Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

ному коэффициенту ϕ. Коэффициенты χ и ϕ связаны соотношением χ = −Te (ϕσ), что вытекает также из выполнения соотноше-

ний симметрии Онзагера в рамках термодинамики необратимых процессов.

Выражение для потока тепла (8.35) можно записать в другой форме, когда в качестве параметров, вызывающих появление потока тепла, выступают градиент температуры и приложенное к плазме электрическое поле E . Для этого достаточно подставить в (8.35) выражение для j (8.26). В результате получаем

	qe = −	5		kTe	j − κ′e Te − ψ E .		(8.37)
		2 e
	При этом
					ϕ2
	κ′e = κe − ϕχ = κe +Te σ ,					ψ = ϕTe	(8.38)

Подчеркнем, что истинной электронной теплопроводности в плазме соответствует именно коэффициент κe , а не κ′e , посколь-

ку экспериментально коэффициент теплопроводности определяется в стационарных условиях, когда диффузионный поток уже отсутствует. Действительно, градиент температуры в соответствии с выражением (8.26) вызывает перенос заряда, который создает вторичное электрическое поле, связанное с накоплением заряда. Появление этого поля приводит к тому, что в стационарном состоянии плотность тока j обращается в нуль, иначе происходило бы неог-

раниченное нарастание электрического поля.

Рассмотрим еще вопрос об электронной теплопроводности слабоионизованной плазмы, воспользовавшись результатами строгой теории для лоренцевской плазмы. В этом случае коэффициент электронной теплопроводности κ′e , фигурирующий в соотношении

(8.37 ), определяется как [ 8]

8 k 2n T

x4

5

2

κ′e =

e e

∫

x2

−

2

exp(− x2 )dx .

(8.39)

π

m

ν

en

(v)

3

e

221

Истинная электронная теплопроводность κe определяется при этом из соотношения (8.38), где σ и ϕ в лоренцевском приближе-

нии определялись ранее.

Для произвольной степени ионизации можно использовать правило смеси Фроста. Выражение для κ′e для этого случая приведено

в [8 ]. За основу берется лоренцевское выражение (8.39), в котором вместо νen (v) подставляется выражение

νF′ = ν	en	(v)+
κ

Соответственно κe

8πni

me

1 2

Ze

2

2

1,012

ln Λ . (8.40)

2kT

4πε

m

v

2

0

e

e

определяется из соотношения (8.38), в кото-

ром ϕ и σ заменяются на ϕF и σF .

8.4. Вязкость плазмы

Тензор вязких напряжений πrs , который входит в уравнение

движения плазмы (7.11), в отсутствие магнитного поля определяется обычным линейным соотношением

	πrs = −2ηSsr ,			1		∂ur		∂us			1
		,	Srs =				+			−		δrs u	, (8.41)
				2		∂xs					3
								∂xr

где коэффициент вязкости плазмы η равен сумме парциальных вязкостей компонентов

η = ∑ηα .

α

Рассмотрим сначала случай полностью ионизованной плазмы, образованной из электронов и однократно заряженных ионов. Используя формулу Васильевой (5.37), имеем

ηe =

ηee

η

=

ηii

1 + Gei

ni

,

i

1+Gie

ne .

(8.42)

n

n

e

1

222

Для вязкостей чистых компонентов можно воспользоваться формулой (8.18), из которой с учетом связи междуναβ и Ω(αβ2,2) для кулоновских взаимодействий следует

ηee =	5	ne kTe	=	5 pe τee ,	ηii =	5	ni kTi	=	5 pi τii , (8.43)
	3 νee			3		3 νii			3

где νee и νii определены выражениями (7.37) и (7.38). Величины Gei и Gie в соответствии с выражением (5.46) и используя (6.8) и (8.18 ), можно представить как

6

kT

η

= 2

νei

=

2 ,

Gei

=

e

ee

5 me p Dei

νee

6 kTi

ηii

me νie

1 2

me

Gie =

= 2

~

.

