Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

Из написанного выражения видно, что минимальное значение полного сопротивления будет достигнуто при ωL − 1/(ωС) = 0 и

равно Z = R.Тогда R = U/I = 24 кОм.

Напряжение на на катушке индуктивности равно UL = 2πνLI. Так как ωL − 1/(ωС) = 0 и ω = 2πν, то L = 1/(4π2ν2С). Тогда

	I		−3
UL =		=	1,5 10		= 1,6 В.
	2πνС		3	−8
			2 3,14 15 10	10

Ответ: UL = I /(2πνC) = 1,6 В.

Задачи для решения в классе и дома

7.1.В цепь переменного тока стандартной частоты включены последовательно конденсатор емкостью С = 50 мкФ и лампа накаливания. При пробое конденсатора ток в цепи увеличился в n = 3 раза. Каково сопротивление R лампочки?

7.2.При подаче на катушку постоянного напряжения U = 15 В сила тока I = 0,5 А. При подаче такого же переменного напряжения с частотой

ν= 50 Гц сила тока уменьшилась до I1 = 0,3 А. Какова индуктивность L катушки?

7.3.В сеть переменного тока стандартной частоты включили последовательно наполовину введенный реостат, полное сопротивление которого R = 200 Oм, и два последовательно соединенных конденсатора емкостью по С = 32 мкФ каждый. Произошел пробой одного конденсатора. Какую часть реостата еще надо ввести, чтобы добиться прежней силы тока?

7.4.В сеть переменного тока с частотой ν = 50 Гц и напряжением U = 220 B включены последовательно реостат и катушка с ничтожно малым активным сопротивлением. Найти сопротивление R реостата и индуктивность L катушки, если сила тока в цепи I = 1 А, а разность фаз между подведенным напряжением и током в цепи φ = 45°.

7.5.В цепь переменного тока с частотой ν = 50 Гц включены последо-

вательно резистор R = 21 Oм, катушка L = 70 мГн и конденсатор С = 82 мкФ. Каковы сила тока I в цепи, напряжение UR на резисторе, напряжение UL на катушке и напряжение U в сети, если напряжение на конденсаторе UC = 310 В?

7.6.Если переменное напряжение U = 10 B подать между точками А и

В(рис. 7.5), то сила тока в цепи и сдвиг фаз между током и напряжением составят I1 = 1 А и Δφ1 = 30°.Если то же напряжение U = 10 B подать меж-

41

ду точками В и С, то I2 = 5 А и Δφ2 = 60° . Какая сила тока будет в цепи, если это напряжение подать между точками А и С?

L	R	L1	R1
А		В	С
		Рис. 7.5

7.7.Генератор с ЭДС ε(t) = εm sin ωt в момент t = 0 подключают к катушке индуктивности L. Определить зависимость тока в цепи от времени.

7.8.К заряженному конденсатору емкостью С0 подключают катушку индуктивностью L. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?

8.Мощность переменного тока. Трансформаторы

Мгновенное значение p(t) мощности, выделяемой на участке цепи при прохождении переменного тока,

p(t) = i(t)u(t).

На практике преимущественно используется понятие средней мощности:

P = <p(t)> = ImUm cosφ/2 = IU cosφ.

Здесь Im,Um – амплитудные значения, I,U – действующие значения тока и напряжения соответственно; cosφ – коэффициент мощности (часто называют просто "косинус фи", φ – разность фаз между током и напряжением).

Коэффициент мощности cosφ может изменяться от 0 до 1.

На активном сопротивлении φ = 0, cosφ = 0, средняя мощность P = IU, как и в случае постоянного тока.

Но возможны случаи, когда cos φ = 1. При этом φ = ± π/2. Это осуществляется, когда активное сопротивление участка R = 0. В этом случае ток по участку течет, но средняя мощность равна нулю за счет того, что в течение полупериода ток совершает положительную работу – индуктивно-емкостная нагрузка потребляет энергию, а в течение другого полупериода ток совершает отрицательную работу – индуктивно-емкостная нагрузка отдает энергию источнику.

42

Трансформатор – это устройство для изменения напряжения
пере-менного тока.
Простейший трансформатор (рис.
8.1)	состоит	из	ферромагнитного
сердечника и двух обмоток: первич-
ной – на нее подается внешнее пе-
ременное напряжение, и вторичной
– к ней подключается нагрузка.
Если число витков в первичной				Рис. 8.1
обмотке обозначить п1, во вторич-
ной − п2, то отношение

k = п2/п1

называют коэффициентом трансформации.

