Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Связь между лабораторной системой координат и системой центра масс

Предположим, что ядра мишени А с массой mA остаются всегда в лабораторной системе координат (ЛСК) и взаимодействуют с ядрами бомбардирующей частицы “а” с массой ma и скоростью va .

Скорость в системе центра масс (СЦМ) связана со скоростью в ЛСК:

VСЦМ =		ma					va .		(П1.1)
	m	A	+ m
					a
Скорость бомбардирующей частицы в СЦМ:
va′ = va −VСЦМ ≈					ma			va ,	(П1.2)
				m	A	+ m
							a

где va′ обозначает скорость движения относительно СЦМ. Ядро мишени будет иметь скорость в СЦМ va = −VСЦМ . Полный импульс

равен нулю в СЦМ. И тогда mava′

= −mAv′A , а скорости относятся как

va′

=

mA

.

(П1.3)

v′A

ma

Энергия бомбардирующей частицы

E = m v2

2

трансформиру-

ется:

a a

1

1

1

1

E =

2

=

′2

′2

+

2

2 mava

2 mavA

+ 2 mAvA

2

(ma + mA )VСЦМ =

= 1

1 MV 2

(П1.4)

μ v2

+

= E + E

,

2

a a

2

СЦМ

a

СЦМ

где μa — приведенная масса:

μa

=

mamA

(П1.5)

ma + mA

и М — суммарная масса M = ma + mA . EСЦМ — кинетическая энергия, соответствующая движению центра масс, а Ea — кинетическая энергия относительного движения в СЦМ:

401

	Ea =	mA	E .	(П1.6)
		ma + mA
	После столкновения движение центра масс с энергией			EСЦМ и

скоростью VСЦМ не будет меняться. Энергия относительного движения Ea также не будет меняться при упругих столкновениях,

однако направление движения двух частиц изменится. Если рассмотреть случай неупругого столкновения А(а,b)В и обозначить дефект масс в этой реакции Qαβ , то

Eβ = Ea +Qαβ ,				(П1.7)
а приведенная масса в выходном канале:
μβ =	mbmB		.	(П1.8)
	m	+ m
	b	B
В случае упругого рассеяния mb = ma				и mB = ma , μa = μβ . Пол-

ный импульс в СЦМ равен нулю, а две остальные частицы разлетаются в противоположном направлении с равными, но противоположными импульсами. Их скорости в системе центра масс будут относиться:

(П1.9)

Рис. П1.1. Соотношение между скоростями в ЛСК и СЦМ при упругом рассеянии частиц

402

Рис. П1.2. Соотношение между углами рассеяния в ЛСК и СЦМ при различных соотношениях масс частицы и ядра мишени x = ma mA

Частные случаи реакций

1. Упругое рассеяние.

После упругого рассеяния скорости двух частиц не меняются. Однако в ЛСК их скорости оказываются другими в результате взаимодействия с ядром мишени. Рис. П1.1 показывает распределение скоростей после столкновения. Из этой диаграммы, учитывая геометрические правила синусов для треугольников, получаем

	sin (θСЦМ −θЛСК )		=	VСЦМ	= x ,	(П1.10)
	sin θЛСК			′
				va
где с учетом выражения (П1.2)
	x = ma .					(П1.11)
	mA

Уравнение (П1.10) связывает углы рассеяния для частицы “а” в СЦМ и ЛСК. Соотношение этих углов показано на рис. П2.2 для

403

нескольких значений х. Когда x ≤1 , θЛСК монотонно увеличивается от 0 до π. Для x >1 два значения θСЦМ получаются для одного и того же значения θЛСК , причем θЛСК имеет максимум при углах,

меньших π. Этот случай можно объяснить физически так: x >1 означает, что налетающая частица тяжелее ядра мишени, и при центральном столкновении с ядром мишени она будет двигаться вперед. В СЦМ этот случай будет соответствовать рассеянию, в котором соответствующие углы отдачи провзаимодействовавших частиц связаны:

