ет, например, план, насчитывающий всего 24 опыта (без учета их повторения). Если при этом известно, как отличаются один от другого результаты опытов при их повторении, то можно оценить точность модели и, если она недостаточна, увеличить число повторений опытов.

Из-за большой эффективности в теории планирования эксперимента рассматривают почти исключительно многофакторные эксперименты.

3.2. Основные задачи планирования эксперимента

Задача 1. Планирование эксперимента с целью математического описания объекта.

Целью экспериментального исследования здесь является получение эмпирической математической модели объекта, т.е. поиск зависимости каждой из выходных величин объекта от варьируемых факторов. Например, требуется поставить эксперимент для получения зависимости прорастания семян ржи (отклик) от варьируемых факторов (влияния температуры, влажности, мощности СВЧизлучения, частотного интервала) [7]. Во многих других отраслях задачи подобного типа встречаются наиболее часто.

Задача 2. Планирование отсеивающих экспериментов.

Число варьируемых факторов в задаче 1 не должно обычно превышать шести–восьми при детальном изучении объекта. В противном случае эксперимент становится трудоемким из-за непомерно большого числа опытов. Между тем протекание сложного физического процесса сопровождается воздействием на него десятков и даже сотен факторов. Так, на развитие планктона в океане влияет множество факторов: температура, наличие химических ингредиентов, интервал и мощность УФ-излучения и др. Следует иметь в виду, что только небольшое число факторов из общего их количества оказывает существенное воздействие на процесс развития исследуемого объекта. Влияние именно этих факторов и подлежит исследованию в первую очередь. Таким образом, мы приходим к идее двухэтапной постановки эксперимента. На первом этапе сле-

48

дует из большого числа варьируемых факторов выделить важнейшие факторы, определяющие протекание процесса. Для этого ставится специальный эксперимент, называемый отсеивающим. На втором этапе изучается влияние на объект выявленных важнейших факторов. Это можно сделать, решая первую задачу планирования эксперимента.

Задача 3. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.

Целью этого эксперимента является отыскание таких значений варьируемых факторов, при которых выходная величина объекта принимает экстремальное, т.е. максимальное или минимальное значение. Например, изучается процесс влияние электромагнитного излучения на функционирование биологических объектов. Требуется определить, при какой плотности потока энергии электромагнитного излучения частотном интервале этого излучения происходит угнетение или интенсификация роста исследуемого биологического объекта. Или в ходе исследования процесса требуется выяснить, при каких варьируемых входных факторах обеспечивается наибольший эффект подавления развития биологического объекта. Методы планирования эксперимента, предназначенные для решения таких задач, позволяют рекомендовать особую процедуру последовательного проведения экспериментов, которая приводит в область оптимального (в указанном смысле) протекания процесса.

Задача 4. Планирование экспериментов с качественными факторами.

Эксперименты с качественными факторами выделены в отдельную группу, прежде всего, из-за того, что метод их обработки (дисперсионный анализ) отличается от распространенного метода обработки экспериментов с количественными факторами в задаче 1 (регрессионный анализ). Специфичны также методы, позволяющие планировать проведение таких экспериментов в условиях неоднородностей при ограниченном числе поставленных опытов.

Задача 5. Планирование эксперимента при изучении свойств смесей.

49

Пусть объектом исследования является смесь некоторого числа компонентов, а варьируемыми факторами – процентное содержание каждого из них в смеси. Тогда в сумме величины всех этих факторов составляют 100 %, т.е. варьируемые факторы в данном случае независимыми не являются. Для решения подобных задач планирования эксперимента разработаны специальные методы, которые не рассматриваются в данной работе. Кроме перечисленных, следует отметить динамические задачи планирования эксперимента, выбор и уточнение констант теоретических моделей [8], выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений.

50

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИССЛЕДУЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1. Основные виды математических моделей, применяемых при исследованиях

В основе обработки результатов активного и пассивного эксперимента с количественными факторами лежит регрессионный анализ [4]. Он включает метод отыскания параметров математической модели и статистическую обработку данных. Зависимость выходной величины (отклика) у от варьируемых факторов Х1, Х2,… Хk, полученная с применением регрессионного анализа, называется

регрессионной моделью:

y = f (X1, X2 ,...Xk )

(4.1)

– это обозначение некоторой функции от варьируемых факторов,

называемой функцией отклика.