5

m p

D

m

ν

ii

m

i

ie

i

i

Таким образом, в пренебрежении малыми членами ~ (me mi )12 , имеем

ηe =		1		ηee ,	ηi = ηii .	(8.44)
		+	2
1

Заметим теперь, что в соответствии с (8.35) и определениями νee

и νii

ηe ~ m1e 2Te5 2 / ln Λ ,

ηi ~ mi1 2Ti5 2 / ln Λ

Очевидно, что при Te = Ti

ηe ηi ~ (me mi )1 2 <<1 ,

(8.45)

Отсюда следует, что вкладом электронной вязкости в полную вязкость плазмы можно пренебречь. Для неизотермической плазмы

при Te > Ti вклад ее может сравняться с вкладом вязкости ионов,

если выполняется условие Te /Ti ~ (mi me )1 5 .

С учетом определения νii (.7.38) выражение для ионной вязкости (8.43)) запишется в виде

223

пени ионизации плазмы сильевой (5.37) имеем

ηi

=

5

pi τii = 0.48,

4πε

0

2

m

i

(kT )5 2

3

i

.

(8.46)

Z 2 e2

ln Λ

Расчет ионной вязкости методами строгой теории (с учетом двух полиномов Сонина в разложении функции распределения) приводит к выражению [36]

			4πε	0	2	mi (kTi )5 2
	ηi	=1,92 pi τii = 0,55					.	(8.47)
			Z 2e2			ln Λ

Рассмотрим теперь случай частично ионизованной плазмы, образованной из электронов, ионов ( Z =1 ) и нейтральных атомов того же сорта ( mi = mn = m) . Анализ показывает, что вкладом вязкости

электронного компонента можно пренебречь и в этом случае, поэтому вязкость будет определяться ионным и атомным компонентами, относительный вклад которых существенно зависит от сте-

α = ni (ni + nn ). На основе формул Ва-

η =

ηii

+

ηnn

.

(8.48)

1+G

1−α

1+G

α

α

ni 1

−α

in

Параметры Gin

и Gni определяются как

G

= 6

ηii

,

G

ni

= 6

ηnn

,

ρ = mp .

in

5

ρDin

5 ρDni

kT

При низких степенях ионизации основной вклад в вязкость будет вноситься нейтральным компонентом. С ростом степени ионизации заметную роль начинает играть ионный компонент. Поскольку среднее эффективное сечение ион-ионных столкновений при сравнимых температурах оказывается на два-три порядка больше, чем соответствующее сечение столкновений нейтрал-нейтрал, это приводит к заметному падению вязкости плазмы в том диапазоне степеней ионизации, где вклад ионной вязкости становится существенным. В области полной ионизации вязкость плазмы опять начинает расти с температурой в соответствии с формулой (8.47) по

закону ηi ~Ti52 . В качестве примера на рис. 8.1 представлены ха-

224

рактерные зависимости вязкости частично ионизованного гелия от температуры. Кривые 1, 2,3 соответствуют расчетным значениям вязкости гелия в состоянии ионизационного равновесия при значениях давлений p =0,01 атм, p =0,1 атм и p =1 атм соответственно.

Характер зависимостей полностью подтверждает высказанные выше соображения.

	η, Па с
	1
10−4	2	3

10−5

8	16	24	T 10−3 ,0 K
	Рис. 8.1

8.5. Влияние магнитного поля на коэффициенты переноса

Как следует из вывода обобщенного закона Ома, проведенного в предыдущей главе, магнитное поле заметным образом влияет на перенос заряженных частиц поперек магнитного поля. При этом наряду с обычным коэффициентом электропроводности σ, который остается тем же для компоненты плотности тока, параллельной магнитному полю, возникают еще два коэффициента: поперечная электропроводность σ и холловская электропроводность σH .

