Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

Приложение 3. Средняя передача импульса и энергии при столкновениях частиц в неизотермической плазме

Общие выражения для среднего изменения импульса и энергии частиц сорта 1 при их столкновениях с частицами сорта 2 имеют вид

R1 = ∫m1 (c1′ − c1 )f1 (c1 )f 2 (c2 )gσ12 (g, χ)sin χ dχdϕ dc1dc2				= (П.3.1)
= μ12 ∫g gQ12(1)(g )f1 (c1 )1 f 2 (c2 )dc1dc2 ,
Q1 = ∫	m1	(c1	2 −c12 )f1 (c1 )f 2 (c2 )gσ12 (g, χ)sin χ dχdϕdc1dc2	= (П.3.2)
	2
= μ12 ∫(g U)gQ12(1)(g)f1 (c1 )1 f 2 (c2 )dc1dc

Здесь cα = vα −u – собственная скорость частиц и U = G −u –

скорость центра масс сталкивающихся частиц в системе отсчета, движущейся со среднемассовой скоростью смеси u . При этом используются соотношения

m1c1 = m1U −μ12g , m2c2 = m2U +μ12g ,

где g = c2 −c1 – относительная скорость частиц. Функции распределения частиц сорта α задаются в виде

fα = fα(0)(1+ 2γαwα cα ) ,
	γ			32		m
fα(0) = nα		α		exp(− γαcα2 ),	γα =	α	.
	π
						2kTα

Введем переменную X , связанную с U и g соотношением

γ1c1 + γ2c2

μ12

γ1

γ2

X =

= U + γ

γ

1

+ γ

2

1

+ γ

m

− m

2

g .

2

1

(П.3.3)

(П.3.4)

(П.3.5)

(П.З.6 )

Нетрудно показать, что произведение f1(0) f2(0) в этом случае может быть представлено в виде

		γ	1	γ	2		32
f1(0) f2(0) = n1n2							exp(− γ1c12 − γ2c22 )=
		π2

231

	n n						γ		1	+ γ	2		32			γ		12		32				exp[−(γ						+ γ						)X 2 ]exp(− γ							g 2 )
=																																												,
										π							π
	1	2																											1					2							12
где																							γ1γ2
																γ12			=								.
																					γ
																							1	+ γ		2
	Используя (П.3.4) и оставляя в произведении f1 f2																																								линейные от-
носительно w1 и w2 члены, имеем
	f	1	f	2				= f (0)				f (0)		(1+ 2 γ								w		1	c + 2 γ					2	w	2			c		2	)	=
										1		2							1						1
	n n		γ					1		+ γ	2		32			γ	12		3		2		exp[− (γ							+ γ					)X 2				]exp(− γ			g 2 )×
=
										π						π
	1	2																										1					2							12
										×[1 + 2(γ1w1 + γ2 w 2 ) X − 2γ12 (w1 − w 2 ) g].																																		( П.3.7)

Для вычисления R1 подставим (П.3.7) в (П.3.1) и учтем, что

dc1dc2 = dX dg , где dX = 4πX 2 dX , dg = 4πg 2 dg . Интегрирование

по переменной X можно произвести до конца. При этом часть интегралов обращается в нуль из-за нечетности подынтегральных выражений по X , а оставшиеся интегралы приводят к результату

Здесь							R1 = −n1μ12ν12 (w1 − w2 ) .													(П.3.8)
						m1m2					4 n
			μ		=					ν =					g			Q(1)
				12				,						2		12				,
						m	+ m			12	3							12
								2
					1
Q(1)		∞	x5 exp(− x2 )Q(1)(γ−1 2 x)dx ,															4	1 2
	=	∫										g	12		=					. (П.3.9)
12								12		12								πγ12
		0

Для расчета Q1 заметим, что с учетом (П.3.6)

(g U)= (g X)−	1			μ		12			1	1
										−		.	(П.3.10)
	2k		γ	1	+ γ				T		T
							2		1	2

Подставляя (П.3.10) и (П.3.7) в (П.3.2), после интегрирования по X приходим к результату

232

Q = −3k	μ12	ν	(T −T	)	.	(П.3.11)
1	12		1 2
	m1 + m2

Полученные выражения легко обобщаются на случай многоком-

понентной неизотермической плазмы. В этом случае
		Rα = −∑nαμαβναβ						(wα − wβ )		,	(П.3.12)
			β≠α
	Qα = −3k∑				μαβ		nαναβ (Tα −Tβ ) .				(П.3.13)
				m	+ m
			β≠α		α	β
Для изотермической плазмы (T1 =T2 =T ) имеем
		μ12						8kT	1 2
					g12
γ12	=		,			=			.
		2kT						πμ12

В этом случае выражение для R1 (П.3.5) переходит в полученную в главе 4 формулу (4.77), где ν12 определяется выражениями

(4.78) и (4.79).

