Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА. ВЯЗКОСТЬ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И САМОДИФФУЗИЯ В ГАЗЕ

Приближенные выражения для коэффициентов переноса в газах могут быть получены на основе элементарной кинетической теории, развитой еще в середине XIX в. в работах Клаузиуса и Максвелла и основанной на концепции средней длины свободного пробега молекул. Недостатком элементарной теории оказывается то, что она дает в ряде случаев заметную погрешность в значениях численных множителей при коэффициентах переноса по сравнению с результатами строгой теории. Важными ее достоинствами являются простота и ясный физический смысл самой процедуры вывода соответствующих выражений. Использование элементарной теории приводит в основном к правильным качественным зависимостям коэффициентов переноса от основных параметров газа и эффективных сечений рассеяния частиц. Что касается самих численных множителей в соответствующих выражениях и реальной зависимости коэффициентов переноса от температуры, то их можно скорректировать, опираясь на известные результаты строгой кинетической теории явлений переноса в газах.

Как мы увидим ниже, в случае вязкости и теплопроводности элементарная теория допускает простое обобщение на случай газовой смеси. К сожалению, такой подход оказывается малопригодным при анализе диффузии в газовой смеси, когда массы и эффективные сечения рассеяния молекул ее компонентов существенно различаются. Это еще в большей степени относится к ионизованному газу, где важную роль в явлениях переноса играют частицы малой массы – электроны, диффузия которых под действием электрического поля вносит основной вклад в электропроводность плазмы. По этой причине при рассмотрении диффузионных явлений в газовой смеси и электропроводности плазмы мы будем использовать другой подход, основанный на уравнении баланса импульса для отдельного компонента смеси. Анализу получаемых при этом результатов будут посвящены следующие главы.

141

5.1. Метод средней длины свободного пробега

Элементарная кинетическая теория явлений переноса в газе основана на ряде простых предположений. Выделим в газе произвольную плоскость AB , разделяющую его на две области слева и справа от этой плоскости (рис. 5.1). Пусть в направлении оси X , перпендикулярном этой плоскости, изменяется некоторая величина G , которая характеризует произвольное молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть импульс, энергия, концентрация частиц, электрический заряд частицы и т.д.

G(x) A

B

x

x0 − λ	x0	x0 + λ
	Рис 5.1

Будем предполагать, что полный перенос частиц в газе через поверхность AB отсутствует. Это означает, что слева и справа любой выделенный элемент поверхности пересекает одинаковое число молекул. Число частиц, падающих на единичную поверхность в газе с одной из сторон, вычислялось ранее (см. главу 1) и равно

	ν =	1	n v	,	(5.1)
		4

где v = (8kTπm)12 – средняя тепловая скорость молекул.

142

Следующее предположение состоит в том, что при пересечении плоскости АВ, положение которой определено координатой x = x0 ,

каждая молекула переносит значение величины G(x), соответст-

вующее тому положению молекулы, где она в последний раз испытала столкновение с другими молекулами. Хотя отдельные частицы претерпевают последние столкновения на различных расстояниях от плоскости АВ, можно приближенно считать, что это расстояние равно средней длине свободного пробега молекул λ . Величина λ обычно мала по сравнению с характерной длиной, на которой происходит заметное изменение величины G , поэтому на расстояниях λ справа и слева от плоскости можно представить G в виде

G(x0 ± λ)= G(x0 )± λ ∂∂Gx .

Мы ограничиваемся при этом первым членом разложения в ряд Тейлора около точки x = x0 .

Плотность потока величины G в направлении положительных значений оси X дается выражением

	Γ÷ =	1	n v G(x0 )− λ	∂G		,
		4		∂x

а в направлении отрицательных значений – выражением

	Γ− = −	1	n v G(x0 )+ λ	∂G	.
		4		∂x

Суммарная плотность потока в положительном направлении оси X определяется тогда как

Γ = Γ+ + Γ− = −	1 n v λ	∂G	.	(5.2)
	2	∂x

Полученное соотношение можно рассматривать как общее уравнение переноса величины G .

5.2. Вязкость простого газа

Обратимся к вычислению коэффициента вязкости простого газа на основе элементарной теории. Как следует из анализа, проведенного в главе 3, вязкость или внутреннее трение в газе обусловлены

143

переносом импульса упорядоченного движения молекул в направлении, поперечном по отношению к общему потоку газа. Пусть скорость газа, текущего в направлении оси Y , меняется по закону

u y (x) (см. рис. 3.3). Предполагается, что каждая частица, пролетающая через единичную площадку, расположенную на плоскости AB , несет с собой импульс mu y , определяемый значением скоро-

сти в том слое газа, где произошло последнее столкновение этой частицы. Это означает, что в выражении (5.1) можно положить

G = mu y (x). Для плотности потока импульса в газе тогда имеем

	πyx = −	1	ρλ v	du y	.	(5.3)
		2		dx

Сравнивая (5.3) с соотношением (3.22), получаем выражение для коэффициента вязкости газа

η =	1	ρλ v	,	(5.4)
	2

где

= 8kT 12

ρ = mn , v .

