Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008

jn

i

i

ij

i

f

t,x

,F

x,t ,

.

(4.36)

x

ij*

x

x

t

i

ij

ij

j 1

Истинная двузначность может возникнуть, если существует более одного решения уравнения (4.36) при j j* относительно xij* .

Покажем, что для двузначных нелинейностей, присутствующих в САУ, установившееся решение существует и единственно.

Все рассматриваемые нелинейности удовлетворяют условию

0

0

,

0

0;

0

Fi1 xi

xi

Fi xi

,xi

x

0

,

0

0;

F

2

x

i

i

i

0

0

при

0

0 .

Тогда получим

Fi1 xi Fi2 xi

xi

jn

ij

i

i

i

xij*

f

t,x,Fi1

x,t ;

xij*

-

xi

xi

*

j=1

*

j

j j*

j

(4.37)

i

fij t , (4.38)

ij

i

i

jn

i

i

xij*

f

t,x,Fi2

x

,t ;

xij* -

fij

, (4.39)

xi

xi

*

j=1

*

t

j

j j*

j

0

0

при

0

, где С – заданное вещественное

причем Fi1 xi Fi2

xi

xi C

число. Если начальные условия

xi0 задачи

Коши

таковы, что

0

C , то,

вычислив

*

и подставив это значение в не-

xi

xi при t t0

равенства с теми же номерами, проверим их выполнение. Неравенство, которое истинно, будет определять, с какой из функций ( Fi1

или Fi2 ) начинается	переходной процесс в системе.		Если же
0	что автоколебания в системе могут возник-
xi C , то учитывая,
нуть только при xi0 t C , первый из		этих моментов	t*	можно
принять за новый начальный момент и,		положив xi0 t* xi00*		новы-

ми начальными условиями, повторить приведенные выше рассуждения и получить тот же установившийся режим. Таким образом, термин «двузначная нелинейность» является в решаемой задаче условным.

141

Рассмотрим произведение выходных сигналов в форме (4.29)

двух нелинейностей Fi xi0,xi0 и Fj x0j ,x0j (параллельное соедине-

ние через блок умножения). Оно имеет вид

~

~

ni

n j

~

~

sin ki t

~

~

(4.40)

yi y j Aiki Ajk j

iki sin k j t

jk j ,

ki 0

j j 0

где

~

~

. Каждое слагаемое суммы (4.40)

преобразуется

i0

j0

2

следующим образом:

~

~

~

~

)

Aiki Ajkj

sin(ki t iki

)sin(kj t jki

~

~

cos ki

Aiki

Ajkj

~

~

kj

t iki

jkj

~

2

~

cos ki

Aiki

Ajkj

~

~

kj

t iki

jkj

~

2

~

Aiki

Ajkj

~

~

sin

ki

kj

t iki

jkj

2

~

2

~

Aiki

Ajkj

~

~

sin

ki

kj

t iki

jkj

,

(4.41)

2

2

откуда следует, что сигнал на выходе блока умножения является суммой Фурье с прежней частотой первой гармоники, но с новыми амплитудами и фазами. В частном случае, когда амплитуды низкочастотных гармоник сигналов yi , yj равны нулю, выход может

содержать составляющие, которые являются по отношению к yi , yj не только высшими гармониками, но и субгармониками. Про-

изведение нелинейностей можно считать особой нелинейностью с двумя входами.

Исследуем прохождение гармонического сигнала (4.23) через локальную линейную часть Wi t, p , где

t, p

ki t b0i

t pmi

... b i

t p b

i

t

, m n.

(4.42)

Wi

m

1,i

m

,i

pni a

1i

t pni 1

... a

ni 1,i

t p a

nii

t

142

Выражение (4.42) определяет следующее дифференциальное уравнение

x1ini a1i t xл j ni 1 ... anii t xлj ki t b0i t ~yi mi ... ki t bmji t ,

				k~
				ni	n,					(4.43)
		~		i 1		~
	где		i	yi i			;	i ,	i	– известные вещественные числа,
		yi				g1
			1			2		1		2

определяемые при проведении преобразования координат (4.10). В общем случае yi может быть линейной или полилинейной формой

i , 1 , xл j ,..., x ~ . Поскольку ряд Фурье для ~1 известен и име- y g лk g t

ет ту же основную частоту, что ряд Фурье для yi (t), то сумма Фу-

рье для ~yi с необходимым числом гармоник определяется как сум-

ма соответствующих сумм Фурье для , ~ , с весами , . То-

yi g1 i1 i2

гда ~yi (t) можно записать в виде

	~	ni ~	~
~	~	~
	Ai0	Aik	~
yi			sin k t ;

k 1

~	~	max	~	. (4.44)
i=1,...,k	; ni		ni
		i

Будем искать выход линейной части xлi в установившемся решении в следующей форме:

	ni
	xлi Aik sin k t ik , i0				.	(4.45)
	k 0		2
	Частоты первых гармоник входного	yi и выходного				xлi сигналов