Если в плазме имеется градиент температуры, то в присутствии магнитного поля усложняется и та часть выражения для плотности тока проводимости (8.29), которая связана с учетом вклада термодиффузии электронов. Соответствующий обобщенный закон Ома принимает в этом случае вид [8,18]

225

j = σ

E

+ σ E + σH (k ×E )+

+ ϕ

Te + ϕ Te + ϕH (k × Te ) .

(8.41)

Здесьϕ

= ϕ, а коэффициенты ϕ и ϕH так же, как σ

и σH

зависят от величины магнитного поля и заметно уменьшаются с ростом величины параметра Холла для электронов. Общие выражения для них можно найти в [8, 18, 35].

В присутствии магнитного поля усложняется и выражение для электронного теплового потока qe которое приобретает вид, по-

добный представлению обобщенного закона Ома. Формальное выражение для него можно записать как

q

e

−

5

kTe

j = −κ

T − κ

T − κ

H

(k × T

)+

2

e

||

||

e

e

e

+ χ

j

+ χ

j

+ χ

H

(k × j)

.

(8.42)

|| ||

Здесь κ

= κe , χ

= χ ,

а поперечные и холловские коэффициен-

ты теплопроводности κ . и κH , а также соответствующие коэффициенты χ и χH определяются выражениями, зависящими от

величины магнитного поля. Характер их зависимости от электронного параметра Холла близок к аналогичным зависимостям, полученным выше для поперечной и холловской электропроводности. Различные представления этих величин в зависимости от используемых методов расчета можно найти в [8,18,35 ].

Что касается вязкости, то влияние магнитного поля на нее, связано с ионным параметром Холла βi = ωi τii . С ростом магнитного поля зависимость вязкости от него проявляется гораздо позже, чем влияние электронного параметра Холла (βe >> βi ) на другие коэф-

фициенты переноса. Из-за симметричности тензора вязких напряжений он имеет пять независимых компонент и поэтому при наличии магнитного поля характеризуется пятью коэффициентами вязкости. Если в декартовой системе координат магнитное поле направлено вдоль оси z , то только компонента πzz имеет тот же вид,

что и в отсутствие магнитного поля, с обычным коэффициентом

226

вязкости, определяемым полученными выше выражениями. Остальные компоненты тензора и соответствующие поперечные коэффициенты вязкости зависят от ионного параметра Холла. Структура соответствующих выражений для компонент тензора вязких напряжений и сами коэффициенты вязкости приводятся в работах

[35, 36].

227

Приложение 1. Интегралы от распределения Максвелла

Все встречающиеся в тексте интегралы от максвелловского распределения могут быть получены из основного интеграла

I = ∞∫exp(− x 2 )dz .

−∞

Для его вычисления воспользуемся следующим приемом. Запишем тождественный интеграл через переменную y и перемножим их. В

результате

I 2 = ∞∫ ∞∫exp[−(x2 + y2 )]dxdy .

−∞ −∞

Будем теперь рассматривать x и y как полярные координаты на плоскости и перейдем к новым переменным

x2 + y 2 = r 2 ,

dxdy = rdrdϕ .

Интеграл I 2 в новых переменных легко вычисляется

I 2 = ∞∫exp(− r 2 )dr	2∫πdϕ = π∞∫exp(− r 2 )dr 2 = π .
0	0	0

Для исходного интеграла получаем результат

∞		2	)dz	= π .
−
∫exp(	x

−∞

Используя подстановку z 2 = a x2 , dz =	a dx , имеем
∞∫exp(− a z 2 )dz =	aπ .
−∞

Дифференцированием по параметру a получаются формулы

∞			2				π		−3 2
	2
∫z		−	a z )dz	=				a		,
							2
		exp(
−∞
∞∫z 4 exp(− a z 2 )dz =					3		π a −5 2 ,
					4
−∞

………………………………………………….