αСЦМ = 2αЛСК ,	(П1.12)
т. к. v′A =VСЦМ . Учитывая, что αСЦМ = π−θСЦМ , получаем
αЛСК = 1 (π−θСЦМ ).	(П1.13)
2

Другое соотношение между углами может быть получено из равенства перпендикулярного и параллельного составляющих импульса:

va′ sin θСЦМ = va sin θЛСК ,

va′ cosθСЦМ +VСЦМ = va cosθЛСК ,

отсюда получаем

	tan θЛСК =		sin θСЦМ
			x +cosθСЦМ
	или		x + cosθСЦМ
	cosθЛСК =				.
		(1+ x2 + 2xcosθСЦМ )1 2

(П1.14)

(П1.15)

Полное конечное сечение определяется числом частиц, рассеянных внутри телесного угла dΩЛСК в направлении (θЛСК,ϕЛСК ) или

рассеянных в dΩСЦМ и соответствующих направлениям (θСЦМ,ϕСЦМ ). Тогда дифференциальное сечение в двух системах координат соотносятся как

σЛСК (θЛСК )dΩЛСК = σСЦМ (θСЦМ )dΩСЦМ .

(П1.16)

404

Учитывая, что переход между ЛСК и СЦМ симметричен по азимуту относительно направления пучка, имеем

ϕЛСК = ϕСЦМ = ϕ

и соотношение сечений:

σСЦМ

dΩЛСК

d (cosθЛСК )

=

=

.

(П1.17)

σЛСК

dΩСЦМ

d (cosθСЦМ )

Подставляя выражение (П1.15), мы получаем

d (cosθЛСК )

1+ x cosθСЦМ

=

.

(П1.18)

d (cosθСЦМ )

(1+ x2 + 2x cosθСЦМ )3 2

Это выражение можно преобразовать для ЛСК в таком виде:

d (cosθЛСК )

(1− x2 sin θЛСК )1 2

=

.

(П1.19)

d (cosθСЦМ )

xcosθЛСК + (1− x2 sin θЛСК )1 2

2.Неупругое рассеяние.

Вслучае неупругого рассеяния частицы на ядре мишени выражения (П1.10) и (П1.14) ÷ (П1.19) для х сохраняются. Для реакции типа А(а,b)В выражение для х имеет вид:

x =	VСЦМ	m m			E	1 2
		=	a b		a	.	(П1.20)
	vb′
		mAmB			Ea +Qαβ

Здесь х означает отношение скоростей СЦМ к скорости рассеяния частицы в СЦМ (сравнить с выражением (П1.10)). Соотношение (П1.12) не работает, поскольку в основном не имеем v′B =VСЦМ .

3. Специальный случай

Когда x =1 для упругого рассеяния двух частиц одинаковой массы, формула (П1.10) дает θСЦМ = 2θЛСК , и, таким образом, θЛСК будет равняться π2 (см. рис. П2.2). Сечения в двух системах в этом случае связаны как:

	σЛСК (θЛСК )	= 4cos	θЛСК .	(П1.21)
	σСЦМ (θСЦМ )

Поскольку часто угловые распределения являются симметричными в СЦМ ( σСЦМ = const в случае низкоэнергетического упруго-

го рассеяния нейтрона на протоне), угловые распределения в ЛСК

405

пропорциональны cosθЛСК . Поэтому выражение (П1.13) для этого

случая упругого рассеяния приобретает вид:
αЛСК + θЛСК = π 2 .	(П1.22)

Отсюда видно, что рассеянная частица и частица отдачи движутся в одном угле в ЛСК. Когда x <<1 , можно перейти к степенной зависимости от х, например,

θСЦМ ≈ θЛСК + xsin θЛСК ,

и θ также мало:

θСЦМ ≈ (1+ x)θЛСК .

