Емелянов Лекции по основам електрослабой 2007

а масса бозона Хиггса

m = υ	l	,	(4.3)
H	2

где g – SU(2) калибровочная константа, l – константа хиггсовского потенциала

V = -m2f+ f + l(f+ f)2			,	(4.4)
причем l > 0, m2 > 0.	+
				m2 > 0 ,
Поле f – SU(2) дублет: f = f	0	. Важно отметить, что
f

так как только в этом случае возможно спонтанное нарушение симметрии. При этом минимум потенциала:

0 f 0 = υ	(4.5)
2

нетривиальный минимум классического потенциала. Этот классический минимум (равновесное значение) интерпретируется как ва-

куумное среднее (vev) квантового поля. Если m2 < 0 , то классиче-

ское равновесное значение будет в начале координат, υ=0, и все частицы будут безмассовыми. Это справедливо на древесном уровне (без учета петлевых поправок). Что произойдет, если учесть петлевые поправки? В выборе СМ-перенормируемой теории мы должны получить конечный результат с учетом всех поправок (петель), даже если виртуальные импульсы в петлях устремить к бесконечности. Но это не значит, что в петлевых интегралах типа

Λ
∫d 4k f (k, внешние импульсы)	(4.6)

надо считать параметр L ® ¥. Более обоснованно рассматривать СМ как часть более общей теории, которые включает неизвестную «новую физику» при больших энергиях. Параметр L – масштаб «новой физики», на котором нужно модифицировать СМ. В конце концов, «новую физику» следует ожидать на масштабах квантовой гравитации. Этот масштаб называют планковской массой

m = G−1/ 2	»1, 2 ×1019	ГэВ.	(4.7)
Pl

71

Если mPl – действительно масштаб «новой физики» вне стандартной модели, то при учете петлевых поправок в СМ возникают серьезные трудности.

Действительно, 4-бозонное взаимодействие в однопетлевом приближении дает вклад в собственную энергию (рис. 4.1).

					Рис. 4.1. Диаграмма
					самовзаимодействия
					бозона Хиггса
	Λ				1
Этот вклад будет порядка ~ λ∫d 4 k						, причем интеграл
				2	2
		k			− mH

расходится квадратично и дает поправку λΛ2φ+φ к члену −μ2φ+ φ в

потенциале V. Величина μ вряд ли может быть больше нескольких сотен ГэВ. Если же Λ ~ mPl ~ 1019 ГэВ, то однопетлевая поправка к «– μ2» катастрофически больше (100 ГэВ)2 и положительна!

Поэтому, чтобы получить –(100 ГэВ)2 после учета всех петлевых поправок, надо стартовать с гигантского отрицательного значения – μ2 в лагранжиане и надеяться на замечательное сокращение с –(10 19 ГэВ)2 до –(100 ГэВ)2.

Столь тонкая подстройка (fine tuning), включающая параметр μ,

влияет не только на массу хиггс бозона mH = 2μ , но и на массу

W-бозона mW = gμλ , а также на массы всех частиц СМ.

Но почему это нас так заботит, ведь нечто подобное всегда происходит с массовыми слагаемыми в перенормируемых теориях? Эта проблема особо остро стоит в теориях со скалярными частицами (в отличие от теорий только с фермионами и калибровочными бозонами). Примером теории последнего типа является квантовая электродинамика. Аналогом процесса, показанного на рис. 4.1, в КЭД будет процесс, в котором электрон испускает, а затем поглощает фотон. Этому процессу соответствует поправка δm к массе фермиона

Λ d 4 k		~ αΛ .
δm ~ α∫ k 3			(4.8)

72

При более точном вычислении δm ~ αm ln Λ . Поэтому даже при Λ~1019 ГэВ поправка к массе пропорциональна самой массе, δm~m, и в тонкой подстройке параметров (fine tuning) нет необходимости. Почему же получается δm~m? Дело в том, что лагранжиан КЭД при m→0 кирально инвариантен. При киральных преобразованиях поля изменяются следующим образом:

ψ → exp (iαγ5 ) ψ				(4.9а)
для U(1) симметрии и
iατ
ψ → exp		γ5	ψ	(4.9б)
2

для SU(2). Киральная симметрия гарантирует, что все радиационные поправки к массе m, вычисленные в теории возмущений, будут исчезать в пределе m→0. Поэтому поправка δm должна быть пропорциональна m, а зависимость от Λ (даже из соображений размерности) может быть только логарифмической.

