходит перезарядка конденсатора – на нижней обкладке будет положительный заряд, далее ток изменит направление, и эти процессы будут повторяться. Так как

i(t) = q'(t), u(t) = q(t)/C,

а в силу закона Ома

u(t) = – Li'(t),

где –Li'(t) = es – ЭДС самоиндукции, то для q(t) получается уравнение

q"(t) = – LC1 q(t).

Решением уравнения является функция

	q(t) = q0 cos	t	,
		LC

которая описывает гармонические колебания заряда с частотой

ω =	1	.
	LC

Это собственная частота колебательного контура. Период колебаний (формула Томсона)

Т = 2π LC .

51

Сила тока изменяется со временем по закону (знак выбирается в

зависимости от выбора положительного направления в контуре)

i(t) = Im sin

t

,

q0

LC

где Im =

− амплитудное значение силы тока.

LC

Пока активное сопротивление контура мало, энергия колебаний

в контуре сохраняется и может быть выражена по-разному:

q2

=

CU 2

=

LI 2

=

q2 (t)

+

Li2 (t)

=

Cu2 (t)

+

Li2 (t)

.

0

0

m

2C

2

2

2

2C

2

2

Примеры решения задач

Пример 10.1. Катушка индуктивности L = 0,4 мкГн, конденса-

тор емкостью С = 10 мкФ и источник постоянного тока с ЭДС ε =

К

= 1,5 В соединены через ключ К (рис.10.2).

При замкнутом ключе в цепи идет некото-

ε

рый ток. После размыкания ключа в конту-

L

C

ре

начинаются колебания. Максимальное

напряжение на конденсаторе при колебани-

ях

Um = 0,5 В. Чему равно внутреннее со-

Рис. 10.2

противление источника r?

Решение. На основе закона сохранения

энергии контура можно записать

LI 2

CU

2

,

0 =

2

m

2

где I0 = ε/r − установившийся ток в цепи до размыкания ключа. Об-

ратите внимание, что напряжение между точками подключения

конденсатора при этом равно нулю: U = ε − I0r = 0, ибо I0 – ток ко-

роткого замыкания. Далее получаем

Lε2

=CU 2

и r =

ε

L

=

1,5

0,4

= 0,6 Ом.

r2

m

Um

C

0,5

10

Ответ: r =

ε

L

= 0,6 Ом.

Um

C

52

Пример 10.2. Начальное напряжение на конденсаторе емкости С1 равно U1, а конденсатор ем-кости С2 не заряжен. Индуктивность контура L. Каковы частота ω колебаний в контуре и максима-льное значение тока Im после замыкания ключа К?

Решение. После замыкания ключа К в кон-

туре (рис. 10.3) начнутся электрические коле-

1

С0

бания. На основе закона Ома можно записать:

3

u1 − u2 = Li'(t).

L

К

Предположим, что до замыкания ключа об-

С

кладка 1 конденсатора С1

заряжена положи-

2

тельно и заряд ее равен Q0

= С1U1. В произ-

вольный момент ее заряд q1 = Q0− q2, заряд

Рис. 10.3

обкладки 2 конденсатора С2

равен q2, так как

Q0 = q1 + q2, поэтому Li'(t) = U1 − q2/С0 − q2/С = U1 − q2(1/С0 + 1/С).

Если взять производную от обеих частей полученного равенства

и учесть, что i(t) =	′	(t), получим уравнение колебаний:
	q2
Следовательно,			Li'' = − (1/С1 + 1/С2)i.
			С1 + С2
	2				и i(t) = Im sin ωt.
ω		=
			LС С	2
			1

Максимальное значение тока будет в момент, когда i' = 0 или u1 = u2. Закон сохранения энергии дает:

СU 2	=	LI	2	+	Q2	+	Q2	,
1 1		m			1		2
2					2C		2C
		2
					1		2

где Q1 и Q2 – заряды на конденсаторах в рассматриваемый момент. Так как

Q0 = Q1 + Q2, Q1/С1 = Q2/С2,

то

Q1 = Q0С1/(С1 + С2), Q2 = Q0С2/(С1 + С2),

и

С1U12

2

Ответ: Im =U1

=		LI 2	+			Q2				=	LI	2	+	С2U 2			.
		m				0					m			1	1
		2		2(C +C				)						2(C +C		)
											2
						1	2							1	2
		C1C2				=	U1	.
	L(C		+ C		)		ωL
		1		2