Тогда

σЛСК ((θЛСК )) =1+ 2xcosθЛСК , σСЦМ θСЦМ

σЛСК ((θЛСК )) =1−2xcosθЛСК . σСЦМ θСЦМ

Приложение 2. Квантовые характеристики ядерных уровней

Таблица П.2.1.

Энергии уровней 2+, приведенные вероятности электрических квадрупольных переходов, ядерные квадрупольные моменты и параметры деформации четночетных ядер

Ядро	Е(2+),	В(Е2, 0–2)e2,		Q0 , барн	β	2 1 2
	кэВ	барн	2
20Ne	1633,7	0,0340(30)		0,584(26)	0,73(3)
22Ne	1274,6	0,0230(10)		0,481(10)	0,56(1)
24Mg	1368,7	0,0432(11)		0,659(8)	0,61(1)
26Mg	1808,7	0,0305(13)		0,554(12)	0,48(1)
28Si	1779,0	0,0326(12)		0,572(11)	0,41(1)
30Si	2235,3	0,0215(10)		0,465(11)	0,31(1)
32S	2230,3	0,0300(13)		0,549(15)	0,31(1)
34S	2127,6	0,0212(12)		0,461(13)	0,25(1)
36S	3290,9	0,0104(28)		0,320(44)	0,17(2)
36Ar	1970,4	0,0300(30)		0,548(27)	0,26(1)
38Ar	2167,5	0,0130(10)		0,361(14)	0,16(1)

406

Ядро	Е(2+),	В(Е2, 0–2)e2,		Q0 , барн	β	2 1 2
	кэВ	барн	2
40Ar	1460,9	0,0330(40)		0,575(35)	0,25(1)
40Ca	3904,4	0,0099(17)		0,314(27)	0,12(1)
42Ca	1534,7	0,0420(30)		0,649(23)	0,25(1)
44Ca	1157,0	0,0470(20)		0,687(15)	0,253(5)
46Ca	1346,0	0,0182(13)		0,427(15)	0,153(5)
48Ca	3831,7	0,0095(32)		0,30(5)	0,11(2)
46Ti	889,3	0,095(5)		0,977(26)	0,317(8)
48Ti	983,5	0,072(4)		0,850(24)	0,269(7)
50Ti	1553,8	0,029(4)		0,539(7)	0,166(11)
50Cr	783,9	0,108(6)		1,042(29)	0,293(8)
52Cr	1434,0	0,066(3)		0,814(19)	0,223(5)
54Cr	834,9	0,087(4)		0,935(22)	0,250(6)
54Fe	1408,2	0,062(5)		0,789(32)	0,195(8)
56Fe	846,8	0,098(4)		0,992(20)	0,239(5)
58Fe	810,8	0,120(4)		1,098(18)	0,259(4)
58Ni	1454,0	0,069(2)		0,836(12)	0,183(3)
60Ni	1332,6	0,093(2)		0,968(8)	0,207(2)
62Ni	1172,9	0,089(2)		0,946(13)	0,198(3)
64Ni	1345,7	0,076(8)		0,873(46)	0,179(9
64Zn	991,6	0,160(15)		1,27(6)	0,242(11)
66Zn	1039,4	0,135(10)		1,64(4)	0,218(8)
68Zn	1077,4	0,124(15)		1,11(7)	0,205(12)
70Zn	884,8	0,160(14)		1,27(6)	0,228(10)
70Ge	1039,2	0,176(4)		1,330(15)	0,224(3)
72Ge	834,0	0,213(6)		1,463(21)	0,242(4)
74Ge	595,8	0,300(6)		1,737(17)	0,282(3)
76Ge	562,9	0,268(8)		1,641(25)	0,262(4)
74Se	634,8	0,387(8)		1,972(20)	0,302(3)
76Se	559,1	0,420(10)		2,055(24)	0,309(4)
78Se	613,7	0,335(9)		1,835(25)	0,271(4)
80Se	666,2	0,235(6)		1,595(19)	0,232(5)
82Se	654,7	0,182(5)		1,353(19)	0,193(3)