233

Приложение 4. Расчет «термосилы»

Для вычисления «термосилы»

R 1T

используем общее выраже-

ние для R1 (П.3.1), в котором

(0)

2

5

fα =

fα

1 + aα

cα + bα c

α γαcα −

,

(П.4.1)

2

γ

α

32

exp(− γαcα2 )

m

α

fα(0) = nα

,

γα =

.

π

2kT

(Здесь

используется

однотемпературное приближение (Tα =T )).

Коэффициенты aα

и bα

выражаются через диффузионную ско-

рость wα

и приведенный тепловой поток hα

aα = 2γαwα

,

bα =

4

γα

hα

.

(П.4.2)

5

pα

Вычисление термосилы связано с учетом третьего члена в разложении (П.4.1), пропорционального коэффициентам bα . В этом случае при учете лишь тех членов, которые линейны относительно коэффициентов bα , имеем

	(0)	(0)					2		5						2		5
f1 f2 =	f1	f2	1	+ b1	c1		γ1c1	−			+ b2	c2		γ2c		−			. (П.4.3)
									2								2

С использованием (П.3.1) выражение для «термосилы принимает вид

R1T == μ12 ∫g gQ12(1)(g )f1 (c1 )1 f 2 (c2 )dc1dc2 , (П.4.4)

где произведение f1 f2 определяется выражением (П.4.3). Перейдем к переменным U и g в системе центра масс сталкивающихся частиц в соответствии с соотношениями (П.3.3). Произведение f1(0) f2(0) записывается в этом случае как

		γ	1	γ	2		32
f1(0) f2(0) = n1n2							exp(− γ1c12 − γ2c22 )=
		π2

234

γ

1

+ γ

2

3

2

γ

12

32

= n1n2

exp[− (γ1

+ γ2 )U 2 ]exp(− γ12 g 2 ), (П.4.5

π

π

где γ12

= μ12

2kT .

Выражение в квадратных скобках (П.4.3) можно представить в виде

μ

μ

2

5

12

g

−

12

−

m

m

1 + b1 U −

γ1

U

g

2 +

1

1

μ12

μ12

2

5

+b

U +

g γ

U +

g

−

. (П.4.6)

2

m2

2

m2

2

Заметим

также,

что

dc1dc2 = dU dg ,

где dU = 4πU 2 dU ,

dg = 4πg 2 dg .

Раскрывая скобки в выражении (П.4.6), мы сохраним для дальнейших операций лишь те члены, которые являются четными относительно переменной U , поскольку после подстановки (П.4.5) и

(П.4.6) в выражение для R1T (П.4.4) интегрирование по dU обра-

щает в нуль все интегралы, содержащие нечетные степени относительно переменной U . Остающиеся линейные относительно коэффициентов b1 и b2 члены можно записать в виде

μ

12

μ

12

[gU

2

+ 2U(U g)]+

γ2b2

− γ

1b1

m

2

m

1

μ12

3

μ12

3

2

5

b2

b1

g.

+

m

−

2

μ12

− m

γ2b2

m

2

− γ1b1

g g

m

2

1

1

Введем обозначения

γ

1

+ γ

2

3 2

F(U 2 )= 4πU 2

exp[− (γ1

+ γ2 )U 2

]

,

π

γ

12

3

2

Φ(g 2 )= 4πg

2

exp(− γ12 g 2 ).

π

235

Нетрудно показать, что после подстановки соответствующих выражений в (П.4.4) вычисление R1T сводится к расчету интеграль-

ных выражений, которые удовлетворяют следующим соотношениям

∫g (A g)gQ12(1)(g)U 2 F(U 2 )Φ(g 2 )dUdg =

=			1				3	(1)		2		2	Φ			2			,
					A∫	g		Q12	(g)U		F(U		)		(g		)dUdg
			3
∫g (A U)(U g)gQ12(1)(g)U 2 F(U 2 )Φ(g 2 )dUdg =
=			1				3	(1)		2		2	Φ			2			,
					A∫	g		Q12	(g)U		F (U		)		(g		)dUdg
			9
∫g (A g)g 2 gQ12(1)(g)U 2 F (U 2 )Φ(g 2 )dUdg =
= 1						5		(1)			2 Φ		2					.
			A∫			g	Q12 (g)F (U				) (g			)dUdg
	3

Далее выполняется интегрирование по переменной U с использованием выражений, приведенных в Приложении 1,так что