Регрессионная модель, таким образом, является частным случаем математической модели объекта. Выходных величин может быть несколько. Например, в процессе моделирования воздействия внешней среды на биологический объект могут измеряться температура, габариты, концентрация контролируемого параметра. Тогда зависимость вида (4.1) строится для каждого отклика. При этом, если по результатам каждого опыта замеряются сразу все отклики, то по сравнению со случаем единственной выходной величины возрастают только затраты на измерение нескольких откликов и на обработку результатов эксперимента.

Построенная регрессионная модель позволяет получить информацию о самом объекте и о способах управления им. С помощью регрессионной модели легко оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину; модель может послужить основой для оптимизации процесса. Существенно, что вид регрессионной модели должен быть задан заранее, или до проведения эксперимента следует выбрать, к какому классу относится функция y = f (Х1, Х2,… Хk). Например, можно искать регрессионную модель в виде многочлена (полинома) определенного по-

51

рядка, либо в виде экспоненты, тригонометрического многочлена и т.д. Таким образом, при планировании эксперимента для математического описания объекта по результатам опытов рассчитываются только значения констант в регрессионной модели. Если, например имеется единственный варьируемый фактор Х1, а моделью является экспонента y = В0еxp(В1 Х1), то для построения модели в явном виде следует по результатам эксперимента вычислить значения коэффициентов В0 и В1. Возникает вопрос: как выбирается вид регрессионной модели? Здесь исследователю должны помочь знания об объекте, которыми он располагал до постановки эксперимента, – априорная информация (от латинского а рriоri – до опыта), т.е. все возможные исследования данного объекта, проведенные ранее экспериментаторами и теоретиками, сведения, накопленные технологами и производственниками.

Поскольку вид регрессионной модели постулируется, задается до проведения эксперимента, остается пока открытым вопрос о достоверности такой модели. Чтобы оценить применимость построенной модели, соответствие ее исследуемому объекту, в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура,

называемая проверкой адекватности регрессионной модели. По результатам этой проверки исследователь имеет возможность принять или отвергнуть гипотезу о том, соответствует ли построенная модель результатам эксперимента и, следовательно, пригодна ли она для описания объекта. Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых регрессионные модели объектов представляются в виде многочленов первого и второго порядка от варьируемых факторов. Модель в виде многочлена первого порядка сокращенно называют регрессионной моделью первого порядка, или линейной. В общем случае при наличии варьируемых факторов Xi линейная регрессионная модель объекта имеет вид

y = B0 + B1 X1 + B2 X 2 +.. + Bk X k ,

(4.2)

где В0, В1, В2,…, Вk – коэффициенты, числовые значения которых определяются по результатам эксперимента. Их называют коэффициентами регрессии, а уравнение (4.2) или, в общем случае, (4.1) – уравнением регрессии. Коэффициенты В0, В1, В2,….Bk, стоящие пе-

52

ред обозначениями факторов Х1, Х2,…. Хk, называют линейными коэффициентами регрессии, а коэффициент В0 – свободным членом.

Пример. Проведено экспериментальное исследование зависимости прорастания семян ржи (выходная величина) от изменения температуры Х1 = t, °С и влажности Х2 = W, %. Диапазоны варьирования факторов: 40 < t < 80 °С; 6 < W < 30 %.

Условия и результаты опытов сведены в табл. 4.1.

							Таблица 4.1
	Результаты экспериментального исследования
	W,
№		t,	y,	№	W,	t,		y,
опыта	%	°С	мм	опыта	%	°С		мм
1	6	40	9,0	4	6	80		7,5
2	18	40	5,5	5	18	80		4,2
3	30	40	3,0	6	30	80		2,0

Не рассматривая пока способ обработки данных, приведем ее

результаты – линейную регрессионную модель:
y =11,4 −0,241 W −0,0315 t .	(4.3)

Построенная модель позволяет перейти к графическому представлению зависимости выходной величины от факторов. Подставляя в (4.3) поочередно значе-

ния влажности W, например, 10, 20 и 30 %, получим семейство линейных зависимостей прорастания семян ржи только от температуры:

y = 9,0 – 0,0315t; y = 6,6 – 0,0315t; y = 4,2 – 0,0315t.