228

В пределах от 0 до ∞ интегралы с четными степенями

z в два

раза меньше приведенных выше значений.

Для нечетных степеней

z

интегралы в пределах от−∞ до+ ∞

равны нулю. Интегралы с нечетными степенями z

в пределах от 0

до ∞ берутся подстановкой a z 2

= u

и интегрированием по час-

тям

∞

∞

2

1

1

∫z exp(−a z

)dz =

∫exp(−u)du =

,

2a

2a

0

0

∞

3

2

1

∞

1

∞

1

∫z

−

a z )dz

=

−

=

−

u)du

=

.

2

2

exp(

2a

∫u exp( u)du

2a

2 ∫exp(

2a

0

0

0

Общие выражения для интегралов при целых значениях

n

n – четное число

∞∫z n exp(−a z 2 )dz =

π

1

3

5

n −1

a −(n+1) 2

;

2

2

2

2

0

2

n – нечетное число

∞

exp(−a z

)dz

1

−(n+1) 2 n −1

∫z

n

2

=

a

!

2

0

2

229

		Приложение 2.			Таблицы Ω - интегралов
		Ω(2,2)
T	Ω(1,1)		T		Ω(1,1)	Ω(2,2)	T	Ω(1,1)	Ω(2,2)
0,30	2,662	2,785	1,65		1,153	1,264	4,0	0,8836	0,9700
0.35	2,476	2,628	1,70		1,140	1,248	4,1	0,8788	0,9649
0,40	2,318	2,492	1,75		1,128	1,234	4,2	0,8740	0,9600
0,45	2,184	2,368	1,80		1,116	1,221	4,3	0,8694	0,9553
0,50	2,066	2,257	1,85		1,105	1,209	4,4	0,8652	0,9507
0.55	1,996	2,156	1,90		1,094	1,197	4,5	0,8610	0,9464
0,60	1,877	2,065	1,95		1,084	1,186	4,6	0,8568	0,9422
0,65	1,798	1,982	2,0		1,075	1,175	4.7	0,8530	0,9382
0.70	1,729	1,908	2,1		1,057	1,156	4.8	0,8492	0,9343
0,75	1,667	1,841	2,2		1,041	1,138	4.9	0,8456	0,9305
0,80	1,6612	1,780	2,3		1,026	1,122	5,0	0,8422	0,9269
0,85	1,562	1,725	2,4		1,012	1,107	6,0	0,8124	0,8963
0,90	1,517	1,675	2,5		0,9996	1,093	7,0	0,7896	0,8727
0,95	1,476	1,629	2,6		0,9878	1,081	8,0	0,7712	0,8538
1,00	1,439	1,587	2,7		0,9770	1,069	9,0	0,7556	0,8379
1,05	1,406	1,549	2,8		0,9672	1,058	10,0	0,7424	0,8242
1,10	1,375	1,514	2,9		0,9576	1,048	20,0	0,6640	0,7432
1,15	1,346	1,482	3,0		0,9490	1,039	30,0	0,6232	0,7005
1,20	1,320	1,452	3,1		0,9406	1,030	40,0	0,5960	0,6718
1,25	1,296	1,424	3,2		0,9328	1,022	50,0	0,5756	0,6504
1,30	1.273	1,399	3,3		0,9256	1,014	60,0	0,5596	0,6335
1.35	1,253	1,375	3,4		0,9186	1,007	70,0	0,5464	0,6194
1,40	1,233	1,353	3,5		0,9120	0,9999	80,0	0,5352	0,6076
1,45	1,215	1,333	3,6		0,9058	0,9932	90,0	0,5256	0,5973
1,50	1,198	1,314	3,7		0,8998	0,9870	100,0	0,5130	0,5882
1,55	1,182	1,296	3,8		0,8942	0,9811	200,0	0,4644	0,5320
1,60	1,167	1,279	3,9		0,8888	0,9755	300,0	0,4360	0,5016

230