53

Пример 10.3. Контур состоит из катушки индуктивностью L = = 30 мкГн, конденсатора емкостью С = 3000 пФ и резистора сопро-

Ктивлением R = 1 Oм (рис. 10.4). Какую мощ-

						ность Р должен потреблять контур, чтобы в
	L C					нем поддерживались незатухающие колебания,
						при которых максимальное напряжение на
			R			конденсаторе Um = 4 B?
						Решение. Для того чтобы поддерживать не-
	Рис. 10.4					затухающие колебания, нужно восполнять по-
						тери энергии, которые происходят на активном

сопротивлении R при превращении в тепловую энергию. За период это энергия W = I 2RT, где I = Im / 2 – действующее значение силы тока. Предположим, что эти потери малы. Тогда будем считать, что

CU 2

LI

2

, откуда

Im2 ≈

CU 2

, Im2 ≈

CU 2

,

W =

RCU 2

T, а иско-

m

≈

m

m

m

m

2

2

2L

2L

L

мая мощность

Р =

RCU 2

1 3 10−9 16

≈ 0,8 мВт.

m

≈

2L

2 30 10−6

Сравним потерю энергии за период с величиной энергии

колебаний, рассчитав отношение

η = PT

CU 2

2πR

C

= 4 3,14 1

3 10−9

= 0,06 = 6 %.

m

=

L

30 10

−6

2

Такова точность приближения.

Ответ: Р =

RCU

2

= 0,8 мВт.

m

2L

Пример 10.4. В момент, когда ток в катушке индуктивности L1

К

1

был равен I, ключ К замкнули (рис. 10.5).

Какое

количество

теплоты

выделится на

i2

i1

сопротивлении R после замыкания ключа?

L2

R

L1

Индуктивность другой катушки L2.

Решение. Так как обе катушки подклю-

чены к точкам 1 и 2 , то

2

е1 = е2 или L1

i1

i2

Рис. 10.5

t

= L2

t .

54

Пусть ток i1 направлен к точке 1 и после замыкания ключа будет уменьшаться. Ток i2 направлен от точки 1 и будет увеличиваться. Ток через сопротивление R равен iR = i1 – i2 будет уменьшаться и в некоторый момент станет равен нулю. Тогда токи через катушки станут одинаковыми и не будут меняться. Обозначим этот ток че-

рез Iоб.

На основании приведенного выше соотношения получим:

L1 (Iоб – I) = L2(0 – Iоб), откуда Iоб = L1I/(L1 + L2).

Количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении R, определяется разностью энергий катушек индуктивности в начале и конце процесса:

		Q = W1 – W2 =		L L I 2
				2(L + L ) .
				1	2
				1	2
Ответ: Q =	L L I 2
	2(L	+ L ) .
	1	2
	1	2

Задачи для решения в классе и дома

10.1.Ток в колебательном контуре зависит от времени по закону i(t)= Im sin ω0t, где Im = 9 мА, ω0 = 4,5·104 рад/с, емкость конденсатора

С= 0,5 мкФ. Найти индуктивность L контура и напряжение U0 на конденсаторе в момент t0 = 0.

10.2.В колебательном контуре (рис. 10.6) индуктивность катушки

L = 2,5 мГн, а емкость конденсаторов С1 = 2 мкФ и С2 = 3 мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения U = 18 B и замкнули ключ К. Найдите период Т собственных колебаний и максимальные значения токов.

С1

L

С2

C

L1

L2

Рис. 10.7

Рис. 10.6

10.3. Конденсатор емкостью С = 2 мкФ и катушки индуктивностью L1 = 1 мГн и L2 = 3 мГн включены в электрическую цепь, как показано на

55

рис. 10.7. Конденсатор зарядили до напряжения U = 18 B и замкнули ключ К. Найти период Т собственных колебаний и максимальные значения токов.

10.4.Батарея без внутреннего сопротивления подключена к катушке индуктивности L. Определите зависимость тока в цепи от времени, если ЭДС батареи ε.