Что происходит с поправками к массам калибровочных частиц? В КЭД ненарушенная калибровочная симметрия обеспечивает mγ = 0 во всех порядках теории возмущений. Иначе говоря, калиб-

ровочная инвариантность гарантирует, что члены вида mγ2 Aμ Aμ

могут генерироваться в ненарушенной калибровочной теории за счет радиационных поправок.

Можно ли найти симметрию, которая бы, подобно киральной или калибровочной симметрии, контролировала бы поправки к δm2

– массам скалярных частиц?

Очевидно, что есть фермионные петлевые поправки к −μ2φ+ φ , в

которых частица φ переходит в фермион-антифермионную пару, которая затем аннигилирует в φ-частицу. Этот процесс дает следующий вклад

Λ	4
(−g 2f )∫	d k	φ+ φ ~ −g 2f φ+ φΛ2 .	(4.10)
	k 2

Знак этого выражения существенен, поскольку он возникает за счет замкнутой фермионной петли. Тогда общий однопетлевой вклад

(λ − g 2f )Λ2φ+ φ .

(4.11)

73

λ = g 2f ,

Сразу возникает соблазн приравнять

(4.12)

тогда квадратичная по Λ поправка обратиться в ноль. Именно такое сокращение происходит в SUSY теориях. После сокращения члена с Λ2 две диаграммы для собственной энергии бозона Хиггса дают

~ λ (mH2 − m2f )ln Λ .

(4.13)

Эта поправка может быть ~ mH2 , если все бозоны и фермионы тео-

рии имеют массы, не превышающие нескольких ТэВ.

Частицы, участвующие в механизме сокращения, должны быть приближенно вырожденными (что указывает на приближенный характер SUSY) и не сильно превышать по массе υ (или mН). Такая «бозон-фермионная симметрия» «предохраняет» массы скалярных мезонов от квадратичных расходимостей.

Таким образом, SUSY стабилизирует иерархию mW ,H << mPl в

том смысле, что радиационные поправки не смещают mW ,H к

большему масштабу Λ.

Заметим, что SUSY – лишь одна из теоретических гипотез, разрешающих проблему иерархий. Другие подходы основаны на идеях техницвета, дополнительных измерений, рассматриваемых ниже.

Другие аргументы в пользу SUSY:

а) есть основания полагать (из аппроксимации данных, описы-

ваемых электрослабой теорией),	что масса бозона	Хиггса
mH < 200 ГэВ. В минимальной	суперсимметричной	модели

(MSSM), содержащей два хиггсовских дублета, легкий бозон Хиггса должен быть не тяжелее 140 ГэВ. В СМ содержится ограничение сверху mН < 800 ГэВ.

б) в однопетлевом приближении обратные калибровочные константы α1−1 (Q2 ) , α−21 (Q2 ) , α3−1 (Q2 ) СМ зависят линейно от lnQ2.

Хотя α1−1 (Q2 ) уменьшается, а α−21 (Q2 ) , α3−1 (Q2 ) растут, они не пересекаются, как ожидалось, в одной точке на масштабе

Q2 ~ (1016 ГэВ)2 . В MSSM такое объединение происходит.

74

Теоретические основы MSSM

Идея симметрии оказалась весьма плодотворной как в физике вообще, так и в физике частиц. Можно задать вопрос: используются ли в современных квантовых теориях поля все симметрии, совместимые с лоренц-инвариантностью? Обратимся к симметриям зарядов, известных в СМ. Например, электрический заряд

	Q = e∫ d 3 xψ+ψ						(4.14)
или SU(2) – изоспиновый заряд				τ
T	= g ∫d 3 xψ	+				ψ .	(4.15)
				2

Все эти операторы симметрии являются лоренцевскими скалярами (они не несут лоренцевских индексов, как вектора или спиноры). Если эти операторы действуют на состояние с определенным спином, то они переводят в состояние с тем же спином в пределах мультиплета.

Известен один векторный «заряд» – оператор 4-импульса Pμ ,

генерирующий пространственно-временные смещения, и чьи собственные значения – сохраняющиеся 4-импульсы. Операторы углового момента относятся к антисимметричным тензорам Mμν. Есть ли еще сохраняющиеся тензорные заряды Qμν? Таких зарядов нет.

В самом деле, выберем заряд, действующий на состояние частицы с 4-импульсом p: Qμν p = (αpμ pν + βgμν ) p , правая часть запи-

сана из соображений ковариантности (наиболее общее выражение из имеющихся тензоров).