одинаковы. Это связано с тем, что – неизвестная величина и в результате решения уравнения гармонического баланса должно быть найдено такое ее значение, которое было бы общим для обоих

сигналов. Допустим, что частота первой гармоники xЛ0i с ненулевой

~				0	с ненулевой
амплитудой равна , а частота первой гармоники x				Лi
амплитудой равна ˆ	~	~	z – рациональное чис-
	. Пусть ˆ	и / ˆ

ло, z n (n – целое, k – натуральное). Тогда минимальное число k

, удовлетворяющее условиям

~	ˆ / k ,	(4.46)
/ n;

143

и будет частотой истинной гармоники для xi0 и xcij , но в данном

частном случае амплитуда будет равна нулю. Из (2.46) найдем частоту :

~	(4.47)
ˆ .

n k

Если ~ ˆ есть иррациональное число, то всегда можно найти

/

сколь угодно близкое к нему рациональное число и по формуле (4.47) найти с любой заданной точностью.

Приведенное рассуждение обосновывает существование единой основной частоты для колебаний всех фазовых переменных в исследуемой системе, что является основным положением гармонического анализа.

Задача исследования прохождения сигналов через любое звено состоит в том, чтобы найти зависимость параметров выходного сигнала от параметров входного сигнала. Найдем зависимость амплитуд и фаз гармоник сигнала xЛi от амплитуд, фаз и частот сиг-

нала yi . Для этого подставим в левую и правую части уравнения (4.43) выражения (4.23), (4.45) и произведем все операции дифференцирования. Очевидно, что в силу обоснованного выше вывода о единой основной частоте все полученные функции времени могут

быть представлены как периодические с периодом 2 . Разложим

эти функции в соответствующие ряды Фурье и отбросим члены с

номерами больше ni

. В результате получим уравнение

ni

Ai , i , sin k t ˆik

Ai , i ,

Aˆik

k 0

ni

*

~

~

~

~

~

~

*

~

~

,

(4.48)

Aik

Ai

, i

, sin k t

ik Ai

, i

,

k 0

где Aij Ai0 ,Ai1,..., Aini ,

i

i1, i2 ,..., ijni – неизвестные. При-

равнивая амплитуды и фазы гармоник с одинаковыми частотами, получим систему 2ni 1 уравнений вида

144

				~
		*			~
				~	~	, ;		(4.49)
Aˆik Ai , i , Aik			Ai		, i
				~
		*			~
				~	~	, ;	k 0,1,..., ni ;	(4.50)
i Ai , i , ik			Ai		, i

с 2ni 1 неизвестными. Решая эти алгебраические уравнения ана-

литически относительно Ai , i , получим решения

	~					~
	~	~				~	~
		~		i			~		(4.51)
Aik Aik Ai		, i	, ;		ik Ai		, i	, .

В случае стационарной линейной части Wi p выражения (4.51)

после замены р на i приводятся к известным формулам

Aik		Wi ik		~	,	ik	~	, k 0,1,...,ni . (4.52)
				Aik			argWi ik ik

Представим с помощью выражений (4.24) – (4.27), (4.44) Ai , i

как функции аргументов Ai0 , i0 , и подставим их в выражение (4.51) (или в (4.52)). Окончательно запишем:

Aik Aik Ai0			i				(4.53)
	, i0 , ,				ik Ai0 , i0 , ,
k 0,1,..., ni	, i 1,..., n.
	~			,
Для большинства САУ функция i		xЛ			g из (4.21) является ли-
нейной формой переменных x‘1,...,xлk~ ,			g1		вида
	nлi					i 1,...,k~ ,
xi0 i xл ij xЛj i g1;							(4.54)
	j 1

где i ,	i – заданные вещественные числа. Тогда в установившем-
ся режиме xi0		имеет вид
		nлi nj	i gc1 ,
	xс0i	ijAij sin k t jk		(4.55)

j=1 k=0

где gc1 t есть установившийся режим сигнала g t , представленный своей суммой Фурье

145

ng

1

gc1 t G1k sin k t 1gk .