407

Ядро	Е(2+),	В(Е2, 0–2)e2,		Q0 , барн	β	2 1 2
	кэВ	барн	2
78Kr	445,0	0,63(4)		2,52(8)	0,35(1)
80Kr	616,6	0,37(2)		1,93(5)	0,26(1)
82Kr	776,5	0,22(1)		1,50(3)	0,202(4)
84Kr	881,6	0,125(6)		1,12(3)	0,149(4)
86Kr	1564,9	0,12(1)		1,11(4)	0,145(6)
84Sr	793,3	0,29(4)		1,70(13)	0,214(16)
86Sr	1076,7	0,13(1)		1,13(6)	0,140(8)
88Sr	1836,1	0,092(5)		0,96(3)	0,117(3)
90Zr	2186,3	0,061(4)		0,78(3)	0,089(4)
92Zr	934,5	0,083(6)		0,91(3)	0,102(4)
94Zr	918,8	0,066(14)		0,81(9)	0,09(1)
96Zr	1750,5	0,055(22)		0,73(15)	0,08(2)
92Mo	1509,5	0,097(6)		0,99(3)	0,106(3)
94Mo	871,1	0,203(4)		1,43(1)	0,151(2)
96Mo	778,2	0,271(5)		1,65(2)	0,172(2)
98Mo	787,4	0,367(10)		1,64(3)	0,168(3)
100Mo	535,6	0,510(10)		2,28(2)	0,231(2)
96Ru	832,6	0,25(1)		1,59(3)	0,158(3)
98Ru	652,4	0,39(1)		1,98(3)	0,195(3)
100Ru	539,5	0,49(1)		2,22(1)	0,215(1)
102Ru	475,1	0,63(1)		2,52(2)	0,240(2)
104Ru	358,0	0,82(1)		2,87(2)	0,271(2)
102Pd	556,4	0,46(3)		2,15(7)	0,196(6)
104Pd	555,8	0,56(3)		2,32(8)	0,209(7)
106Pd	511,8	0,66(3)		2,57(7)	0,229(6)
108Pd	433,9	0,76(4)		2,76(7)	0,243(6)
110Pd	373,8	0,87(4)		2,96(7)	0,257(6)
106Cd	632,6	0,41(2)		2,03(5)	0,173(4)
108Cd	639,0	0,43(2)		2,08(5)	0,175(4)
110Cd	657,7	0,45(2)		2,13(5)	0,177(4)
112Cd	617,5	0,51(2)		2,26(4)	0,186(4)
114Cd	558,5	0,54(2)		2,34(4)	0,191(4)