∞∫F(U 2 )dU =1 ,	∞∫U 2 F(U 2 )dU =	3		1	.
0	0	2 γ1 + γ2

Собирая вместе результаты интегрирования отдельных членов, входящих в выражение для R1T , получаем окончательно

	T		16							(1,2)		5						b1
														(1,1) b2
R	1	=			n n	μ	12	kT	Ω	12	−		Ω	12			−		. (П.4.8)
			3									2						m2
					1 2										m2
																2		1

Входящие в эту формулу Ω-интегралы приводятся в главе 4 и имеют вид

(A,r )		k T	1 2 ∞		2r+3		2	(A)
Ω12	=			∫x		exp(− x		)Q12	(g)dx .
		2πμ
		12		0

Определим коэффициент бинарной диффузии смеси выражением (см. формулу (6.8) главы 6)

[D	]	=	3		kT
12	1	16 nμ12Ω12(1,1)

и введем величину

236

C

Ω(1,2)

=

12

.

3Ω(1,1)

12

12

Используя связь между bα и hα

(П.4.2), выражение для

R1T мож-

но тогда представить в виде

T

n1n2kT

h2

h1

R1

=

μ12ξ12

−

,

(П.4.9)

n[D

]

m

2

p

2

m p

где

12

1

1 1

ξ

=

6

C

−1 .

12

5

12

Именно в такой форме выражение для «термосилы» используется в главе 6.

237

Список использованной литературы

1.Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

2.Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989.

3.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976. (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.V).

4.Ландау Л.Д., Лифшиц. Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.VI).

5.Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975.

6.Смирнов Б.М. Физика слабо ионизованного газа. М.: Наука, 1972.

7.Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. М.: Атом

издат, 1964.

8. .Митчнер М., Кругер Ч. Частично ионизованные газы. М.: Мир, 1976.

9.Де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.:

Мир, 1964.

10.Гиршфелдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

11 Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976.

12.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1976. (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.I).

13.Мак-Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах.

М.: Мир.1967.

14.Мак-Даниель И., Мэзон И. Подвижность и диффузия ионов в газах. М.: Мир, 1976.

15.Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М.: Мир, 1965 .

16.Елецкий А.В., Палкина Л.А., Смирнов Б.М. Явления перноса в слабоионизованном газе. М.: Атомиздат, 1975.

17.Браун С. Элементарные процессы в плазме газового разряда. М.: Госатомиздат,1961.

238

18.Жданов В.М. Процессы переноса в многокомпонентной плазме. М.: Физматлит, 2009.

19.Голубев И.Ф., Гнездилов Н.Е. Вязкость газовых смесей, М.: Стандартгиз, 1971.

20.Савельев И.В. Курс общей физики . Т.1. Механика и молеку лярная физика. М. Наука, 1975.

21.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молеку лярная физика. М.: Наука,1979.

22.Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1981.

23.Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971.

24.Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении

//Термодинамика газов, М.: Машиностроение, 1970.

25.Мейзон.Е. Перенос в нейтральном газе. // Кинетические процессы в газах и плазме, под ред. А.Хочштима. М.: Атомиз-

дат, 1972.

26.Present R.D. Kinetic theory of gases McGraw –Hill. New York, 1958.

27.Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М.: ИИЛ,1959.

28.Франк-Каменецкий Д.А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Интеллект, 2008.

29.Жданов В.М., Каган Ю.М., Сазыкин А.А. // ЖЭТФ. Т.42. С.857, 1962.

30.Жданов В.М. Тайны разделения изотопов. М.: МИФИ., 2004.

31.Грю К.Э., Иббс Т.Л. Термическая диффузия в газах. М.: ГИТТЛ, 1956.

32.Furry W.H. // Amer. J. Phys. v.16 . p.63, 1948.

33.Грэд Г. Кинетическая теория газов //. Термодинамика газов. М.: Машиностроение, 1970. C.5.

34.Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц плазмы. М.: Атомиздат, 1969.

35.Хохштим А., Массель Г. Вычисление коэффициентов переноса

вионизованных газах. // Кинетические процессы в газах и плазме, под ред. А.Хочштима. М.: Атомиздат, 1972.

36.Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы тео-

рии плазмы, под ред. М.А. Леонтовича. Вып.1. М.: Госатомиздат, 1963. С.183.

239

Владимир Михайлович Жданов

Явления переноса в газах и плазме

Учебное пособие

	Редактор Н.В. Егорова
Подписано в печать 20.11.2008.			Формат 60 ×84 1/16
Печ.л. 15,0.	Уч.-изд. л.	15,5.	Тираж 150 экз.
Изд. № 4/19.		Заказ № 2-2416

Московский инженерно-физический институт (государственный университет) 115409, Москва, Каширское ш., 31

Типография издательства «Тровант». г. Троицк Московской области