(4.56)

k 0

Из всех чисел n

j

,

ng

выберем максимальное, которое и будет чис-

1

лом гармоник в

x0 , n0

и векторы

A

,

G ,

доопределим

j

j

, g

ci

j

1

1

для остальных сигналов

x

Лj

,

g

до размерности

n0

с помощью

1

i

нулевых компонентов. Тогда

xci0

можно представить как следую-

щую сумму

ni0

ni

0

cos

g

x

A

G

cos

sink t

ci

ij

ik

1k

ik

i

1k

k

j=1

0

n‘i

ij Aik

sin ik

g

iG1k

(4.57)

sin 1k

cosk t] ,

j=1

откуда получим

n

лi

2

0

A, ,

ij

Aik

cos ik iG1k

cos

g

Aik

1k

j=1

n

2

1/2

‘i

g

ij Aik sin ik

iG1k sin

(4.58)

1k

j=1

ni

g

ij Aik

sin ik

iG1k

sin 1k

j=1

ik A, , arctg

,

(4.59)

n

‘i

g

ij Aik

cos ik

iG1k

cos 1k

j=1

~

~

где k 0,1,..., ni

(подобным же образом формируется

Aik

, ik ).

Подставляя выражения (4.58), (4.59) в (4.53), получим обобщенные уравнения гармонического баланса

~

A1

, .., An

, ;

k 0,1, ..., ni

;

(4.60)

Aik

Aik

, 1

, ..., n

~

, ,

k 1, ..., n

;

~

(4.61)

A

, .., A

,

, ...,

n

i 1, ..., k,

ik

ik

1

n

1

i

146

где (4.60) можно условно назвать уравнением баланса амплитуд, а (4.61) – уравнением баланса фаз. Если в системе кроме сумматоров есть блоки умножения, то вместо (4.54) возникнет сумма линейной и полилинейной форм, которую с помощью выражений (4.40), (4.41) можно привести к сумме гармоник и вновь воспользоваться формулами (4.57) – (4.59) уже с новыми амплитудами и фазами, являющимися произведениями и суммами старых, и получить уравнения гармонического баланса.

При определении параметров колебаний Ai , i , удобно вы-

делить два основных случая. Первый: при наличии сигналов g1(t), принадлежащих классам а), б) следует определить возможные колебания на частотах сигнала управления. Для этого выделим его минимальный период T* ( или - почти-период [22]) и максималь-

ную основную частоту * 2 /T* . Положим * . Тогда в сис-

		k~	k~
теме (4.60),	(4.61) из 2 ni			уравнений неизвестными будут:
		i 1
Ai0,...,Ain ;	i1,..., in	(i 1,...,k~) , т.е.			их число	тоже равно
i		i
k~	def
2 ni k~ ,	( i0 /2) . В		этом	случае	значение	i1 указывает

i 1

сдвиг фаз между первыми гармониками сигналов x‘i и первой гармоникой сигнала управления (все они имеют одинаковую частоту

* ). Второй: определение всех основных колебаний на частотах

* . Тогда в системе уравнений (4.60), (4.61) неизвестными бу-

дут Ai0 ,..., Ain	;	i2	,..., in ,	i1,.., in	;		(i 2,...,k~), т.е. число не-
	i		1	k~	i
						k~		def
известных осталось прежним: 2 ni							; ( i0	/2) . Очевидно,

i 1

def

что во втором случае можно произвольно положить 11 const (например, 11 0), поскольку постоянного сдвига фаз между первой гармоникой сигнала управления и первой гармоникой колебаний (даже в случае их вынужденности) не будет. Фаза первой гармоники сигнала x‘i выбрана для фиксации без ограничения общно-

147

сти изложения (можно положить нулевой фазу первой гармоники любого сигнала xлi ). В этом случае значения 21,..., k~1 будут рав-

ны сдвигу фаз между первой гармоникой сигнала xлi и первыми гармониками остальных сигналов xЛ2 ,..., xЛk~ .

Последним этапом анализа нелинейных колебаний является определение, какие из найденных колебаний являются собственными колебаниями системы (автоколебания), а какие - вынужденными, поскольку возможно возникновение субгармоник, несовпадения основной частоты колебаний системы с частотой сигнала управления. Поэтому необходимо, положив в принятой модели САУ все сигналы управления равными нулю, повторно провести анализ колебаний по данной методике. Если множество основных частот колебаний 1 при этом изменится (обозначим новое множество

2 ),	то 2 и будет состоять из основных частот автоколебаний.
Тогда	множество основных	частот	вынужденных колебаний
3 1 \ 2 . Если множество		4 1 2 , то это означает,
что основные частоты колебаний 4			соответствуют резонансу.

Согласно теореме Дюлака, число решений системы (4.60), (4.61) может быть только конечным.