Далее выберем двухчастичное состояние p(1) , p(2) , и предпо-

ложим, что Qμν аддитивны, сохраняются и действуют в каждый момент времени, как обычные заряды, лишь на одну частицу:

Qμν p(1) , p(2) = (α( pμ(1) pν(1) + pμ(2) pν(2) ) + 2βgμν ) p(1) , p(2) . (4.16)

При упругом рассеянии 1 + 2 → 3 + 4 нужно учесть сохранение собственных значений, т.е.

p(1)	+ p(2)	= p(3)	+ p(4) .	(4.17)
μ	μ	μ	μ

Кроме того

75

p(1) p(1)	+ p(2)	p(2)	= p(3) p(3)	+ p(4)	p(4) .	(4.18)
μ ν	μ	ν	μ ν	μ	ν

Общее решение двух последних уравнений pμ(1) = pμ(3) , pμ(2) = pμ(4)

или pμ(1) = pμ(4) , pμ(2) = pμ(3) .

Эти условия означают, что рассеяние происходит только вперед или только назад. Очевидно, что такое ограничение слишком обременительно.

Вывод: не существует других сохраняющихся операторов (кроме Pμ и Mμν ) с нетривиальными лоренцовскими трансформацион-

ными свойствами (не лоренцовских скаляров). Существование операторов Pμ и Mμν допускает всевозможные процессы рассея-

ния. Допущения других законов сохранения слишком ограничивают возможные конфигурации.

Эти рассуждения, однако, не исключают заряды, преобразующиеся при лоренц-преобразованиях, как спиноры, т.е. как фермионные поля ψ. Обозначим такой заряд Qa , индекс «а» указывает на спинорную компоненту. Для такого заряда

Qa		J =		J ± 1 / 2 .	(4.19)

Такой оператор не дает вклада в матричный элемент упругого рассеяния 1 + 2 → 3 + 4 , так как спины частиц не меняются.

Можно ли включить такие спинорные операторы наряду с Pμ и

Mμν в согласованную алгебраическую схему?

Положительный ответ на этот вопрос в рамках алгебры суперсимметрии был дан Гольфандом и Лихтманом.

Под алгеброй, как обычно, понимается набор коммутационных соотношений между «зарядами», являющимися генераторами соответствующих преобразований симметрии.

Однако «заряды», имеющие спинорный характер, должны антикоммутировать между собой, т.е. алгебра суперсимметрии содержит как коммутационные, так и антикоммутационные соотношения.

Как выглядит эта алгебра? Так как спинорные заряды Qa – опе-

раторы симметрии, они коммутируют с гамильтонианом системы:

76

[Qa , H ] = 0 , а также антикоммутатор двух зарядов коммутирует с

гамильтонианом {Q		,Q	} , H		= 0 .
	a	b
Заметим, что спинорные				Qa имеют две компоненты, следова-

тельно, симметричный объект {Qa ,Qb } = Qa ,Qb + Qb ,Qa имеет три

независимых компоненты, т.е. должен преобразовываться как объект со спином 1 (точно так же, как симметричная комбинация двух волновых функций частиц со спином 1/2). Но в релятивистской теории объект со спином 1 должен описываться 4-вектором, а не 3- векторм. Существует лишь один такой сохраняющийся 4- векторный оператор Pμ . Поэтому Qa должны удовлетворять алгеб-

ре, в которой

{Qa ,Qb } ~ Pμ .

(4.20)

Однако в этом выражении нет баланса индексов справа и слева. Основная идея SUSY: если произвести два SUSY преобразования, генерируемых операторами Qa , получаем оператор энергии-

импульса, т.е. оператор пространственно-временной трансляции или производную. Грубо говоря, спинорные операторы SUSY Qa

ведут себя как корни квадратные из 4-импульсов или как корни квадратные из производных.

Обсуждая корни квадратные из производных, мы существенно расширили концепцию пространства– времени. Наверное, уместна аналогия с введением −1 и расширением вещественной оси в комплексную плоскость.

Таким образом, мы допускаем, что пространственно-временные координаты значительно расширяются за счет включения других степеней свободы, причем новые степени свободы связаны со стандартными степенями свободы преобразованиями, генерируемыми операторами Qa . Эти новые степени свободы – фермионные. SUSY расширяет пространство– время до суперпространства, вводя «фермионные» измерения. Часто говорят, что SUSY (если она точная симметрия) приводит к вырожденности мультиплетов бозонов и фермионов.

77

Спиноры и преобразования Лоренца

Пусть лагранжиан теории содержит набор полей ψr (они могут быть бозонами или фермионами) и пусть лагранжиан инвариантен относительно инфинитезимальных преобразований полей

δε ψr = −iελrs ψs ,

(4.21)

по s производится суммирование, λrs – некоторые постоянные коэффициенты (например, элементы матриц Паули), ε – инфинитезимальный параметр.