При работе трансформатора на первичную обмотку подается внешнее переменное напряжение U1. Проходящий в обмотке переменный ток создает переменное магнитное поле, которое практически целиком находится внутри общего сердечника, так как магнитная проницаемость ферромагнетиков велика. Таким образом, обе обмотки пронизывает один и тот же переменный магнитный поток. При этом в каждом витке любой обмотки индуцируется одна и та же ЭДС индукции e. Тогда в первичной обмотке возникает ЭДС

ε1 = п1e, а во вторичной – ε2 = п2e, откуда	ε		n
	ε2	=	n2 .
	1		1

Если цепь вторичной обмотки незамкнута, то такой режим называется режимом холостого хода. В этом режиме U2 = ε2, а U1 ≈ ε1, так как ток в цепи первичной обмотки мал. Поэтому

U2		= n2	= k .
U	1	n
		1

Если k > 1, то U2 > U1, и трансформатор является повышающим, если k < 1, то U2 < U1, и трансформатор является понижающим.

Примеры решения задач

Пример 8.1. К источнику переменного напряжения с амплитудой Um = 100 В включены последовательно катушка индуктивности, конденсатор и резистор сопротивлением R = 1 Ом. Найти

43

u=Umsinωt

сдвиг фаз φ между током и напряжением, если в цепи выделяется средняя мощность Р = 2,5 кВт.

Решение. Средняя мощность в цепи переменного тока P = = IUcosφ. Пользуясь законом Ома и учитывая, что I = Im2 , U = U2m ,

U 2

получим P = 2Rm cos φ. Из этого выражения находим cos φ.

Ответ: cos φ = 2PR = 0,5; φ = π/3.

Um2

Пример 8.2. Напряжение переменного тока на участке цепи U = = 150 В, активное сопротивление участка R = 500 Ом, сдвиг фаз между током и напряжением φ = 60о. Найти мощность Р, выделяемую на участке.

Решение. Мощность, которая выделяется на участке цепи переменного тока, P = IUcosφ.

Сила тока находится по закону Ома I = U/Z, где Z – полное (!) сопротивление участка. Учитывая, что cos φ = 1/ 1+tg2 ϕ = R/Z, получим:

P = U	U		R	=	U 2		cos	2	ϕ =	1502 0,52	= 22,5 мВт.
	Z		Z			R2				5002

Ответ: Р = U 2 cos2 ϕ = 22,5 мВт.

R2

Пример 8.3. В цепи (рис. 8.2) емкость С может изменяться при неизменных других параметрах. При каком значении С мощность протекающего тока будет максимальной? Какова эта мощность?

Решение. Из решения предыдущей задачи видно, что мощность, выделяемая на данном участке,

R

L

C

P =

U

2

R

,

Рис. 8.2

где Z

2

2

Z 2

1

2

= R

+

ωL −

.

ωC

44

Мощность тока будет максимальной, когда значение Z2 минимально. Последнее будет минимальным, если

ωL − ω1C = 0, C = ω12 L .

Полное сопротивление Z при этом будет R, и максимальная мощность

	U 2		U 2
P =		=		m	.
	R
				2R

U 2

Ответ: Р = 2Rm .

Пример 8.4. Напряжение, подведенное к первичной обмотке трансформатора U1 = 110 В и сила тока в ней I1 = 1,5 А. Ко вторичной обмотке подключена настольная лампа, напряжение на которой U2 = 220 В, а сила тока I2 = 0,5 А. Кпд трансформатора η = 0,7. Найти сдвиг фаз φ между током и напряжением в первичной обмотке.

Решение. КПД трансформатора η = Pполез .

Pполн

В данном случае полезной является мощность, потребляемая лампочкой (активное сопротивление) и равная Рполез = U2I2. Полная мощность, выделяемая в цепи первичной обмотки, Рполн = U1I1cos φ (в цепи первичной обмотки есть активная и индуктивная нагрузки). Следовательно,

	η =	U2 I2	, cos φ =		U2 I2		=	220 0,5	= 0,95, φ = 18°.
								0,7 110 1,5
		U1I1 cos ϕ			ηU1I1
	Ответ: φ = arccos			U2 I2		= 18°.
				ηU1I1

Задачи для решения в классе и дома

8.1. К сети с действующим напряжением U = 220 B подключили катушку, индуктивное сопротивление которой XL = 30 Ом, активное сопротивление R = 40 Ом. Найти разность фаз между током и напряжением в цепи и тепловую мощность Р, выделившуюся в катушке.

45

Рис. 8.3

8.2. Последовательно с электроплиткой в городскую сеть подключили катушку индуктивности. При этом мощность плитки упала в п = 2 раза. Найдите индуктивность L катушки, если активное сопротивление плитки

R = 50 Ом.

8.3. В сеть переменного тока напряжением U = 220 B включена схема (рис. 8.3), состоящая из двух идеальных диодов и трех одинаковых резисторов сопротивлением R = 5 кОм каждый. Какая мощность выделяется на резисторах?