10.5.Заряженный конденсатор емкостью С = 0,5 мкФ подключают к катушке индуктивностью L = 5 мГн. Через какое время энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки?

10.6.Конденсатор емкостью С = 5 мкФ, заряженный до напряжения

U0 = 100 B, подключают к катушке, индуктивность которой L = 5 мГн. Определить ток i в контуре через n = 5/8 периода.

10.7.Построить график зависимости тока i в колебательном контуре от напряжения u на конденсаторе. Начальное напряжение на конденсаторе

U0, ток в контуре в начальный момент равен нулю. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости С и катушки индуктивности L.

10.8.В некоторый момент ток в колебательном контуре в n = 3 раза меньше максимального. Через какую часть периода ток увеличится вдвое?

10.9.Колебательный контур, собственная частота колебаний в котором ν = 1 МГц, имеет индуктивность L = 0,2 мГн. Энергия колебаний уменьшается за время одного полного колебания на η = 1 %. Чему равно активное сопротивление R контура?

10.10.Заряженный конденсатор емкостью С через ключ К подключен

кдвум параллельно соединенным катушкам индуктивности L1 и L2. В начальный момент времени ключ разомкнут. Если замкнуть ключ К, то через катушки потекут токи. Максимальный ток, протекающий через ка-

тушку L1, оказался равным I1. Найти первоначальный заряд на конденсаторе.

10.11.В контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией W. Пластины конденсатора медленно раздвигают так, что частота колебаний увеличилась в n раз. Какая работа А совершается при этом?

10.12.Колебательный контур, состоящий из катушкиCиндуктивностиLи2 конденсатора, через ключ К подключен к источнику с ЭДС ε и с внутренним сопротивлением r (рис. 10.8). Первоначально ключ К замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают и в контуре возникают колебания с периодом T. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в n раз больше ЭДС батареи. Найти L и С.

56

ε		L		C	L1		C				L2
		Рис. 10.8					Рис. 10.9

10.13. Катушки с индуктивностями L1 и L2, подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкости С (рис. 10.9). Вначале оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Сначала замыкают ключ К1, и когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ К2. Определить максимальный и минимальный токи, протекающие через катушку L1 после замыкания ключа К2.

10.14. К источнику тока подключены катушка индуктивностью L = 0,8 Гн и резистор сопротивлением R = 25 Oм. Сразу после размыкания ключа в резисторе выделяется тепловая мощность Р = 100 Bт. Какое количество теплоты выделится в резисторе к моменту прекращения тока? Активное сопротивление катушки мало.

10.15.К источнику постоянного тока с ЭДС ε и малым внутренним сопротивлением подключают последовательно соединенные катушку индуктивности L и конденсатор емкости С. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.

10.16.В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных резистора сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора емкости С, происходят затухающие колебания. За некоторое

время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения I1 до значения I2. Какое количество теплоты выделилось за это время на резисторе?

11. Электромагнитные волны

Электромагнитные волны − это процесс распространения в среде или в вакууме колебаний электромагнитного поля.

При распространении электромагнитной волны происходят колебания напряженности электрического поля Е и индукции маг-

нитного поля В, поэтому электромагнитная волна может распространяться и в вакууме.

57

Свойства электромагнитных волн.

1. Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме

		с =		1			= 3·108	м/с.
					0
				0
		2. Электромагнитные волны
		– волны поперечные. Векторы
		Е и В колеблются перпендику-
	Рис. 11.1	лярно направлению						распро-
		странению волны (рис. 11.1).

3.Векторы Е и В колеблются перпендикулярно друг к другу в одинаковой фазе.

4.Соотношения между длиной волны, скоростью ее распространения, периодом и частотой такие же, как и для упругой вол-

ны: λ = сТ = с/ν.

5.При переходе электромагнитной волны из вакуума в вещество

еечастота не меняется. Длина волны уменьшается.

6.Электромагнитные волны переносят энергию. Интенсивность электромагнитной волны

J = wc,

где w = ε0Е2 – плотность энергии в электромагнитной волне.

7. Излучение электромагнитных волн происходит при ускоренном движении зарядов.

Примеры решения задач

Пример 11.1. Резонанс в колебательном контуре приемника с конденсатором емкости C1 = 0,9 мкФ наступает при частоте 1 =30 МГц. Когда параллельно первому подключают второй конденсатор, то принимаемая длина волны становится равной 2 = 30 м. Определить емкость второго конденсатора C2.