После решения уравнений гармонического баланса все параметры в установившихся режимах xсЛi (t) известны (автоматически определяются и параметры всех сигналов yсЛi (t) ). Для того чтобы определить параметры установившихся режимов фазовых переменных xсЛi (t), имеющих вид (4.20), необходимо определить сна-

чала класс функций i x,g1 из (4.21). Далее, в зависимости от схемы, по которой уравнение (4.43) переводится в систему ОДУ, запишем ее для локальной линейной части Wi (p,t) в виде

i

i

i

i

~

~

A (t)x b (t)yi

;

i 1,...,k ,

(4.62)

x

i , n0

def

– матрица ni

ni ; bi

где

xi x

i 1

1

,...,x

i 1

n

0, Ai

– век-

n

n

тор

ni 1. Выход звена

W (p,t)

принято представлять как линей-

ную форму вида

i

~

xЛi

i

... C

i

x

i

(4.63)

Cx1x

i 1

1

xn

i

n

i 1

n

i C y

yi ,

n

148

где Cxi1,...,Cxni i , Cyi – заданные вещественные числа. Подставив вы-

ражение (4.20) в (4.62), получим ni алгебраических выражений вида

nj*			ni 1 ni n j		i
kAj*k sin(k t j*k )				Ajk aj* j		(t)sin(k t jk )
k 0			j ni 1 1k=0
	~	~		~
	ni
		~		~
	i						(4.64)
	bj* (t)Aik sin(k t ik ),
	k 0
где j* ni 1 1,..., ni 1		ni ,	– известная величина. Разложим все
функции	i			i		~	в ряды Фурье
	acj* j (t)sin(k t jk )			и bcj* (t)sin(k t jk )
с основной частотой и оставим суммы Фурье с n*j							гармониками.

Проведем группировку гармоник по одинаковым частотам и применим формулы типа (4.58),(4.59). Приравнивая амплитуды и фазы

гармоник с одинаковыми частотами в каждом из ni			уравнений
	ni 1 ni
(4.64), получим	2nj	1 алгебраических уравнений относитель-
	j ni 1 1
но того же	числа	неизвестных Aj0,...,Ajnj ,	j1,..., jnj ;
j ni 1 1,...,ni 1	ni. Решая эти уравнения, определим все пара-

метры установившихся режимов всех фазовых координат.

В многосвязной системе, состоящей из M каналов, каждый из них подобен рассмотренной выше односвязной системе с добавлением перекрестных связей. Все связи в такой системе считаются заданными и фиксированными, вопрос об устойчивости к «связыванию» в данном пособии не рассматривается. Перекрестные связи осуществляются с помощью сумматоров или блоков умножения в любых точках структурной схемы САУ. Применяя к каждому каналу методику гармонической линеаризации, предложенную в данном разделе, и учитывая, что основная частота колебаний является общей для всех переменных во всех связанных каналах, получим уравнения гармонического баланса, подобные (4.60), (4.61). Появление вместо одного M сигналов управления g1(t),..., gn (t) не вносит никаких изменений в методику.

149

4.3. Оценка точности метода гармонической линеаризации

При математическом моделировании нелинейных динамических систем необходимо иметь априорную информацию об основных свойствах возможных решений, например о параметрах установившихся режимов. Метод гармонической линеаризации является одним из лучших инструментов для решения такой задачи. Достоверность полученных результатов определяется учетом количества гармоник установившегося сигнала, достаточного для выполнения расчетов с заданной точностью [23, 24]. Получение соотношений, связывающих допустимую погрешность с достаточным числом гармоник, и является целью данного раздела.

Положим, что модель исследуемой системы имеет описание в виде системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши с не более чем кусочно-непрерывной правой частью. Будем считать, что все кусочно-непрерывные функции могут быть со сколь угодно малой погрешностью заменены непрерывными функциями.

Рассматриваемая система с точки зрения описания «входвыход» может содержать сколь угодно большое конечное множество последовательных соединений статической нелинейной части

Fi и динамической линейной части Wi , i 1,...,k~ . Задача состоит в определении количества гармоник ni в выходном сигнале xin ли-

нейной части Wi , достаточного для того, чтобы относительная погрешность решения по данному сигналу не превышала заданной величины .

Рассмотрим сначала вопрос о количестве гармоник ni выходно-

го сигнала yi нелинейности Fi , достаточном для того, чтобы по-

грешность представления этого сигнала частичной суммой ряда Фурье вида

~			~		~
			ni ~			)	(4.65)
		yi (t) Ai0	Aik	sin(k t ik
			k 1
не превышала		. Абсолютную погрешность			y		зададим в сле-
дующем виде:

150