|
a |
,T |
b |
= ifabcT |
c |
. |
(П3.5) |
T |
|
|
|
Это коммутационное соотношение не имеет аналогов в квантовой электродинамике, поскольку эта теория основана на абелевой
калибровочной группе U (1). КХД же основана на неабелевой калибровочной группе SU (3) , поэтому называется неабелевой ка-
либровочной теорией.
Поскольку матрицы U зависят от пространственно-временной точки x, свободный лагранжиан (П3.2) не инвариантен при калибровочных преобразованиях (П3.3). Для того чтобы восстановить калибровочную инвариантность, нужно, по аналогии с электроди-
намикой, ввести калибровочное (глюонное) поле Akjμ (x) и заменить в (П3.2) производную ковариантной производной:
∂μq j (x)→ Dμq j (x)≡ |
{ |
∂ |
kj |
∂μ −iAμ |
(x) q j (x). |
(П3.6) |
kj |
|
kj |
} |
|
Заметим, что калибровочное поле Akjμ (x) = AaμTkja , как и ковари-
антная производная, является 3×3 матрицами в цветовом пространстве.
При замене производной на ковариантную производную все изменения в лагранжиане при калибровочных преобразованиях со-
кращаются, если поле Aμ преобразуется следующим образом:
Aμ (x)→U (x)Aμ (x)U + (x)+iU (x)∂μU + (x). |
(П3.7) |
Тогда КХД-лагранжиан можно записать в виде:
LКХД = ∑q (x)(iγμDμ −mq )q(x)− 41g2 trGμν (x)Gμν (x), (П3.8)
где первое слагаемое описывает динамику кварков и их связь с глюонами, а второе слагаемое — динамику глюонных полей. Константа связи сильных взаимодействий является аналогом элементарного электрического заряда e в квантовой электродинамике.
Глюонный полевой тензор в (П3.8):
Gμν (x)≡ i Dμ , Dν = ∂μ Aν (x)−∂ν Aμ (x)−i Aμ (x), Aν (x) . (П3.9)
Видно, что существенная разница между КХД и КЭД заключается в коммутаторе полей в выражении (П3.9). Этот коммутатор приводит к глюон-глюонным взаимодействиям в КХД и весьма нетривиальной динамике сильных взаимодействий.