Графиками этих зависимо-
стей являются параллельными
прямыми (рис. 4.1).	Рис. 4.1. Графики зависимости W = f(t)

53

Аналогично можно построить семейство зависимостей y= f(W). Таким образом, выбор регрессионной модели первого порядка для описания объекта равносилен предположению о линейной зависимости выходной величины от каждого из факторов, т.е. утверждению о том, что выходная величина изменяется пропорционально изменению варьируемого фактора. Кроме того, представление регрессионной модели в виде многочлена первого порядка предполагает отсутствие эффектов взаимодействия между факторами. Это означает, что степень и характер влияния каждого фактора на выходную величину не зависят от уровней варьирования остальных факторов. На приведенных графиках (см. рис. 4.1) отсутствие эффектов взаимодействия между факторами t и W проявляется в параллельности прямых семейства.

Из сказанного следует, что линейная регрессионная модель дает, как правило, приближенное представление о влиянии факторов на объект. Применение таких моделей оправдано в следующих основных случаях:

1)на начальных этапах исследования объекта или в других ситуациях, когда экспериментатора удовлетворяет ограниченная точность линейного приближения;

2)при жестком ограничении на количество опытов, поскольку экспериментальные планы, позволяющие получить линейную модель, являются экономными;

3)в ситуации, когда экспериментатор уверен в достоверности линейной модели, например, по результатам теоретических исследований.

Обратимся к рассмотрению моделей второго порядка, т.е. моделей в виде многочленов второго порядка от варьируемых факторов. Построим сначала модель второго порядка (иначе – квадратичную модель), например, для трех варьируемых факторов:

y = B + B X			1	+ B X			2		+ B X	3	+ B X 2 + B X								2	+
0	1			2					3				11		1		22		2		(4.4)
+B X 2		+ B X				X			+ B X			X		+ B X			X	.
					1			2					3			2
33	3			12					13		1				23		3

Из уравнения (4.4) ясна общая структура квадратичной модели. Эта модель, рассматриваемая для произвольного числа k факторов, содержит, во-первых, все слагаемые линейной модели: свободный

54

член В0, линейные члены В1 Х1, В2 Х2,…, ВkХk. Дополнительно к этому модель второго порядка включает квадратичные члены, являющиеся произведениями коэффициентов регрессии на квадраты фак-

торов: В11 Х1 Х1, В22 Х2 Х2 ,…Вkk Хk Хk , и члены с парными взаимодействиями, которые представляют собой коэффициенты регрес-

сии, умноженные на произведения двух различных факторов, т.е.

члены вида: В12 Х1 Х2, В13 Х1 Х3,…, В1k Х1 Хk, В23 Х2 Х3,…, В2kХ2Хk,…,

Вk-1kХk-1Хk. Зависимость выходной величины от каждого из факторов, полученная на основе квадратичной модели, представляется на графике отрезком параболы, имеющей ветви, направленные либо вверх; либо вниз. Такое представление позволяет достаточно полно описать широкий круг реальных зависимостей (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

Графики зависимостей удовлетворительно описываемых моделями второго порядка представлены на рис. 4.3.

y	y	y
	I	I
	I
	II	II
	II

а	X	б	X	X
				в

Рис. 4.3. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

55

Описание объекта квадратичной моделью дает заведомо плохие результаты, если:

1)истинная зависимость отклика от некоторого фактора Х, имеет более одного экстремума (рис. 4.4, а);

2)зависимость y = Т(Х) имеет точку перегиба (рис. 4.4, б);

3)при некотором значении Х1 значение отклика резко (скачком) изменяется (рис. 4.4, в).

y		y
2	3
1
а)	X	y	б)	X
y
				A
	X		г)	X
в)

Рис. 4.4. Пример зависимостей выходной величины y от фактора X

В первых двух случаях можно рекомендовать для описания объекта многочлены третьего или более высокого порядка. Другим выходом из положения, пригодным для всех трех случаев, является деление диапазона варьирования факторов на более мелкие поддиапазоны и изучение объекта для каждой из полученных областей отдельно. Например, зависимость, показанная на рис. 4.4, а, будет удовлетворительно описана участками двух кривых: от точки 1 до точки 2 и от точки 2 до точки 3. Однако правильное выделение областей варьирования требует наличия априорной информации о характере исследуемой зависимости.

Следует особо отметить случай, если графиком истинной зависимости является кривая, имеющая горизонтальную асимптоту

56