πm

Отметим, что в системе СИ размерность коэффициента вязкости

[η]-(кг/м с) или (Па с) .

В соответствии с результатами предыдущей главы

λ

=

v

=

v

.

(5.5)

ν11

8 n Ω(0,1)

Подставляя (5.5) в (5.4), с учетом соотношения (4.67) находим

1

kT

mkT 1 2

1

η =

=

2π Ω(0,1)

(T ) .

(5.6)

π

Q

11

144

Это выражение позволяет приближенно оценивать значения коэффициента вязкости газа для произвольных потенциалов взаимодействия молекул. Напомним, что для модели твердых сфер

Q11 = πd 2 , и в этом случае

mkT 1 2			1		mkT
η =
			πd 2 = 0,179
	π				d 2 .		(5.7)

Поскольку η~ m , при прочих равных условиях коэффициент

вязкости оказывается тем большим, чем больше масса молекул газа.

Важным выводом, следующим из (5.6) и (5.7), оказывается то, что коэффициент вязкости не зависит от плотности (давления) газа. Этот результат оказался в свое время неожиданным для основоположников кинетической теории газов. Известно, что Максвелл подвергнул его специальной экспериментальной проверке, наблюдая скорость затухания колебаний маятника, подвешенного в газе различной плотности. С тех пор факт независимости вязкости от давления, подтвержденный многими экспериментами, рассматривается как убедительное доказательство справедливости кинетической теории. Причина такого поведения коэффициента вязкости понятна. С понижением давления уменьшается величина плотности n , т.е. число молекул, участвующих в переносе импульса через выделенную поверхность в газе. С другой стороны, при этом обратно пропорционально плотности растет средняя длина свободного пробега λ , т.е. увеличивается результирующий перенос импульса частиц через поверхность. Очевидно, что независимость коэффициента вязкости от давления (или плотности) газа может иметь место лишь до тех пор, пока средняя длина свободного пробега мала по сравнению с характерным размером задачи. В случае течения газа между параллельными плоскостями, например, таким характерным размером является расстояние между пластинами h . Когда λ и h становятся сравнимыми, эффективный коэффициент вязкости начинает убывать с понижением плотности. Нарушение закона Максвелла происходит и в случае плотных газов, что связано с отклонением газа от идеальности. В этом случае коэффициент вязкости

145

может увеличиваться с ростом плотности, что особенно заметно проявляется при низких температурах.

Что касается температурной зависимости вязкости, то зависимость η~T12 , следующая из теории для модели твердых сфер, как

правило, плохо согласуется с экспериментальными данными. Более достоверную температурную зависимость дает, например, исполь-

зование при вычислении Q11(T ) или Ω(0,1) потенциала Сэзерлен-

да, учитывающего наличие сил притяжения молекул. Используем для этого случая результат вычисления эффективного сечения

столкновений Q12(1)(g), который дается формулой (4.33) и для простого газа записывается в виде

			2a(1)			1
Q	(1)(g)= πd 2 1	+
				6			2
			d			mg		.

Подстановка этого выражения в формулу (4.60) дает

∞

C 1

C

Q

(1) = 2πd 2

∫

x3 exp(− x2 ) 1

+

dx = πd 2

1

+

,

11

T x2

T

0

где C = a(1)2kd 2 . Полученный результат означает, что наличие

поля притяжения приводит к увеличению кажущегося диаметра молекулы, которое оказывается существенным при низких температурах. При этом усредненное сечение рассеяния убывает с возрастанием температуры. Для коэффициента вязкости в этом случае приходим к известной формуле Сэзерленда

mkT 1 2			1				1
η =
	π		πd	2				C .			(5.8)
							+
				1
								T

Если из эксперимента известно какое-либо одно значение коэффициента вязкости η0 при температуре T0 , то полуэмпирическое

146

соотношение для определения η при произвольной температуре T записывается как

	T		3 2	T0	+C
η(T )= η0						.	(5.9)
	T			T +C
	0

Для целого ряда газов формула (5.9) хорошо передает температурную зависимость коэффициента вязкости в определенном интервале температур. При этом значения констант C могут несколько отличаться для различных интервалов температур и существен-

но отличаться для разных газов. Так для молекулярного		азота
C =105 в интервале температур T = 293 −1100 К,	а для двуокиси
углерода C = 254 при T = 300 − 550 К и	C = 213	при

T = 550 −1100 К. Значения констант C и соответствующие им интервалы температур для многих других газов можно найти, напри-

мер, в [19].