Преобразования SUSY выглядят похоже, только бозонные поля

преобразуются в фермионные
δξφ ~ ξψ ,	(4.22)

ξ – инфинитезимальный параметр (он должен быть спинором). Число степеней свободы слева и справа в (4.22) должно быть одинаковым.

Простейший пример бозонного поля – нейтральное скалярное поле, имеющее одну вещественную компоненту: φ = φ+ . С другой стороны, нет фермионного поля с одной компонентой. Спинор имеет, по крайней мере, две компоненты, т.е. нужно рассматривать бозонное поле с двумя степенями свободы, это будет комплексное (заряженное) скалярное поле. Какого типа двухкомпонентное фермионное поле надо подобрать «в пару» к комплексному скалярному полю? Ведь в уравнение Дирака входит не двухкомпонентное, а 4-компонентное поле?

Впростейшем варианте SUSY участвует комплексное скалярное поле и двухкомпонентное фермионное поле. Дираковские поля содержат два двухкомпонентных поля (биспиноры). Дело в том, что две «половинки» 4-компонентного дираковского поля по разному ведут себя при преобразованиях Лоренца.

Левая часть (4.22) содержит комплексное скалярное поле (спина 0), причем его как вещественная, так и мнимая компоненты несут спин 0, т.е. они инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Вправой части (4.22) – двухкомпонентный спинор ψ (спины 1/2), который инвариантен относительно преобразований Лоренца,

но ξ – тоже двухкомпонентный спинор. Как выбрать ξ, чтобы обе части (4.22) имели одинаковые трансформационные свойства?

78

Начнем с уравнения Дирака в импульсном пространстве

								(4.23)
	Ey = (ap + bm) y .
Выберем представление матриц
		0		0		1
	s							(4.24)
a =			,	b =			.
	0	-s			1	0
Тогда гамма-матрицы имеют вид
	0				1		0
		-s		g5 =
g =		,					.	(4.25)
	s	0			0	-1

В этих выражениях s = {sx , sy , sz } –	матрицы Паули.
Представим поле в следующем виде
y		(4.26)
Y =	,
c
тогда для уравнения Дирака получим
(E − σp)ψ = mχ ,		(4.27)
(E + σp)χ = mψ.

Заметим, что при m®0 σp = Eψ0				и E ®				p
sp
			y		0	= Ey	0		.
	p

. В безмассовом пределе

(4.28)

Это уравнение означает, что y0 – собственное состояние оператора

sp

спиральности p с собственным значением +1 (положительная

спиральность). Соответственно, в безмассовом пределе соотношение (4.27) характеризует состояние c0 с отрицательной спиральностью.

При m ¹ 0 y и c не являются собственными состояниями спиральности – массовый член их смешивает. Именно эти двухкомпонентные спиноры y и c имеют вполне определенные лоренцовские трансформационные свойства, и их используют при построении суперсимметричных теорий.

Поля y и c, не являясь собственными состояниями спиральности, будут собственными состояниями оператора g5. Действительно,

79

g5	y			y			g5		0		0
		0		=	0	,				= -	.
								c		c

Эти два собственных g5-состояния можно построить чального поля y, используя проекционные операторы

PR = 1 + g5 =						,
				1	0
	2			0	0
		1 - g5		0	0
PR =			=			.
					1
	2			0
Тогда
y				PL Y =		0
PR Y =		,					.
		0				c

(4.29)

из первона-

(4.30)

(4.31)

(4.32)

Легко проверить, что PRPL=0, PR2 = PL2 =1 . Собственные состояния

g5 называются киральностями: y имеет киральность +1, c имеет киральность –1. По не совсем удачной терминологии, киральность +1 обозначается через R (правая киральность), а киральность –1 – через L (левая), несмотря на то, что y и c при m ¹ 0 не являются собственными состояниями спиральности.

y и c обладают вполне определенными лоренцовскими трансформационными свойствами. Лоренцовские преобразования включают в себя два типа: вращения и сдвиги. Достаточно рассмотреть инфинитезимальные преобразования, которые можно определить по их действию на 4-вектор, например, на 4-вектор энергииимпульса {E, p}. При инфинитезимальном 3-мерном вращении

		E ® E′ = E			(4.33а)
где e = {e1 , e2 , e3} –	p ® p′ = p - e ´ p ,				(4.33б)
	три инфинитезимальных параметра,				опреде-
ляющие вращение.
При преобразованиях сдвига:
					(4.34а)
	E ® E′ = E - h× p ,
					(4.34б)
	p	® p′	= p - hE ,
где h = {h1, h2 , h3} –	три инфинитезимальных скорости.

Таким образом, y и c преобразуются следующим образом:

80