Колобашкина-Част-1

1.5.																		«	»,	-
1.1.
																				,
												:
	2				3							4						3
A	3				4							5						5	3.
	4				5							6						5

4	4	6
		4
		.	-
,		,	3, . .
	3.
:		,	-
,	4.
		,

max min aij	min max aij .
i j	j i
		[1].
,		-
		;
«	» (
,		-
).
=	=
.
i, j	,	-
	.
	:	-
	,	-
		.

21

				,																-
					,
			.		,															-
				.
			,
(									).										,
																				,
																			.
			1.6.
	:
					10				6							7			6
				A	9				6							16			-9	6.
					14				5							3			-3
						14			6							1 6
									6
																				= = 6.
			,																,
	, . .																		1	2,
	= 6.
			.																	-
		,																		.
				!
	.
	3	4	1
1. A	6	0	7 .
	9	2	1
	:		1;	4																.
	8	2	4
2. A	9	0	7 .
	8	1	5
		:		2															.
																22

1.4.

, -

-

, .

, ,

, .

,

,

.

x - m, m -

:

		x1
x	[m 1]	... .
		xm

xi

i-.

y n--, n B:

				y1
		y[n	1]	... .
				yn
y j	y							-
B				.
							:
	m
	xi	1,	xi	0,	i	1,...,m ;
i	1
n
	y j	1,	y j	0,	j	1,..., n .
j	1
,								-
	:					,	,	-
,			,				.
				23

			[5]
(	)	Ai , B j
				xi ,	y j	-
	xi y j .		Ai , B j			-
aij .		,
	:
		m	n
	ha (x, y)		aij xi y j .
		i 1	j 1
						-
	x, y.
	x , y
				,
:
m	n	m n	m	n
	aij xi y j	aij xi	y j	aij xi	y j .	(1.4.1)
i 1 j 1		i 1 j 1	i 1 j 1

x, y , , :

		,
		.
	(1.4.1).
	:	-
x	,
y ,	,	-
		.
	:	-

y,

x , ,

, ,

.

, , - ; ():

24

m n

aij xi y j . i 1 j1

--

:

xAy ,

x, y.

:

.

, -

, ,

. ,

, .. .

, .

: .

0, ; 0 ;

0 «» «», .. -

.

, -

.

, , -

, , .

, -

-

.

-

[1].

,

, , ,

.

,

-

,

.

25

:

-

.

1.5. 22

1.5.1.

				2	2,
				:
		B 1	B2
		a11	a12	A1
		a21	a22	A2
	,				,
	,				.
	, . .
: x	(x1, x2 ); y	( y1 , y2 )		[1].

: * = (1, 2).

, -

,

,

,

. 2 2 -

(). ,

x ,

, ,

.

, ,

				-
.
		.	*	-
	1,			=
= ( 1, 2).	1		11,	-
2	21.	(		-
	26

,

)

,

,

-

,

:

a11 x1

a21 x2

.

,

:

2.

-

a11 x1

a21x2

,

a12 x1

a22 x2

,

x1

x2 1

:

x1

a22

a21

,

a11

a22

a12

a21

x2 1

x1

a11

a12

,

a11 a22

a12

a21

a11a22

a21a12

.

a11

a22

a12

a21

-

.

()

y , , , , , :

	a11 y1		a12 y2		,
	a21 y1		a22 y2		,
		y1	y2	1.
y1			a22	a12		,
		a11	a22	a12
					a21

y2 1 y1 .

1.7. ,

1 3

.

5 2

.

:

2,

3 .

:

27

x			2		5					3	,			y							2	3							1	,
1	1		2		3		5		5					1			1				2	3					5		5
x	1		x			2	.							y			1				y			4		.
2			1		5									2							1	5
							1		2			3		5				13		.
							1		2			3		5			5
: x		3		2	; y								1		4		;						13		.
	5		5									5										5
																5

1.5.2. ,

mH (m1H ,...., mnH ), i 1,..., n

hi (mH ) max hi (m).

mi

mH

hi	(m)
		0 , i 1,..., n .
	mi

2 2, :

B1 B2

a11 a12 A1

a21 a22 A2

1

2 1 x.

1

2 1 y.

y 1 y

,

x,

y,

	A	a11	a12	x
		a 21	a 22 1	x .

-

:

28

ha (x, y) = (x		y	(1.5.1)
	1 x)A	.
	1 y

Заметим, что hb (x, y)= – ha (x, y). Точка Нэша (хН, уН) определяется из уравнений [6]:

ha	(x, y)		hb	(x, y)
		0,			0.
	x			y

Зная точку Нэша (хН, уН), можно легко определить оптимальные стратегии x Т xH 1 xH ; y T yH 1 yH и цену игры .

Пример 1.8. Найти решение игры 2 2 с использованием понятия равновесия по Нэшу:

1

3

А

.

5

2

Решение. Определим по формуле (1.5.1)

математическое ожи-

дание выигрыша игрока А:

1

3

y

ha (x, y) = (x 1 x ) 5

2 1 y

xy 5(1 x)y 3(1 y)x 2(1 x)(1 y)

5xy 3y x 2.

Определим точку Нэша:

ha (x, y)

5y 1 0;

yH

1

;

x

5

hb (x, y)

ha (x, y)

5x 3 0;

xH

3

,

y

y

5

(хН, уН) координаты точки равновесия по Нэшу.

Таким образом, получаем оптимальные стратегии в данной игре:

x	Т	x	H	1 x	H		3			2			,
								5		5
	T	y	H		H		1			4
y				1 y								.
								5		5

Цена игры в точке Нэша:

29

																1
		3							2		1	3							13
																5
	x	Ay									5	2				4						.
									5												5
		5
																5
:	x		3				2		; y				1					4	;				13	.
		5					5					5					5				5

, , -

.

1.5.3. 2 2

2 2 - [1]. 2 2 :

B1 B2

a11 a12 A1

a21 a22 A2

.

(x1, x2),

i.

i	a1i x1	a2i x2	a1i (a2i a1i )x2 , i 1, 2,
x1	x2	1 .	i ,
			.

,

-

(1.5.2)

, -

i

. -

		XOY				1 2
	,	.			(
= 0)	2.		1,			(x = 1)
				SA
	,		x1	1		-
		SA		(	2),	-
	x2	2			(	1).
	1	2				:
I	II.	I
1,	II			2.
			30