8.4. Трансформатор, повышающий напряжение с U1 = 100 B до U2 =3300 B, имеет замкнутый сердечник в виде кольца. Через кольцо пропущен провод, концы которого присоединены к вольтметру. Вольтметр показывает U = 0,5 B. Сколько витков имеют обмотки трансформатора?

8.5. От вторичной обмотки трансформатора с сопротивлением R = 0,1 Oм питаются N = 1000 параллельно включенных электроламп мощностью Р = 100 Вт каждая, рассчитанных на U = 220 B. Найти КПД. трансформатора η, пренебрегая рассеянием магнитного потока и сопротивлением первичной обмотки трансформатора.

8.6.Трансформатор с включенной в сеть первичной обмоткой выходит из строя при коротком замыкании в цепи вторичной обмотки. Выйдет ли этот трансформатор из строя, если замкнется накоротко всего лишь один виток вторичной обмотки?

8.7.На симметричный железный сердечник, форма которого показана на рис. 8.4, намотаны две катушки. Магнитный поток, создаваемый каж-

		дой катушкой, не выходит из сердечни-
		ка и делится поровну в разветвлениях.
		При включении катушки 1 в цепь пере-
		менного тока с напряжением U1 = 40 B,
		напряжение на	катушке 2 равно
		U2 = 10 B. Какое напряжение будет на
		зажимах катушки 1, если катушку 2
		включить в цепь переменного тока c
	Рис. 8.4
		напряжением U0	= 20 B?

8.8. Трансформатор имеет сердечник, изображенный на рис. 8.4. При включении катушки 1 в сеть переменного тока напряжение во вторичной обмотке U2 =13,2 B. При включении в ту же сеть катушки 2 на зажимах катушки 1 напряжение U1 = 120 B. Определить отношение числа витков в катушках.

46

Рис. 9.1

9. Генераторы и электродвигатели постоянного тока

Принцип работы генератора постоянного тока основан на явлении возникновения ЭДС электромагнитной индукции в проводящей обмотке, вращающейся в магнитном поле. За счет устройства съема тока с вращающихся обмоток генератора во внешнюю цепь передается практически постоянный ток.

Генератор постоянного тока, как и другие источники постоянного тока, характеризуется ЭДС генератора ε и внутренним сопротивлением r. Однако надо учитывать, что генератор постоянного тока может работать в разных режимах, в частности, вращение обмоток может происходить с разной угловой скоростью ω, причем ε прямо пропорционально ω:

ε1 = ω1 .

ε2 ω2

Генераторы и электродвигатели постоянного тока являются взаимно обратимыми машинами: если генератор подключить к источнику постоянного тока, он будет работать как электродвигатель, и

наоборот.
Если электродвигатель подключен к источнику
постоянного тока по схеме рис. 9.1, то закон Ома	ε
для такой цепи может быть записан в виде:		R

ε = εинд + IR,

где εинд – ЭДС индукции, возникающая при враще-

нии ротора и направленная навстречу ЭДС батареи ε; R – полное активное сопротивление цепи, в которое входит сопротивление проводов, обмоток, внутреннее сопротивление батареи.

Если умножить это равенство на I, то получим, по существу. за-

кон сохранения энергии:

Iε = Nмех + I 2R,

так как механическая мощность двигателя Nмех = Iεинд.

Примеры решения задач

Пример 9.1. К батарее с ЭДС ε = 24 В подключен электромотор постоянного тока. При нагрузке мотор потребляет мощность, в n =

47

= 10 раз большую, чем при работе вхолостую. Напряжение на клеммах мотора падает на η = 20 % по сравнению с режимом холостого хода. Ток при нагрузке I = 5 А. Определить внутреннее сопротивление r батареи. Сопротивления проводов и обмотки малы.

Решение. Запишем законы Ома и сохранения энергии для двух режимов работы:

а) на холостом ходу:

ε = Uх + Iхr, Iε = Nх + Iх2 r;

б) при нагрузке:

ε = U + Ir, Iε = N + I 2r.

Из условия задачи следует: U = (1 − η)Uх, N = nNх. Подставив

эти соотношения, получим:

+ I r, I

ε = N +

I2 r;

ε = U

х

х

х

х

х

ε = (1 − η)Uх + Ir,

Iε = nNх + I 2r.

Исключаем сначала Uх и Nх:

Iε− I 2 r

ε−Ir

I (ε− Ir)

1 − η =

, n =

=

.

ε−Iхr

Ix ε− Iх2 r

Ix (ε− Iхr)

Упрощая, имеем

(1−η)I

n = (1 − η)

I

; Iх =

; ε − ε(1 − η) = Ir –Iхr;

Ix

n

и окончательно

ηnε

r =

=

0, 2 10 24

= 1,04 Ом.

(n

+ η−1)I

(10 + 0, 2 −1) 5

Ответ: r =

ηnε

= 1,04 Ом.