408

Ядро	Е(2+),	В(Е2, 0–2)e2,		Q0 , барн	β	2 1 2
	кэВ	барн	2
116Cd	511,8	0,56(2)		2,37(4)	0,191(4)
112Sn	1256,8	0,24(1)		1,55(4)	0,123(4)
114Sn	1299,9	0,24(5)		1,54(16)	0,121(13)
116Sn	1293,6	0,209(6)		1,45(2)	0,110(2)
118Sn	1229,7	0,209(8)		1,45(3)	0,110(2)
120Sn	1178,8	0,202(4)		1,42(1)	0,108(1)
122Sn	1149,5	0,192(4)		1,39(1)	0,104(1)
124Sn	1131,7	0,166(4)		1,29(2)	0,095(1)
120Te	560,4	0,77(16)		2,77(9)	0,20(2)
122Te	564,1	0,660(6)		2,58(1)	0,185(1)
124Te	602,7	0,568(6)		2,39(1)	0,169(1)
126Te	666,3	0,475(10)		2,18(2)	0,153(2)
128Te	743,3	0,383(6)		1,96(2)	0.136(1)
130Te	839,5	0,295(7)		1,72(2)	0,118(1)
124Xe	354,1	0,96(6)		3,11(10)	0,212(7)
126Xe	388,6	0,77(3)		2,78(4)	0,188(3)
128Xe	442,9	0,75(4)		2,74(7)	0,184(5)
130Xe	536,1	0,65(5)		2,55(10)	0,169(7)
132Xe	667,7	0,46(3)		2,15(7)	0,141(5)
134Xe	847,0	0,34(6)		1,84(10)	0,132(7)
36Xe	1313,0	0,36(6)		1,90(16)	0,122(10)
30Ba	357,4	1,16(2)		3,42(2)	0,218(2)
32Ba	464,6	0,86(6)		2,94(10)	0,186(6)
134Ba	604,7	0,66(1)		2,57(1)	0,161(1)
136Ba	818,5	0,41(1)		2,03(2)	0,126(1)
138Ba	1435,8	0,23(1)		1,52(3)	0,093(2)
136Ce	552,2	0,81(9)		2,85(16)	0,170(9)
138Ce	788,7	0,45(3)		2,13(7)	0,126(4)
140Ce	1556,2	0,30(1)		1,73(2)	0,102(1)
142Ce	641,3	0,48(1)		2,20(1)	0,128(1)
142Nd	1575,8	0,256(6)		1,63(2)	0,092(1)
144Nd	696,5	0,491(5)		2,22(1)	0,124(1)

409

Ядро	Е(2+),	В(Е2, 0–2)e2,		Q0 , барн	β	2 1 2
	кэВ	барн	2
146Nd	453,8	0,76(3)		2,76(4)	0,152(2)
148Nd	301,7	1,35(5)		3,68(7)	0,201(4)
150Nd	130,2	2,76(4)		5,27(4)	0,285(2)
144Sm	1660,2	0,262(6)		3,41(4)	0,087(1)
148Sm	550,2	0,72(3)		5,55(12)	0,142(3)
150Sm	323,8	1,35(3)		7,38(8)	0,193(2)
152Sm	121,8	3,46(6)		11,9(1)	0,306(3)
154Sm	82,0	4,86(5)		13,3(1)	0,341(2)
152Gd	344,3	1,67(14)		4,04(17)	0,206(9)
154Gd	123,1	3,89(7)		6,25(6)	0,312(3)
156Gd	89,0	4,64(5)		6,83(4)	0,338(2)
158Gd	79,5	5,02(5)		7,10(4)	0,348(2)
160Gd	75,3	5,25(6)		7,26(4)	0,353(2)
156Dy	137,8	3,71(4)		6,11(3)	0,293(2)
158Dy	98,9	4,66(5)		6,84(4)	0,325(7)
160Dy	86,8	5,1(1)		7,18(8)	0,329(4)
162Dy	80,7	5,3(1)		7,33(8)	0,343(4)
164Dy	73,4	5,60(5)		7,50(3)	0,348(2)
162Er	102,0	5,01(6)		7,10(4)	0,322(2)
164Er	91,4	5,45(6)		7,40(4)	0,333(2)
166Er	80,6	5,83(5)		7,66(3)	0,342(2)
168Er	79,8	5,79(10)		7,63(7)	0,338(3)
170Er	78,6	5,82(10)		7,65(7)	0,339(3)
168Yb	87,7	5,6(3)		7,49(20)	0,322(5)
170Yb	84,3	5,8(1)		7,63(9)	0,326(4)
172Yb	78,7	6,04(7)		7,79(4)	0,330(2)
174Yb	76,5	5,94(6)		7,73(4)	0,325(2)
176Yb	82,1	5,3(2)		7,30(13)	0,305(5)
174Hf	91,0	4,9(3)		7,0(2)	0,286(9)
176Hf	88,4	5,3(1)		7,28(7)	0,295(3)
178Hf	93,2	4,8(1)		6,96(4)	0,280(2)
180Hf	93,3	4,7(1)		6,85(9)	0,274(4)

410