Решение. Длина электромагнитной волны, вызывающей резонанс в колебательном контуре приемника, определяется соотноше-

нием = с2 LC , где с – скорость света в вакууме. Для контура с емкостью C1 можно записать:

58

λ1 = c·2π LC1 ;

Для контура с параллельно включенным конденсатором емкостью C2

λ2 = c·2π L(C1 +С2) .

Разделив второе уравнение на первое и возводя в квадрат, находим:

	λ22	=	C1 +С2	; C2	= C1		λ22	−1
	λ2		C				λ2
								.
	1	1					1

Выражая λ1 через ν1 , получаем окончательно:

		ν2	λ2							302 1012 302
C2	= C1	1	2 2	−1 = 0,9·10-6								−1 = 7,2 мкФ.
										2	16
		с								3	10
Ответ: C2					ν2	λ2
		= C1			1	2	2	−1 = 7,2 мкФ.
					с

Пример 11.2. Радиолокационная станция излучает n = 1000 импульсов в секунду с длиной волны λ = 3 см. Продолжительность импульса τ = 0,3 мкс. Мощность в импульсе Р = 70 кВт. Каковы период Тсвч, и частота ν излучения и средняя мощность <P> станции (в пренебрежении потерями)?

Решение. Длина волны излучения λ = сТсвч, поэтому период сверхвысокочастотного излучения радиолокатора Тсвч = λ/с = 10−10 с =

= 10 нс, а частота ν = 1/Тсвч = 10 ГГц.

Энергия излучения в одном импульсе равна Рτ, n импульсов дают энергию Рτn, причем это энергия, излучаемая за единицу времени − одну секунду в данном случае (п − число импульсов в се-

кунду), то это и есть средняя мощность

<P> = Рτn = 70·103·0,3·10-6·1000 = 21 Вт.

Ответ: <P> = Рτn = 1 Вт.

Задачи для решения в классе и дома

11.1. Какова должна быть емкость конденсатора С, чтобы с катушкой, имеющей индуктивность L = 25 мкГн, обеспечить настройку в резонанс на длину волны λ = 100м?

59

11.2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 20 мкГн и конденсатора емкостью С = 80 нФ. Величина емкости может отклоняться от указанного значения на η = 2 %. В каких пределах может изменяться длина волны, на которую резонирует контур?

11.3.Частота 12-го телевизионного канала ν = 223,25 МГц. Какой длины l необходима дипольная антенна для приема этого канала?

11.4.Длина воздушной линии передачи l = 300 км. Частота напряжения ν = 50 Гц. Найти сдвиг по фазе ∆φ напряжения в начале и конце этой линии.

11.5.Во сколько раз нужно увеличить мощность передатчика, чтобы увеличить дальность радиосвязи с космическим кораблем в 3 раза? Во сколько раз нужно увеличить мощность передатчика, чтобы увеличить дальность радиолокации в 3 раза? Поглощением энергии в среде пренебречь.

11.6.На каком предельном расстоянии L может быть обнаружена на поверхности моря цель корабельным радиолокатором, расположенным на высоте h = 8 м над уровнем моря? Каким должен быть минимальный промежуток Т между соседними импульсами у такого локатора? Радиус Зем-

ли R = 6400 м.

11.7.Радиолокатор работает на волне λ = 15 см с частотой п = 4000 импульсов в секунду. Длительность каждого импульса τ = 2 мкс. Сколько колебаний N содержится в каждом импульсе и какова наибольшая глубина L разведки локатора?

11.8.Радиолокатор работает в импульсном режиме. Частота повторения импульсов f = 1700 Гц, длительность импульса τ = 8 мкс. Найти максимальную и минимальную дальность обнаружения цели данным радиолокатором.

12.Отражение света

Световой луч − это линия, вдоль которой распространяется свет. На основании опытных данных был сформулирован закон прямолинейного

	распространения света: в прозрачной од-
	нородной среде свет распространяется по
	прямым линиям.
	Если луч света падает на границу разде-
	ла двух прозрачных сред, то при этом свет
	частично отражается от поверхности, а
Рис. 12.1

60