(n + η−

1)I

Пример 9.2. Вал электромотора постоянного тока, включенного вхолостую в сеть с напряжением U = 24 B, делает n1 = 10 об/с при полном сопротивлении цепи R = 20 Ом и силе тока I1 = 0,2 А. Какой силы ток I течет через обмотку якоря электромотора, когда с его помощью поднимают груз массой т = 1 кг на легком шнуре, который наматывается на шкив диаметром D = 20 мм? С какой угловой скоростью ω вращается при этом вал электромотора? Момент сил трения на оси считать не зависящим от скорости вращения вала.

48

Решение. Запишем законы Ома и сохранения энергии для двух режимов работы:

а) на холостом ходу:

U = ε1инд + I1R, I1U = Nтр1 + I12 R;

б) при нагрузке:

U = εинд + IR, IU = N + Nтр + I 2R.

Здесь εинд и ε1инд – ЭДС индукции в соответствую-

щем режиме, причем	ε1инд		=	2πn1	; N, Nтр, Nтр1– полез-
	ε	инд		ω
						r h
ная мощность и мощность сил трения соответственно.
Для вычисления последних обратимся к рис. 9.2.
Работа по подъему груза массы m на небольшую
высоту ∆h равна A = mg∆h = mgr∆α, где r – радиус
						Рис. 9.2

блока, ∆α – угол поворота блока. Так как Mтяж = mgr –

момент силы тяжести относительно оси блока, то A = Mтяж∆α, а мощность

N = At = M тяж Δαt = M тяжω = mgDω/2.

Аналогично можно записать и для мощности силы трения:

Nтр1 = Mтp2πn1, Nтр = Mтpω.

Перепишем полученные уравнения, несколько видоизменяя их:

ω

=

U − IR

,

2πn

U − I

R

1

1

ω + I 2R.

I U = M

2πn

1

+

I2 R;

IU = mgDω/2 + M

1

тp

1

тp

Из последних уравнений исключаем Mтp:

ω

I1(U − I1R) = I(U − I R) − mgDω/2.

2πn

1

Окончательно

3,14 1 10 0,02 10

I = I1 +

πmgDn1

= 0,2 +

= 0,5 A,

U − I1R

24 −0,2 20

πmgDn1

ω = 44 рад/с.

Ответ: I = I1

+

= 0,5 A, ω = 44 рад/с.

U

− I1R

49

Задачи для решения в классе и дома

9.1.Электровоз движется со скоростью υ = 36 км/ч и развивает в среднем силу тяги F = 50 кН. Найти силу тока I, проходящего через мотор электровоза, если напряжение на нем U = 500 B. Тепловыми потерями пренебречь.

9.2.Какую ЭДС ε развивает генератор постоянного тока, если при сопротивлении цепи R = 300 Ом на вращение ротора затрачивается мощность P = 50 Bт, а потери на трение составляют α = 0,04 от затраченной

мощности? Какую мощность P1 для поддержания того же числа оборотов необходимо затрачивать при сопротивлении R1 = 60 Oм?

9.3.Электромотор постоянного тока, включенный в цепь батареи с

ЭДС ε0 = 24 B, при полном сопротивлении R = 20 Oм делает n1 = 600 об/мин при силе тока в цепи I = 0,2 А. Какую ЭДС ε разовьет тот же мотор, работая в качестве генератора, при п2 = 1400 об/мин?

9.4. Чему равен КПД электродвигателя, если при включении его в сеть постоянного тока сила тока I0 = 15 А, а в установившемся режиме сила тока снижается до I = 9 А?

9.5. Электромотор питается от сети с постоянным напряжением U = 40 В. Чему равна механическая мощность N на валу мотора при токе в обмотке I =6 А, если при полном затормаживании ротора по цепи идет ток

I0 = 10 А?

9.6. Какую максимальную мощность Рm может развивать электромотор, включенный в сеть постоянного тока напряжением U = 120 B, если полное сопротивление цепи R = 20 Ом? Какой силы ток I протекает при этом по цепи?

9.7. Электромотор (см. задачу 9.6) передает приводу мощность Р = 160 Вт, Какую ЭДС ε0 разовьет тот же мотор, если его использовать как генератор той же угловой скоростью, которую он имел, работая как двигатель? Какой смысл имеет неоднозначность полученного результата?

9.8. Один конец провода трамвайной линии находится под постоянным напряжением U относительно Земли. На каком расстоянии l от этого конца линии находится трамвай, снабженный двумя одинаковыми двигателями, и с какой скоростью υ он движется, если при последовательном включении двигателей сила тока в линии равна I1, при параллельном − I2, а скорость трамвая при таком переключении не изменяется? Сила трения F, сопротивление единицы длины провода ρ, сопротивление обмотки каждого двигателя R.

50