5.3. Теплопроводность простого газа

Рассмотрим теперь вопрос о теплопроводности газа. Как уже отмечалось в главе 3, необратимый перенос энергии в газе возникает, если среднее значение тепловой энергии молекул или температура газа в разных местах оказывается различной. Предположим, что плоскость AB на рис. 5.1 разделяет области с более высокой и более низкой температурой. В результате хаотического движения частиц из более нагретой области в менее нагретую будут переноситься частицы, обладающие в среднем более высокой энергией, чем частицы, переносимые в обратном направлении. В качестве величины G в уравнении переноса (5.2) должна фигурировать при этом средняя тепловая энергия, приходящаяся на одну молекулу

	3
	E = kT		+ ε(T ) . Производная	∂G ∂x	для одномерного пере-
		2

носа энергии в газе может быть тогда представлена в виде

dG	=	CV		dT	,
dx		N A		dx

147

где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Плотность потока энергии (или тепловой поток) определяется соотношением

qx = −	1	ρcV λ	v	dT .	(5.10)
	2			dx

Выражение для коэффициента теплопроводности принимает в этом случае вид

κ =	1	ρc λ v .	(5.11)
	2	V
Здесь cV = CV M – удельная теплоемкость газа,			M = mN A – мо-

лярная масса. Коэффициент теплопроводности в системе СИ имеет размерность

[κ]- (дж/м с К) .

Для газа одноатомных молекул и модели твердых сфер получаем

3

k 3T 1 2

1

k 3T 1 2

1

κ =

=

2

πm

π 2

0,269

m

d

2 .

(5.12)

d

В отличие от вязкости имеем κ ~

1/

m , т.е. при прочих рав-

ных условиях коэффициент теплопроводности оказывается тем большим, чем меньше масса молекул газа.

Сравнение (5.11) и (5.4) показывает, что коэффициенты теплопроводности и вязкости связаны в общем случае простым соотношением

κ = cV η .

(5.13)

Это означает, что в той области температур, где теплоемкость газа постоянна, для зависимости коэффициента теплопроводности от давления и температуры газа справедливы те же выводы, которые были сделаны выше в случае вязкости. В частности, теплопроводность газа, так же как и вязкость, не зависит от давления, что под-

148

тверждено многочисленными экспериментами. Температурная зависимость теплопроводности газа для многих случаев хорошо воспроизводится полуэмпирическим соотношением, подобным формуле Сэзерленда для вязкости (5.9).

Подчеркнем, что связь между κ и η в форме (5.13) получена в

рамках элементарной теории явлений переноса в газах. О более точных соотношениях между этими коэффициентами для одноатомных и многоатомных газов см. в параграфах 5.5 и 5.6.

5.4. Самодиффузия

Элементарная теория, в принципе, позволяет рассмотреть и процесс диффузии в газах. В общем случае это приводит к необходимости несколько модифицировать исходное уравнение (5.2), принимая во внимание, что частицы различных сортов газовой смеси имеют различные средние длины свободного пробега. К сожалению, такой подход оказывается менее продуктивным, чем в случае вязкости и теплопроводности. В частности, в итоге соответствующих вычислений оказывается, что коэффициент взаимной диффузии бинарной смеси D12 заметным образом зависит от относитель-

ной концентрации компонентов, что не подтверждается на опыте. Приемлемый результат получается при рассмотрении лишь так называемой самодиффузии в газе. При этом речь идет о диффузии какой-то части выделенных или «меченых» молекул в собственном газе, например, диффузии радиоактивного изотопа в смеси частиц с мало отличающимися массами и сечениями рассеяния. В этом случае можно по-прежнему использовать уравнение (5.2), приписывая молекулам компонентов одинаковую среднюю скорость движения

v и одну и ту же среднюю длину свободного пробега λ . Мы

приведем здесь соответствующий результат для коэффициента самодиффузии, хотя более надежный общий метод анализа диффузии в смеси будет рассмотрен в следующей главе.

Как и при анализе предыдущих свойств переноса, полный поток газа через любую поверхность в газовой смеси отсутствует, что соответствует условию n = const. Однако, если вдоль оси X меня-

ется относительная концентрация c1 = n1 n какого-то выделенного

149

компонента, то возникает диффузия этих «меченых» молекул, стремящаяся выравнять их концентрацию в объеме. Плотность диффузионного потока компонента 1 определяется соотношением

(5.2), в котором надо положить G = c1 . В результате

	j	x	= −nD	dc1	,	(5.14)
				dx
			11

где коэффициент самодиффузии D11 равен

D =	1	λ v .	(5.15)
11	2

Размерность коэффициента самодиффузии в системе СИ –

[D11 ]-(м2/с).

Для модели твердых сфер

D	=	1 kT 1 2		1	= 0,179	(kT )3 2		1
				πd 2		p	m		d 2 .		(5.16)
11		n	πm
Как и в случае теплопроводности D11 ~							1	m , т.е. коэффициент

диффузии тем больше, чем меньше масса молекул газа. Существенно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению p и для рассматриваемой модели при p =const меняется

пропорционально T 32 .

Заметим, что коэффициенты самодиффузии и вязкости в элемен-

тарной теории связаны простым соотношением
	ρD11	=1 .	(5.17)
	η

Подводя итог результатам элементарной теории явлений переноса в простом газе, еще раз подчеркнем, что соотношения между коэффициентами переноса (5.15) и (5.17), как и числовые множители в самих выражениях для коэффициентов переноса, получаемых с помощью элементарной теории, могут содержать значительные погрешности. Так, в ряде книг и учебников по молекулярной физи-

150